高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布10.6(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布10.6(教师版)，共11页。

一、选择题
1．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，0≤x<1，,ln x＋e，1≤x≤e))在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是( )
A.eq \f(1,e) B．1－eq \f(1,e) C.eq \f(e,1＋e) D.eq \f(1,1＋e)
答案 B
解析 当0≤x＜1时，f(x)∵f(x)的值不小于常数e，∴1≤x≤e，∴所求概率为eq \f(e－1,e)＝1－eq \f(1,e)，故选B.
2．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq \f(S,4)的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于eq \f(S,4)”
等价于事件“|BP|∶|AB|>eq \f(1,4)”，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(△PBC的面积大于\f(S,4)))＝eq \f(|PA|,|BA|)＝eq \f(3,4).故选C.
3．已知实数a满足－3A．P1>P2 B．P1＝P2
C．P1答案 C
解析 若f(x)的值域为R，则Δ1＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2.
故P1＝eq \f(－2－－3,4－－3)＋eq \f(4－2,4－－3)＝eq \f(3,7).
若f(x)的定义域为R，则Δ2＝a2－4<0，得－24．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )
A．1－eq \f(π,4) B.eq \f(π,12) C.eq \f(π,4) D．1－eq \f(π,12)
答案 A
解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－eq \f(π,4)，故选A.
5．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为eq \f(1＋2,6)＝eq \f(1,2).故选C.
6．用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9π的概率是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9π的概率为P(A)＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5).
∴所截得圆的面积小于9π的概率为P(eq \(A,\s\up16(－)))＝1－eq \f(4,5)＝eq \f(1,5).故选B.
7．若从区间(0，e)，(e为自然对数的底数，e＝2.71828…)内随机选取两个数，则这两个数之积小于e的概率为( )
A.eq \f(2,e) B.eq \f(1,e) C．1－eq \f(2,e) D．1－eq \f(1,e)
答案 A
解析 设随机选取的两个数为x，y，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0该不等式组在坐标系中对应的区域面积为e2，
又不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0在坐标系中对应的区域面积为e＋eq \i\in(1,e,)eq \f(e,x)dx＝2e，
∴所求概率为eq \f(2,e)，故选A.
8．在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为( )
A．1－eq \f(π,8) B．1－eq \f(π,4) C．1－eq \f(π,2) D．1－eq \f(3π,4)
答案 B
解析 函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π2，点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P＝eq \f(2π×2π－π3,2π×2π)＝eq \f(4π2－π3,4π2)＝1－eq \f(π,4).故选B.
9．向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，则△MCD的面积小于eq \f(S,3)的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
答案 C
解析 设△MCD的高为ME，ME的反向延长线交AB于F，当“△MCD的面积等于eq \f(S,3)”时，eq \f(1,2)CD·ME＝eq \f(1,3)CD·EF，即ME＝eq \f(2,3)EF，过M作GH∥AB，则满足△MCD的面积小于eq \f(S,3)的点M在▱CDGH中，由几何概型的概率公式得到△MCD的面积小于eq \f(S,3)的概率为eq \f(\f(2S,3),S)＝eq \f(2,3).故选C.
10．已知λ＝3eq \i\in(0,1,)x2dx，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，则在矩形ABCD内(包括边界)任取一点P，使得eq \(AP,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))≥λ的概率为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(3,4) D.eq \f(7,8)
答案 D
解析 由已知得λ＝3eq \i\in(0,1,)x2dx＝3×eq \f(1,3)x3eq \\al(1,0)＝1.建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0,0)，C(2,1)，
设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up16(→))＝(x，y)，eq \(AC,\s\up16(→))＝(2,1)，故eq \(AP,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝2x＋y，则满足条件的点P(x，y)使得2x＋y≥1，由图可知满足条件的点P所在的区域(图中阴影区域)的面积S＝2×1－eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝2－eq \f(1,4)＝eq \f(7,4)
故所求概率为eq \f(\f(7,4),\a\vs4\al(2))＝eq \f(7,8)，故选D.
二、填空题
11. 如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq \r(3)，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率是________．
答案 eq \f(2,5)
解析 ∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.
