2022届新教材北师大版三角函数解三角形单元测试含答案16
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2022届新教材北师大版 三角函数解三角形 单元测试
一、选择题
1、sin840°的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
2、已知，则（ ）
A． B． C． D．
3、(sin15°+cos15°)2的值为（ ）
A. B. C. D.
4、
函数在区间上的对称轴为，则
A． B． C． D．
5、
已知函数为定义在上的奇函数，则（ ）
A． B． C． D．或
6、在中，角、、的对边分别为、、，已知，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7、的内角，，的对边分别为，，.已知，，成等比数列，，且，则( )
A． B． C． D．
8、在中，则的解的个数为 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
9、A，B，C是的内角，其中，则的取值范围
A． B． C． D．
10、 △ABC中, 如果, 那么△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
11、函数，（）单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
12、已知函数，对x∈R恒有，且在区间上有且只有一个的最大值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
13、计算:_________.
14、
已知，则___________
15、在中，，，边上的中线，则的面积为_________．
16、已知的内角，，的对边分别为，，，若，则最小值是__________．
三、解答题
17、（本小题满分10分）在中，角，，所对的边分别为，，.且满足.
（1）求；
（2）已知，求外接圆的面积.
18、（本小题满分12分）已知向量，函数
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间
（2）当时，求函数的值域
19、（本小题满分12分）化简：（1）；
（2）.
参考答案
1、答案D
解析直接利用诱导公式化简函数的表达式，得到特殊角的三角函数求值即可．
详解
sin840°＝sin（2×360°+120°）＝sin120°．
故选：D．
点睛
本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
2、答案C
解析根据诱导公式得到，
结合两式得到.
故答案为：C。
3、答案C
解析利用同角三角函数关系式以及二倍角正弦公式进行化简，从而可得答案.
详解
.
故选：C.
点睛
在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，从而对式子进行化简．熟练运用同角三角函数基本关系以及二倍角的使用是解答本题的关键.
4、答案D
解析
解：，
其中，（为锐角），
因为函数在区间上的对称轴为，
，仅当时，符合题意，
故.
故选：D.
5、答案A
解析
，
又因为为奇函数，则
从而
,
故选：A
6、答案B
解析先由正弦定理得到，再由正弦定理得到进而得到结果.
详解
在中，角、、的对边分别为、、，已知，根据正弦定理得到
进而得到，故
故答案为：B.
点睛
在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
7、答案D
解析利用等比中项的性质和正弦定理，得到，利用列方程，分子分母同时除以可将方程变为含有的式子，解方程求得的值.
详解
由于，，成等比数列，故，由正弦定理得，根据余弦定理有，对分子分母同时除以得，由于，故解得.
点睛
本小题主要考查等比中项的性质，考查利用正弦定理进行边角互化，考查余弦定理的应用，还考查了化归与转化的数学思想方法.解题的思路方面，主要采用“顺序结构”的策略来求解.也就是题目给定三个数成等比数列，那么利用等比中项的性质列出方程，由于是涉及三角形的问题，故考虑用正弦定理进行转化.然后题目给了一个角的余弦值，那么考虑用余弦定理表示出来，再转化为题目所要求的形式即可求解出结果，这个是分层推进，步步为营的方法.
8、答案C
解析由正弦定理可求出，结合正弦函数值知识，从而可得出结论。
详解
根据正弦定理可得，
即并且
所以B可能是锐角也可能是钝角。
故选C选项。
点睛
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：
1.如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一。
2. 如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角。
9、答案B
解析利用两角和与差的正弦公式、三角形内角和定理，将化为，根据正弦函数的单调性即可得结果．
详解
因为
所以
,
，，
，故选B．
点睛
本题考查了两角和与差的正弦公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性，属于中档题．形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.
10、答案B
解析由题意得，由正弦定理得，所以，
,所以，同理可得，所以三角形是等边三角形.
考点：正弦定理在三角形中的应用.
11、答案C
解析 ，
因为，所以，选C.
点睛函数的性质
(1).
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间;
由求减区间
12、答案B
解析利用的对称性与最值得到，然后逐一检验是否适合题意即可.
详解
由题意知，,则，k ，其中k =，
，故与同为奇数或同为偶数.
在上有且只有一个最大，且要求最大，则区间包含的周期应该最多，所以，得，即，所以.
当时，，为奇数，，此时，当或6.5时，都成立，舍去；
当时，，为偶数，，此时，当或4.5π时，都成立，舍去；
当时，，为奇数，，此时，当且仅当时，成立.
综上所述，最大值为.
故选：B
点睛
本题考查正弦型函数的图象与性质，涉及到对称性、最值、周期、零点等问题，综合型较强，考查学生的逻辑思维能力与计算能力.
13、答案
解析利用诱导公式,进而利用和角公式求解即可
详解
由题,因为,
所以,原式,
故答案为:
点睛
本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用
14、答案
解析
因为，所以，
所以．
故答案为：．
15、答案
详解：设，利用，
可得，解得或（舍）
所以，，．
所以．
所以．
故答案为：
点睛
本题考查余弦定理、三角形面积公式以及同角三角函数关系，着重考查计算，属基础题.
16、答案3
详解：因为，所以
，
所以
当且仅当时取等号，即最小值是3.
点睛：三角形中最值或范围问题，一般转化为条件最值或范围问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
17、答案（1）；（2）.
（2）设外接圆的半径为，根据正弦定理求出半径，即可得出圆的面积.
详解：（1）由，根据正弦定理可得：
∵，∴，
∴，∵，∴；
（2）∵，，设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，，∴，
∴外接圆的面积为.
地哪家
本题主要考查正弦定理解三角形，考查求三角形外接圆的面积，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
解析
18、答案（1），（2）
详解
，.
（1）的最小正周期.
由得
的单调减区间为.
（2），
.
，即的值域为.
点睛
以平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
解析
19、答案（1）2；（2）1
(1)由题意结合坐标轴上角的三角函数值可得三角函数式的值为2；
(2)由题意结合诱导公式可得三角函数式的值为1.
试题解析：
（1）；
（2）.
解析
