高考一轮复习专题20 利用导数解决函数的极值点问题(原卷版)无答案

专题20 利用导数解决函数的极值点问题

【知识总结】

用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题。其解题要点如下：

(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0。

(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2>x，则令F(x)＝f(x)－f。

(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性。

(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系。

(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x0＋x)与f(x0－x)的大小关系转化为x0＋x与x0－x之间的关系，进而得到所证或所求。

说明：若要证明f′的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负。

【例题讲解】

【例1】已知函数f(x)＝－x＋alnx。

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：<a－2。

【变式训练】　已知f(x)＝xlnx－mx2－x，m∈R。若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求证：x1x2>e2(e为自然对数的底数)。

【例题训练】

一、单选题

1．已知函数，则下列结论错误的是（    ）

A．是奇函数

B．若，则是增函数

C．当时，函数恰有三个零点

D．当时，函数恰有两个极值点

2．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．若函数无极值点则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．“”是“函数在上有极值”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知函数，若同时满足条件：①，为的一个极大值点；②，.则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．若函数（为常数）有两个不同的极值点，则实数取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数在处取得极值，则（    ）

A．1 B．2 C． D．-2

10．设函数，则下列是函数极小值点的是（    ）

A． B． C． D．

11．函数的图象大致是(    )

A． B．

C． D．

12．已函数的两个极值点是和，则点的轨迹是（    ）

A．椭圆弧 B．圆弧 C．双曲线弧 D．抛物线弧

13．若是函数的极值点，则的值是（    ）

A．1 B． C． D．

14．已知函数，则）的极大值点为（    ）

A． B． C． D．

15．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

16．设函数的导函数为，则（    ）

A． B．是的极值点

C．存在零点 D．在单调递增

17．关于函数，，下列结论正确的有（    ）

A．当时，在处的切线方程为

B．当时，存在惟一极小值点

C．对任意，在上均存在零点

D．存在，在有且只有一个零点

18．已知函数，，则下列说法正确的有（    ）

A．是偶函数

B．是周期函数

C．在区间上，有且只有一个极值点

D．过(0，0)作的切线，有且仅有3条

19．已知.（    ）

A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3

C．x轴为曲线的切线 D．若，则

20．设函数，则下列说法正确的是（    ）

A．定义域是 B．时，图象位于轴下方

C．存在单调递增区间 D．有且仅有一个极值点

三、解答题

21．已知函数.

(1)若只有一个极值点，求的取值范围.

(2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：.

22．已知函数．

（1）若是奇函数，且有三个零点，求的取值范围；

（2）若在处有极大值，求当时的值域．

23．（1）当时，求证：；

（2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围；

（3）设a>0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且.

24．已知函数.

（1）讨论函数的单调性.

（2）若，设是函数的两个极值点，若，求证:.

25．已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，求的取值范围.

26．已知函数，是偶函数．

（1）求函数的极值以及对应的极值点．

（2）若函数，且在上单调递增，求实数的取值范围．

27．已知函数，其导函数为，且.

（1）求a的值；

（2）设函数有两个极值点，，求b的取值范围，并证明过两点，的直线m恒过定点，且求出该定点坐标

（3）当时，证明函数在R上只有一个零点.

28．设函数，其中.

（1）若曲线在的切线方程为，求a，b的值；

（2）若在处取得极值，求a的值；

（3）若在上为增函数，求a的取值范围.

29．已知函数.其中为常数.

（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；

（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：.

30．已知函数.

（1）若，证明：当时，；

（2）若是的极大值点，求正实数a的取值范围.