河南省临颍县南街高级中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)
展开高二数学期末试卷
一、单选题
1.已知等差数列 满足 , ,则 ( )
A. 176 B. 88 C. 44 D. 22
2.平行直线与的距离是( )
A. B. C. D.
3.已知变量x,y满足, 目标函数是z=2x+y,则有( )
A. B. 无最小值
C. 无最大值 D. z既无最大值,也无最小值
4.设双曲线的右焦点为F,过点F作与轴垂直的直线交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设O为坐标原点,若, 且, 则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.如图,在平行四边形ABCD中,M是BC的中点,且AD=DM,N是线段BD上的动点,过点 作AM的垂线,垂足为H,当 最小时, ( )
A. B.
C. D.
6.已知集合,集合,则 等于 ( )
A.
B.
C.
D.
7.函数 在区间 上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.定义在R上的函数y=f(x),满足f(1﹣x)=f(x),(x﹣ )f′(x)>0,若x1<x2且x1+x2>1,则有( )
A. f(x1)<f(x2) B. f(x1)>f(x2) C. f(x1)=f(x2) D. 不能确定
9.设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知 ,则tan2α=( )
A. B. - C. D. -
11.曲线 和直线 所围成图形的面积是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
12.已知a1 , a2 , a3 , …,a8为各项都大于零的数列,则“a1+a8<a4+a5”是“a1 , a2 , a3 , …,a8不是等比数列”的( )
A. 充分且必要条件 B. 充分但非必要条件 C. 必要但非充分条件 D. 既不充分也不必要条件
13.等差数列中,如果, , 数列前9项的和为( )
A. 297 B. 144 C. 99 D. 66
14.已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
15.根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为 ,下雨的概率为 ,既吹东风又下雨的概率为 ,则在吹东风的条件下下雨的概率为( )
A. B. C. D.
16.用数学归纳法证明由n=k到n=k+1时,不等式左边应添加的项是( )
A.
B.
C.
D.
17.P是双曲线=1(a>0,b>0)上的点,F1、F2是其焦点,且, 若△F1PF2的面积是9,a+b=7,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
18.已知直线与椭圆 交于 两点, 中点是 ,则直线的斜率为( )
A. B. C. D. 4
19.已知直线m,n和平面α,满足m⊂α,n⊥α,则直线m,n的关系是( )
A. 平行 B. 异面 C. 垂直 D. 平行或异面
20.已知锐角三角形三边分别为3,4,a,则a的取值范围为( )
A. 1<a<5 B. 1<a<7 C. D.
二、填空题
21.已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ,点 在椭圆上,若线段 的中点在 轴上,则 ________, ________.
22.求值:tan15°﹣tan45°+ tan15°•tan45°=________.
23.将边长为2正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C,有如下四个判断:
①AC⊥BD
②AB与平面BCD所成60°角
③△ABC是等边三角形
④若A、B、C、D四点在同一个球面上,则该球的表面积为8π
其中正确判断的序号是________ .
24.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δy),则 为________.
25.设集合 ,其中 是复数,若集合 中任意两数之积及任意一个数的平方仍是 中的元素,则集合 ________;
26.椭圆 的左焦点为 ,直线 与椭圆相交于点 、 ,当 的周长最大时, 的面积是________。
27.已知 ,若不等式 对所有的 都成立,则 的取值范围是________.
28.如图,圆锥的底面直径 ,母线长 ,点 在母线 上,且 ,有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 到达点 ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是________.
29.三阶行列式 中,元素 的代数余子式的值为________.
三、解答题
30.某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过 立方米的部分按4元/立方米收费,超出 立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果 为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米, 至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当 时,估计该市居民该月的人均水费.
31.已知:a,b,c,(a,b,c∈R)成等比数列,且公比q≠1,求证:1﹣a,1﹣b,1﹣c不可能成等比数列.
32.已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直线l:x﹣y+3=0.当直线l被圆C截得的弦长为 时,求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程.
33.已知数列 的首项为0, .