在Rt△ABD中，AD＝eq \r(3)，∠B＝60°，BD＝eq \f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．
由几何概型的概率公式，得P(N)＝eq \f(30°,75°)＝eq \f(2,5).
12．一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．
答案 eq \f(π,120)
解析 依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积
V0＝eq \f(1,8)×eq \f(4π,3)×13＝eq \f(π,6)(立方米)，
又空屋子的体积V＝5×4×3＝60(立方米)，
三个捕蝇器捕捉到的空间体积V′＝3V0＝eq \f(π,2)(立方米)．
故苍蝇被捕捉的概率是eq \f(\f(π,2),60)＝eq \f(π,120).
13．正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
答案 eq \f(2,3)
解析 利用定积分直接求面积，再利用几何概型的概率公式求解．
正方形内阴影部分的面积S＝2eq \i\in(-1,1,) (1－x2)dx＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)x3))|eq \\al(1,－1)
＝2×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3)，所以所求概率为eq \f(\f(8,3),4)＝eq \f(2,3).
14．已知O(0,0)，A(2,1)，B(1，－2)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(1,5)))，动点P(x，y)满足0≤eq \(OP,\s\up16(→))·eq \(OA,\s\up16(→))≤2且0≤eq \(OP,\s\up16(→))·eq \(OB,\s\up16(→))≤2，则点P到点C的距离大于eq \f(1,4)的概率为________．
答案 1－eq \f(5π,64)
解析 ∵O(0,0)，A(2,1)，B(1，－2)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(1,5)))，
动点P(x，y)满足0≤eq \(OP,\s\up16(→))·eq \(OA,\s\up16(→))≤2且0≤eq \(OP,\s\up16(→))·eq \(OB,\s\up16(→))≤2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤2x＋y≤2，,0≤x－2y≤2.))如图，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤2x＋y≤2，,0≤x－2y≤2))
对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|>eq \f(1,4)对应的平面区域为阴影部分．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝0，,2x＋y＝2))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,5)，,y＝\f(2,5)，))即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(2,5)))，
∴|OE|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2)＝eq \f(2\r(5),5)，
∴正方形OEFG的面积为eq \f(4,5)，则阴影部分的面积为eq \f(4,5)－eq \f(π,16)，
∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为eq \f(\f(4,5)－\f(π,16),\f(4,5))＝1－eq \f(5π,64).
三、解答题
15．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.
(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；
(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))所表示的平面区域内的概率．
解 (1)记“复数z为纯虚数”为事件A.
∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，
且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，
其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，
∴所求事件的概率为P(A)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6).
(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)eq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(,\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤3，,0≤y≤4))))内，属于几何概型．该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y|\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))))，
其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．
又直线x＋2y－3＝0与x轴，y轴的交点分别为A(3,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，
∴三角形OAD的面积为S1＝eq \f(1,2)×3×eq \f(3,2)＝eq \f(9,4).
∴所求事件的概率为P＝eq \f(S1,S)＝eq \f(\f(9,4),12)＝eq \f(3,16).
16．设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝eq \f(b,x).
(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；
(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．
解 (1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
则|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有
x－eq \f(1,x)，x＋eq \f(1,x)，x＋eq \f(4,x)，4x－eq \f(1,x)，4x＋eq \f(1,x)，4x＋eq \f(4,x)，
共6种且每种情况被取到的可能性相同．
又当a>0，b>0时ax＋eq \f(b,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0， \r(\f(b,a))))上递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( \r(\f(b,a))，＋∞))上递增；
x－eq \f(1,x)和4x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上递增，
∴对x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有
x－eq \f(1,x)，x＋eq \f(1,x)，x＋eq \f(4,x)，4x－eq \f(1,x)，
故事件A包含的基本事件有4种，
∴P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，故所求概率是eq \f(2,3).
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，∵a是从区间[1,4]中任取的数，b是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．
要使x∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，
需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋eq \f(b,2)≤8，
∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P(B)＝eq \f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(11,4)))×3,3×3)＝eq \f(19,24)，故所求的概率是eq \f(19,24).