高中数学人教版新课标A必修11.2.1函数的概念学案及答案

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自主学习
1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域．
3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
2．函数的三要素是定义域、值域和对应关系．
3．由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同．
4．(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]．
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x(4)实数集R用区间表示为(－∞，＋∞)．
(5)把满足x≥a.，x>a，x≤b，x对点讲练
判断对应是否为函数
【例1】 判断下列对应是否为函数：
（1）xeq \f(2,x)，x≠0，x∈R；（2）xy，这里y2＝x，x∈N，y∈R；
(3)集合A＝R，B＝{－1,1}，对应关系f：当x为有理数时，f(x)＝－1；当x为无理数时，f(x)＝1，该对应是不是从A到B的函数？
分析 函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)定义域和对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应．
解 (1)对于任意一个非零实数x，eq \f(2,x)被x唯一确定，
所以当x≠0时，→eq \f(2,x)是函数，
这个函数也可以表示为f(x)＝eq \f(2,x)(x≠0)．（2） 当x=4时，y2 =4，得y=-2,不是有唯一值和x对应，所以，x→y(y2＝x)不是函数．
(3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应．
规律方法 判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)．
变式迁移1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数：
（1）A=R，B=R，对任意的x∈A，x→x2；
（2）A={（x，y）|x，y∈R}，B=R，对任意的（x，y）∈A，（x，y）→x+y；
（3）A=B=N*，对任意的x∈A，x→|x-3|.
解 (1)是．
(2)不是，因为集合A不是数集．
(3)不是，因为当x＝3时，在集合B中不存在数值与之对应．
已知解析式求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(3,1－\r(1－x))； (2)y＝eq \f(\r(－x),2x2－3x－2)； (3)y＝eq \r(2x＋3)－eq \f(1,\r(2－x))＋eq \f(1,x).
分析 求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围．
解 (1)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1,x≠0))⇔x≤1且x≠0，所以函数y＝eq \f(3,1－\r(1－x))的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
(2)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x≥0，,2x2－3x－2≠0))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,x≠2且x≠－\f(1,2)))⇔x≤0且x≠－eq \f(1,2).
故函数y＝eq \f(\r(－x),2x2－3x－2)的定义域为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)).
(3)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3≥0，,2－x>0，,x≠0.))
解得－eq \f(3,2)≤x<2且x≠0，
所以函数y＝eq \r(2x＋3)－eq \f(1,\r(2－x))＋eq \f(1,x)的定义域为
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))∪(0,2)．
规律方法 求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
变式迁移2 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq \f(6,x2－3x＋2)； (2)f(x)＝eq \r(3x－1)＋eq \r(1－2x)＋4； (3)f(x)＝eq \f(x＋10,|x|－x).
解 (1)由x2－3x＋2≠0，得x≠1，x≠2.
∴f(x)＝eq \f(6,x2－3x＋2)的定义域是{x∈R|x≠1且x≠2}．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1≥0,1－2x≥0))，得eq \f(1,3)≤x≤eq \f(1,2).
∴f(x)＝eq \r(3x－1)＋eq \r(1－2x)＋4的定义域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))).
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0,|x|－x≠0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－1,|x|≠x，))
∴x<0且x≠－1，
∴原函数的定义域为{x|x<0且x≠－1}．
两函数相同的判定
【例3】 下列各题中两个函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2； (2)f(x)＝x，g(x)＝eq \r(x2)；
(3)f(t)＝t，g(x)＝eq \r(3,x3)； (4)f(x)＝eq \f(x2－4,x－2)，g(x)＝x＋2.
分析 要判断两个函数是否为同一函数，关键在于看函数的两要素：定义域和对应关系是否相同，两者只要有一个不同，两个函数就不是同一函数．
解 (1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同，
故不是同一函数．
(2)g(x)＝eq \r(x2)＝|x|，两个函数对应关系不同，故不是同一函数．
(3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数．
(4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数．
规律方法 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应关系不同，两个函数也是不同的；
(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系；
(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．
变式迁移3 试判断下列函数是否为同一函数：
(1)f(x)＝eq \r(x)·eq \r(x＋1)与g(x)＝eq \r(xx＋1)； (2)f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t；
(3)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．
解 (2)是，(1)、(3)不是．
对于(1)，f(x)的定义域为[0，＋∞)，
而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
(3)也是定义域不同．
求函数的值域