(1)证明数列 是等差数列,并求出数列 的通项公式;
(2)已知数列 的前 项和为 ,且数列 满足 ,若不等式 对一切 恒成立,求 的取值范围.
34.已知椭圆 : ( )的左焦点为 ,长轴长为 。
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)设 为坐标原点, 为直线 上一点,过 作 的垂线交椭圆于 , 。当四边形 是平行四边形时,求四边形 的面积。
35.若函数 ,当 时,函数 有极大值.
(1)求函数的解析式;
(2)若存在 ,使得 能成立,求 的取值范围;
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
2.【答案】 C
3.【答案】 C
4.【答案】 C
5.【答案】 C
6.【答案】 A
7.【答案】 D
8.【答案】 A
9.【答案】 A
10.【答案】C
11.【答案】 C
12.【答案】 B
13.【答案】 C
14.【答案】 D
15.【答案】 D
16.【答案】 C
17.【答案】 B
18.【答案】 C
19.【答案】 C
20.【答案】 C
二、填空题
21.【答案】 ;
22.【答案】﹣
23.【答案】 ①③④
24.【答案】 Δx+2
25.【答案】 或
26.【答案】 3
27.【答案】
28.【答案】
29.【答案】
三、解答题
30.【答案】 (1)解:由用水量的频率分布直方图知,
该市居民该月用水量在区间 内的频率依次为 .
所以该月用水量不超过 立方米的居民占 ,用水量不超过 立方米的居民占 .依题意, 至少定为
(2)解:由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05
根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:
(元).
31.【答案】 【解答】证明:假设1﹣a,1﹣b,1﹣c不成等比数列,
则(1﹣b)2=(1﹣a)(1﹣c)①
∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,②
将②代入①,整理得2b=a+c
∴2aq=a+aq2 , q2﹣2q+1=0,
从而q=1,
这与已知q≠1矛盾,
∴1﹣a,1﹣b,1﹣c不可能成等比数列
32.【答案】 解:(Ⅰ)依题意可得圆心C(a,2),半径r=2,
则圆心到直线l:x﹣y+3=0的距离 ,
由勾股定理可知 ,代入化简得|a+1|=2,
解得a=1或a=﹣3,
又a>0,所以a=1;
(Ⅱ)由(1)知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=4,圆心坐标为(1,2),圆的半径r=2
由(3,5)到圆心的距离为 = >r=2,得到(3,5)在圆外,
∴①当切线方程的斜率存在时,设方程为y﹣5=k(x﹣3)
由圆心到切线的距离d= =r=2,
化简得:12k=5,可解得 ,
∴切线方程为5x﹣12y+45=0;
②当过(3,5)斜率不存在直线方程为x=3与圆相切.
由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3
33.【答案】 (1)证明:∵ ,∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴数列 是首项为1,公差为2的等差数列.
∴ ,∴ .
(2)解:由题可知 , ,
,
两式相减得 ,
∴ .
∴ ,
若 为偶数,则 ,∴ ;
若 为奇数,则 ,∴ ,∴ .
综上, .
34.【答案】 (1)解:椭圆C的标准方程为
(2)解:设 点的坐标为( , ),则直线 的斜率 .
当 时,直线 的斜率 ,直线 的方程是 .
当 时,直线 的方程是 ,也符合 的形式.
设 ,将直线 的方程与椭圆 的方程联立,得 .
消去 ,得 .其判别式 >
所以 , , .
因为四边形 是平行四边形,所以 ,即 .
所以 .解得 .
此时四边形 的面积 .
35.【答案】 (1)解: ,
因为 时,函数 有极大值,所以 ,
解得: 或 .
当 时, ,函数在 为增函数,
为减函数, 为增函数, 时,函数 有极小值,
与题意不符故 舍去.
当 时, ,函数在 为减函数,
为增函数, 为减函数, 时,函数 有极大值,
则
(2)解:存在 ,使得 能成立,
所以在 时, 即可.
由(1)可知,函数在 为减函数, 为增函数, 为减函数,
时, , , ,
故 时, ,即 ,
所以
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