2022高考数学一轮复习专题16 情境问题的探究之概率部分（解析卷）

专题16  情境问题的探究之概率部分

一、题型选讲

题型一 、通过列举法研究概率

例1、（2020届山东省潍坊市高三上期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设齐王的上等马、中等马、下等马分别为，，，

设田忌的上等马、中等马、下等马分别为，，，

每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．

基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共6个，

田忌获胜包含的基本事件有：，，，只有1个，

田忌获胜的概率为．

故选：B.

例2、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，

随机选取两个不同的数，共有种方法，

因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，

故所求概率为，故选C．

古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．

例3、（2020•衡阳三模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】：阴数为：2，4，6，8，阳数为：1，3，5，7，9，

各选一个数，其和能被5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7．

所以能被5整除的概率，

故选：C．

例4、如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．有甲、乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两个动作，每人模仿一个动作，若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是

A．      B．      C．      D．

【答案】C

【解析】：有题意可知甲乙分别从爬、扶、捡、顶中的两个动作，共有12种方法，若甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”有（爬，扶）（爬，捡）（扶，捡）3中情况。

故

题型二、与排列组合相关的概率

例5、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，

有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，

他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，

则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p．

故选：B．

例6、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若甲选牛或羊作礼物，则乙有种选择，丙同学有种选择，此时共有种；

若甲选马作礼物，则乙有种选择，丙同学有种选择，此时共有种.

因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为.

故选：C.

例7、（2021年江苏淮阴中学调研）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为，，所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：，，若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】记事件A为：999-x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数·由

可知情况共有，个位数可能结果有1,4,2,8,5,7共6种

二、达标训练

1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A．0.5  B．0.6

C．0.7    D．0.8

【答案】C

【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．

2、（2019•新课标Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】．A

【解析】：在所有重卦中随机取一重卦，

基本事件总数n＝26＝64，

该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m＝＝20，

则该重卦恰有3个阳爻的概率p＝＝＝．

故选：A．

3、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（    ）

A．　　　B．　　　C．　　　D．

【答案】D

【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，

基本事件总数为：种

事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：

烟、糖、糖、糖：种

糖、烟、糖、糖： 种

糖、糖、烟、糖：种

包含的基本事件个数为：54，

所以，其概率为

故选：D

4、（2020•5月份模拟）纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】．B

【解析】：从9枚徽章中任取3枚的种数为C93，其中没有一枚凤纹徽章的种数C53，

故其中至少有一枚凤纹徽章的概率为P＝1﹣＝，

故选：B．

5、（2020•Ⅱ卷模拟）《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦《每一卦由三个爻组成，其中“─”表示一个阳爻，“﹣﹣”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】．B

【解析】：含有两个阳爻的卦有3个，含有三个阳爻的卦有1个，

从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，

基本事件总数n＝＝6，

这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻包含的基本事件个数m＝＝3，

∴这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为p＝＝＝．

故选：B．