高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布10.5(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮课后刷题练习：第10章　计数原理、概率、随机变量及其分布10.5(教师版)，共11页。

一、选择题
1．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，则( )
A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3
C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1
答案 B
解析 先后抛掷两枚骰子点数之和共有36种可能，而点数之和为12,11,10的概率分别为P1＝eq \f(1,36)，P2＝eq \f(1,18)，P3＝eq \f(1,12).故选B.
2．现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(9,16) C.eq \f(11,16) D.eq \f(7,24)
答案 B
解析 所求概率P＝eq \f(C\\al(2,4)·A\\al(3,4),44)＝eq \f(9,16).故选B.
3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
答案 B
解析 从1,2,3,4中任取2个不同的数有Ceq \\al(2,4)＝6种情况：满足取出的2个数之差的绝对值为2的(1,3)，(2,4)，故所求概率是eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选B.
4．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随机地摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
答案 C
解析 小明口袋里共有5张餐票，随机地摸出2张，基本事件总数n＝10，其面值之和不少于四元包含的基本事件数m＝5，故其面值之和不少于四元的概率为eq \f(m,n)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2).故选C.
5．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(5,9) C.eq \f(2,3) D.eq \f(7,9)
答案 D
解析 甲任想一数字有3种结果，乙猜数字有3种结果，基本条件总数为3×3＝9.
设“甲、乙心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a－b|＞1”，即|a－b|＝2，包含2个基本事件，
∴P(B)＝eq \f(2,9).∴P(A)＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9).故选D.
6．若在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 ( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(2,7) C.eq \f(3,7) D.eq \f(4,7)
答案 C
解析 因为任取3个顶点连成三角形共有Ceq \\al(3,8)＝eq \f(8×7×6,3×2)＝56个，又每个顶点为直角顶点的非等腰三角形有3个，即正方体的一边与过此点的一条面对角线，所以共有24个三角形符合条件．所以所求概率为eq \f(24,56)＝eq \f(3,7).故选C.
7．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是( )
A.eq \f(15,64) B.eq \f(15,128) C.eq \f(24,125) D.eq \f(48,125)
答案 A
解析 由计数原理得基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式求解．将5本不同的书分给4名同学，共有45＝1024种分法，其中每名同学至少一本的分法有Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(4,4)＝240种，故所求概率是eq \f(240,1024)＝eq \f(15,64)，故选A.
8．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1的斜率k≥－eq \f(1,2)的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,4)
答案 D
解析 记a，b的取值为数对(a，b)，由题意知(a，b)的所有可能取值有36种．由直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1的斜率k＝－eq \f(b,a)≥－eq \f(1,2)，知eq \f(b,a)≤eq \f(1,2)，那么满足题意的(a，b)可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9种，所以所求概率为eq \f(9,36)＝eq \f(1,4).故选D.
9．某酒厂制作了3种不同的精美卡片，每瓶酒盒随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种酒5瓶，能获奖的概率为( )
A.eq \f(31,81) B.eq \f(33,81) C.eq \f(48,81) D.eq \f(50,81)
答案 D
解析 假设5个酒盒各不相同，5个酒盒装入卡片的方法一共有35＝243种，
其中包含了3种不同卡片有两种情况：即一样的卡片3张，另外两种不同的卡片各1张，有Ceq \\al(3,5)×2×3＝60种方法，两种不同的卡片各2张，另外一种卡片1张，有Ceq \\al(1,5)×3×Ceq \\al(2,4)＝15×6＝90种，
故所求的概率为eq \f(90＋60,243)＝eq \f(50,81).故选D.
10．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝eq \f(137,144)的内部，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,18)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,18)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,18)，\f(5,18))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,18)，\f(7,18)))
答案 D
解析 对于a与b各有6种情形，故总数为36种．
两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率为P1＝eq \f(2,36)＝eq \f(1,18).
两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，∴P2＝eq \f(33,36)＝eq \f(11,12).
∵点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝eq \f(137,144)的内部，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,18)－m))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,12)))2二、填空题
11．现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
答案 eq \f(20,63)
解析 从正整数m，n(m≤7，n≤9)中任取两数的所有可能结果有Ceq \\al(1,7)Ceq \\al(1,9)＝63个，其中m，n都取奇数的结果有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,5)＝20个，故所求概率为eq \f(20,63).
