2022年高考三轮复习之回归基础练第1练　集合与常用逻辑用语

这是一份2022年高考三轮复习之回归基础练第1练　集合与常用逻辑用语，共7页。

[考情分析] 1.集合作为高考必考内容，命题较稳定，难度较小，常与简单的一元二次不等式结合命题.2.高考对常用逻辑用语考查的概率较低，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，常与函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等结合命题．
考点一 集合的概念与运算
要点重组
1．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
2．A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.
3．若已知A∩B＝∅，要注意不要漏掉特殊情况：A＝∅或B＝∅；
若已知A⊆B，要注意不要漏掉特殊情况：A＝∅.
1．(2020·全国Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)等于( )
A．{－2,3} B．{－2,2,3}
C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}
答案 A
解析 ∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2}．
又U＝{－2，－1,0,1,2,3}，
∴∁U(A∪B)＝{－2,3}．
2．(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．
3．(多选)已知集合A＝{x|eq \r(x＋1)<2}，集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y|y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x∈R))，则下列计算正确的是( )
A．A∩B＝(0,3) B．A∪B＝[－1，＋∞)
C．(∁RA)∩B＝(3，＋∞) D．A∪(∁RB)＝(－∞，3)
答案 ABD
解析 由题意可得A＝[－1,3)，B＝(0，＋∞)，
故A∩B＝(0,3)，A∪B＝[－1，＋∞)，(∁RA)∩B＝[3，＋∞)，A∪(∁RB)＝(－∞，3)，
故ABD正确．
4．(2020·邢台摸底)设集合A＝{x|x>a2}，B＝{x|x<3a－2}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是( )
A．(1,2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 D
解析 因为A∩B＝∅，
所以a2≥3a－2，解得a≤1或a≥2.
考点二 命题的真假判断与量词
要点重组
1．四种命题的真假关系：互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．
2．含逻辑联结词的命题的真假判断规律：p∧q：一假即假；p∨q：一真即真；p和綈p：真假相反．
3．“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”，“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．简记：改量词，否结论．
5．(2020·湖北部分重点中学新起点考试)命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是( )
A．∃x0≤1，xeq \\al(2,0)－x0≤0
B．∀x>1，x2－x≤0
C．∃x0>1，xeq \\al(2,0)－x0≤0
D．∀x≤1，x2－x>0
答案 C
解析 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x0>1，xeq \\al(2,0)－x0≤0”，故选C.
6．(多选)下列有四个关于命题的判断，其中正确的是( )
A．命题“∃x0∈(0，＋∞)，3x0＋cs x0<1”是假命题
B．命题“若xy＝100，则x＝4且y＝25”是假命题
C．命题“∀x∈N，lg(x＋1)>0”的否定是“∃x0∉N，lg(x0＋1)>0”
D．命题“在△ABC中，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))<0，则△ABC是钝角三角形”是真命题
答案 AB
解析 设f(x)＝3x＋cs x(x>0)，则f′(x)＝3－sin x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>1，从而命题“∃x0∈(0，＋∞)，3x0＋cs x0<1”是假命题．易知选项B正确，C错误．在△ABC中，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))<0，则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))>0，则∠B为锐角，不能判断△ABC是钝角三角形，所以选项D错误．
7．(2020·广州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋a，命题p：∃x0∈R，f(x0)＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
答案 C
解析 因为该特称命题为假命题，所以它的否定是全称命题且为真命题，即∀x∈R，f(x)≠0，故Δ＝1－4a2<0，且a≠0，解得a>eq \f(1,2)或a<－eq \f(1,2)，故选C.
8．(2020·全国Ⅱ)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面；
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①p1∧p4；②p1∧p2；③(綈p2)∨p3；④(綈p3)∨(綈p4)．
答案 ①③④
解析 p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为当空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间中两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于该平面内的所有直线．由以上结论知綈p2，綈p3，綈p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题．
考点三 充要条件
要点重组
1．充要条件的判定方法：
(1)定义法：定条件，找推式(条件间的推出关系)，下结论．
(2)集合法：根据集合间的包含关系判定．
(3)等价转换法：根据逆否命题的等价性判定．
2．“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，但A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”是指A能推出B，但B不能推出A.
9．(2019·北京)设函数f(x)＝cs x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若f(x)＝cs x＋bsin x为偶函数，
则对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cs(－x)＋bsin(－x)＝cs x＋bsin x，
∴2bsin x＝0.