【例4】 (1)已知函数f(x)＝x2－2x，定义域A＝{0,1,2,3}，求这个函数的值域；
(2)求函数f(x)＝eq \f(1,x2＋1)，x∈R，在x＝0,1,2处的函数值及该函数的值域．
解 (1)函数的定义域为A＝{0,1,2,3}，分别令x＝0,1,2,3得相应的函数值分别为0，－1,0,3，于是知，函数的值域为{－1,0,3}．
(2)f(0)＝1，f(1)＝eq \f(1,2)，f(2)＝eq \f(1,5).
容易看出，这个函数当x＝0时，取得最大值，当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并无限接近于0，但永远不会等于0.
从而可知，这个函数的值域为(0,1]．
规律方法 (1)求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数，其值域是指集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域和对应关系．对应关系相同，而定义域不同，其值域肯定不同，如f(x)＝x2－2x，x∈[0,2]与f(x)＝x2－2x，x∈R.
(2)求函数的值域没有固定的方法和模式，就目前阶段主要用观察法求值域，但函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．
变式迁移4 (1)函数f(x)＝eq \r(x－1)(x≥1)的值域为________(用区间表示)；
(2)函数y＝eq \f(2,x)(1≤x≤2)的值域为______(用区间表示)．
答案 (1)[0，＋∞) (2)[1,2]
1．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．
2．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．
3．区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具．
课时作业
一、选择题
1．下列集合A，B及对应关系不能构成函数的是( )
A．A＝B＝R，f(x)＝|x| B．A＝B＝R，f(x)＝eq \f(1,x)
C．A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3 D．A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0
答案 B
解析 在B项中f(0)无意义，即A中的数0在B中找不到和它对应的数．
2．设f(x)＝eq \f(x2－1,x2＋1)，则eq \f(f2,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))等于( )
A．1 B．－1 C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
答案 B
解析 ∵f(2)＝eq \f(22－1,22＋1)＝eq \f(3,5)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1)＝－eq \f(3,5)
∴eq \f(f2,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝－1.
3．函数y＝eq \f(x－10,\r(|x|＋x))的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)
答案 C
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠0,|x|＋x>0))，得x>0且x≠1.
4．下列各组函数表示同一函数的是( )
A．y＝eq \f(x2－9,x－3)与y＝x＋3 B．y＝eq \r(x2)－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0) D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
答案 C
解析 A中的两函数定义域不同，B中的两函数值域不同，D中的两函数对应关系不同，C正确．
5．给出四个命题：
①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；③因f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．
以上命题正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 D
二、填空题
6．将集合{x|2≤x≤8}表示成区间为____________．
答案 [2,8]
7．若f(x)＝eq \f(5x,x2＋1)，且f(a)＝2，则a＝________.
答案 2或eq \f(1,2)
8．函数y＝x2－2的定义域为{－1,0,1,2}，则其值域为________．
答案 {－1，－2,2}
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)； (2)y＝eq \f(\r(x2－1)＋\r(1－x2),x－1).
解 (1)要使函数有意义，需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0,|x|－3≠0))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤5,x≠±3))，在数轴上标出，如图，
即x<－3或－3故函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．
当然也可以表示为{x|x<－3或－3(2)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1≥0，,1－x2≥0，,x－1≠0，))解得x＝－1
∴函数的定义域为{－1}．
10．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))有什么关系？并证明你的发现；
(3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 010)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 010))).
解 (1)∵f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，
∴f(2)＝eq \f(22,1＋22)＝eq \f(4,5)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(1,5)，
f(3)＝eq \f(32,1＋32)＝eq \f(9,10)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(1,10).
(2)由(1)可发现f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，证明如下：
f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,1＋x2)＝1.
(3)由(2)知：f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，…，
f(2 010)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 010)))＝1，
∴原式＝eq \f(1,2)＋1＋1＋1＋…＋eq \(1,\s\d4(2 009个))＝2 009＋eq \f(1,2)
＝eq \f(4 019,2).
【探究驿站】
11．已知f(x)的定义域为(0,1]，求g(x)＝f(x＋a)·f(x－a) (a≤0)的定义域．
解
由已知得


即


用数轴法，讨论(1)当a＝0时，x∈(0,1]；
(2)当a≤－eq \f(1,2)时，x∈∅，即函数不存在；
(3)当－eq \f(1,2)