12．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率e>eq \r(5)的概率是________．
答案 eq \f(1,6)
解析 由e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))>eq \r(5)，得b>2a.当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
13．抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，则使得直线bx＋ay＝1与圆x2＋y2＝1相交且所得弦长不超过eq \f(4\r(2),3)的概率为________．
答案 eq \f(1,9)
解析 根据题意，得到的点数所形成的数组(a，b)共有6×6＝36种，其中满足直线bx＋ay＝1与圆x2＋y2＝1相交且所得弦长不超过eq \f(4\r(2),3)，则圆心到直线的距离不小于eq \f(1,3)，即1＞eq \f(1,\r(a2＋b2))≥eq \f(1,3)，即1＜a2＋b2≤9的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)四种，故直线bx＋ay＝1与圆x2＋y2＝1相交且所得弦长不超过eq \f(4\r(2),3)的概率为eq \f(4,36)＝eq \f(1,9).
14．无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1a3，a3a5时称为波形数，则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是________．
答案 eq \f(2,15)
解析 ∵a2>a1，a3；a4>a3，a5，∴a2只能是3,4,5.
(1)若a2＝3，则a4＝5，a5＝4，a1与a3是1或2，这时共有Aeq \\al(2,2)＝2(个)符合条件的五位数．
(2)若a2＝4，则a4＝5，a1，a3，a5可以是1,2,3，共有Aeq \\al(3,3)＝6(个)符合条件的五位数．
(3)若a2＝5，则a4＝3或4，此时分别与(1)(2)情况相同．
∴满足条件的五位数有2(Aeq \\al(2,2)＋Aeq \\al(3,3))＝16(个)．
又由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数有Aeq \\al(5,5)＝120(个)，故所求概率为eq \f(16,120)＝eq \f(2,15).
三、解答题
15．为了解收购的每只小龙虾的重量，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了40只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下．
从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表
从乙水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表
(1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频率分布直方图；
(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：
若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由；
(3)从乙水产养殖场抽取的重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中利用分层抽样的方法抽取6只，再从这6只中随机抽取2只，求至少有1只的重量在[15,25)内的概率．
解 (1)
(2)若把频率看作相应的概率，则
“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为eq \f(16＋10＋4,40)＝0.75，
“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为eq \f(18＋10＋4,40)＝0.8，
所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高．
(3)解法一：用分层抽样的方法从乙水产养殖场重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中抽取6只，则重量在[5,15)内的有1只，在[15,25)内的有3只，在[45,55]内的有2只，
记重量在[5,15)内的1只为x，在[15,25)内的3只分别为y1，y2，y3，在[45,55]内的2只分别为z1，z2，从中任取2只，可能的情况有(x，y1)，(x，y2)，(x，y3)，(x，z1)，(x，z2)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，(z1，z2)，共15种；
记“任取2只，至少有1只的重量在[15,25)内”为事件A，则事件A包含的情况有(x，y1)，(x，y2)，(x，y3)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，共12种．
所以P(A)＝eq \f(12,15)＝eq \f(4,5).
解法二：由解法一可知：重量在[15,25)内有3只，
由题意可得P＝1－eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,6))＝eq \f(4,5).
16．“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801－2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：
为了了解一批空气净化器(共2000台)的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]均匀分组，其中累积净化量在(4,6]的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．
(1)求n的值及频率分布直方图中的x值；
(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有多少台？
(3)从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．
解 (1)∵在(4,6]之间的数据一共有6个，
再由频率分布直方图得：
落在(4,6]之间的频率为0.03×2＝0.06，
∴n＝eq \f(6,0.06)＝100，由频率分布直方图的性质得：
(0.03＋x＋0.12＋0.14＋0.15)×2＝1，解得x＝0.06.
(2)由频率分布直方图可知：落在(6,8]之间共：0.12×2×100＝24台．
又∵在(5,6]之间共4台，
∴落在(5,8]之间共28台，
∴估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有560台．
(3)设“恰好有1台等级为P2”为事件B，
依题意落在(4,6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，
则从(4,6]中随机抽取2台，基本事件总数n＝Ceq \\al(2,6)＝15，
事件B包含的基本事件个数m＝Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,2)＝8，
∴恰好有1台等级为P2的概率P(B)＝eq \f(m,n)＝eq \f(8,15).
重量/克
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
频数
2
8
16
10
4
重量/克
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
频数
2
6
18
10
4
重量/克
[5,25)
[25,45)
[45,55]
等级
三级
二级
一级
累积净化量(克)
(3,5]
(5,8]
(8,12]
12以上
等级
P1
P2
P3
P4