由x的任意性，得b＝0.
故f(x)为偶函数⇒b＝0.
必要性成立．
反过来，若b＝0，则f(x)＝cs x是偶函数，充分性成立．
∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充要条件．
10．(2020·湖南衡阳八中月考)设x∈R，则“x2＋x－2>0”是“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 解不等式x2＋x－2>0，得x<－2或x>1，
∵{x|11}的真子集，
∴“x2＋x－2>0”是“111．已知r>0，x，y∈R，p：“x2＋y2≤r2”，q：“|x|＋|y|≤1”，若p是q的充分不必要条件，则实数r的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B．(0,1]
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞)) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 如图，x2＋y2≤r2(r>0)表示的平面区域是以原点为圆心，r为半径的圆上和圆内的部分，|x|＋|y|≤1表示的平面区域是正方形ABCD及其内部，其中A(1,0)，B(0,1)，C(－1,0)，D(0，－1)，因为p是q的充分不必要条件，所以由图可知，原点到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq \f(|－1|,\r(12＋12))＝eq \f(\r(2),2)≥r，所以r的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))).故选A.
12．已知p：|x|≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则实数m的最大值为________；若p是q的必要条件，则实数m的最小值为________．
答案 1 4
解析 由|x|≤m(m>0)，得－m≤x≤m.
若p是q的充分条件，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m≥－1，,m≤4，))
解得0＜m≤1，
∴m的最大值为1.
若p是q的必要条件，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m≤－1，,m≥4，))
解得m≥4，∴m的最小值为4.
1．(2020·山东六地市联考)已设a，b都是正数，则“lga3＜lgb3”是“3a＞3b＞3”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由lga3＜lgb3，得0＜b＜a＜1或0＜a＜1＜b或a＞b＞1，
由3a＞3b＞3，得a＞b＞1，
∴“lga3＜lgb3”是“3a＞3b＞3”的必要不充分条件．
故选B.
2．(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝N B．M∩(∁UN)≠∅
C．M∪N＝U D．M⊆(∁UN)
答案 AB
解析 由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|0又∁UN＝{x|x≤0或x≥1}，
∴M∩(∁UN)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x<1}＝M，M(∁UN)，故选AB.
3．给出下列命题：p1：∃x0∈R,3sin x0＋4cs x0＝3eq \r(x\\al(2,0)＋4)；p2：若lg a2＋2lg b＝0，则a＋b≥2，那么下列命题为真命题的是( )
A．p1∧p2 B．p1∨(綈p2)
C．p1∨p2 D．(綈p1)∧p2
答案 B
解析 因为3sin x＋4cs x＝5sin(x＋φ)∈[－5，5]，
而3eq \r(,x2＋4)≥6，所以p1为假命题．
对于p2，由题设有a2b2＝1，b>0，
所以ab＝1或ab＝－1，
取a＝－3，b＝eq \f(1,3)，则a＋b＝－eq \f(8,3)<2，
故p2为假命题，所以p1∨eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(綈p2))为真命题．
4．已知f(x)＝sin x－tan x，命题p：∃x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x0)<0，则( )
A．p是假命题，綈p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
B．p是假命题，綈p：∃x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x0)≥0
C．p是真命题，綈p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
D．p是真命题，綈p：∃x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x0)≥0
答案 C
解析 f(x)＝sin x－tan x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
当x＝eq \f(π,4)时，f(x)＝eq \f(\r(2),2)－1<0，
∴命题p：∃x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x0)<0是真命题，
綈p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0，故选C.
5．(多选)(2020·南昌质检)下列有关命题的说法不正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．命题p：∃x0∈R，sin x0＝eq \f(\r(6),2)；命题q：∀x∈R，x>sin x，则命题p∨q为真命题
C．命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题
答案 ABC
解析 选项A，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，∴A选项错误；
选项B，∵sin x0＝eq \f(\r(6),2)>1，∴命题p是假命题．对于命题q，当x＝0时，x＝sin x，
∴命题q是假命题，则命题p∨q为假命题．
∴B选项错误；
选项C，命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，∴C选项错误；
选项D，∵x＝y，∴sin x＝sin y，
∴该命题为真命题，
∴该命题的逆否命题为真命题．
∴D选项正确．
6．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出以下三个结论：
①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的序号是________．
答案 ②
解析 ①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k1，k1∈Z}，A2＝{n|n＝eq \r(2)k2，k2∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k1＋eq \r(2)k2∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．