高考数学(文数)一轮复习考点测试29《等差数列》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试29《等差数列》（教师版），共8页。试卷主要包含了理解等差数列的概念，故选C，故选D，故选A，故选B等内容，欢迎下载使用。

本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度
考纲研读
1．理解等差数列的概念
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题
4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系
一、基础小题
1．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 C
解析 因为d＝eq \f(a3－a1,2)＝2，所以Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8．故选C．
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝( )
A．10 B．18 C．20 D．28
答案 C
解析 由题意可知a3＋a8＝a5＋a6＝10，所以3a5＋a7＝2a5＋a5＋a7＝2a5＋2a6＝20，故选C．
3．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝( )
A．72 B．88 C．92 D．98
答案 C
解析 由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，所以{an}为等差数列，公差为3，
由a4＋a5＝23得2a1＋7d＝23，所以a1＝1，S8＝8＋eq \f(1,2)×8×7×3＝92．故选C．
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )
A．8 B．7 C．6 D．5
答案 D
解析 由a1＝1，公差d＝2，得通项an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，解得k＝5．故选D．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＋a11＝30，则S13＝( )
A．130 B．65 C．70 D．140
答案 A
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2＋a8＋a11＝30，可得a1＋6d＝10，
故S13＝eq \f(13a1＋a13,2)＝13(a1＋6d)＝130．故选A．
6．设{an}是公差不为0的等差数列，且aeq \\al(2,4)＋aeq \\al(2,5)＝aeq \\al(2,6)＋aeq \\al(2,7)，则该数列的前10项和S10＝( )
A．－10 B．－5 C．0 D．5
答案 C
解析 由aeq \\al(2,4)＋aeq \\al(2,5)＝aeq \\al(2,6)＋aeq \\al(2,7)得aeq \\al(2,4)－aeq \\al(2,6)＝aeq \\al(2,7)－aeq \\al(2,5)，即(a4－a6)(a4＋a6)＝(a7－a5)(a7＋a5)，
也即－2d×2a5＝2d×2a6，由d≠0，得a6＋a5＝a1＋a10＝0，所以S10＝5(a1＋a10)＝0．故选C．
7．在等差数列{an}中，已知S4＝1，S8＝4，设S＝a17＋a18＋a19＋a20，则S的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
答案 B
解析 由S4＝1，S8＝4得S8－S4＝3，所以S12－S8＝5，所以S16－S12＝7，
所以S＝S20－S16＝9．故选B．
8．等差数列{an}的前n项和为Sn．已知am－1＋am＋1－aeq \\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，则m＝________．
答案 10
解析 因为am－1＋am＋1－aeq \\al(2,m)＝0，数列{an}是等差数列，所以2am－aeq \\al(2,m)＝0，解得am＝0或am＝2．
又S2m－1＝38，所以am＝0不符合题意，所以am＝2．
所以S2m－1＝eq \f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝(2m－1)am＝38，解得m＝10．
二、高考小题
9．=设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
答案 B
解析 设该等差数列的公差为d，
根据题中的条件可得3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×2＋\f(3×2,2)·d))＝2×2＋d＋4×2＋eq \f(4×3,2)·d，解得d＝－3，
所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10，故选B．
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 在等差数列{an}中，S6＝eq \f(a1＋a6×6,2)＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5．
又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4．故选C．
11．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A．－24 B．－3 C．3 D．8
答案 A
解析 设等差数列{an}的公差为d，依题意得aeq \\al(2,3)＝a2·a6，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，
解得d＝－2或d＝0(舍去)，又a1＝1，所以S6＝6×1＋eq \f(6×5,2)×(－2)＝－24．故选A．
12．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )
A．100 B．99 C．98 D．97
答案 C
解析 设{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式及通项公式，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝27，,a10＝a1＋9d＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,d＝1，))an＝a1＋(n－1)d＝n－2，
所以a100＝100－2＝98．故选C．
13．设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．
答案 an＝6n－3
解析 设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝6＋5d＝36，
∴d＝6，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋6(n－1)＝6n－3．
14．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋aeq \\al(2,2)＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
答案 20
解析 设等差数列{an}的公差为d，则由题设可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1＋d2＝－3，,5a1＋\f(5×4,2)d＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝3，,a1＝－4，))从而a9＝a1＋8d＝20．
三、模拟小题
15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为( )
A．－3 B．0 C．3 D．6
答案 B
解析 解法一：由S3＝3a2＝3，得a2＝1，又a1＝3，则公差d＝－2，故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3＋1＋(－1)＋(－3)＝0，故选B．
解法二：a2＋a3＝S3－a1＝0，则S4＝2(a2＋a3)＝0，故选B．
16．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S9＝λa4，则λ的值为( )
A．18 B．20 C．21 D．25
答案 A
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由a6＝3a4，得a1＋5d＝3(a1＋3d)，
所以a1＝－2d．由S9＝λa4，得9a1＋36d＝λ(a1＋3d)，代入a1＝－2d，得λ＝18．故选A．
17．在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是( )
A．55 B．11 C．50 D．60
答案 A
解析 依题意有a7－(a8－a7)＝5，即a7－d＝5(d为{an}的公差)，亦即a6＝5．
从而S11＝11a6＝11×5＝55．故选A．
18．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E所得为( )
A．eq \f(2,3)钱 B．eq \f(4,3)钱 C．eq \f(5,6)钱 D．eq \f(3,2)钱
答案 A
解析 由题意，设A所得为a－4d，B所得为a－3d，C所得为a－2d，D所得为a－d，
E所得为a，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5a－10d＝5，,2a－7d＝3a－3d，))解得a＝eq \f(2,3)，故E所得为eq \f(2,3)钱．故选A．
19．已知在等差数列{an}中，－10时，n的最大值为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
答案 B
解析 由数列{an}为等差数列，且它的前n项和Sn有最大值，可得d<0．
因为－10，a7<0，由eq \f(a7,a6)>－1，得eq \f(a6＋a7,a6)>0，所以a6＋a7>0，
所以a1＋a12>0，所以S12>0，又S13＝13a7<0，则当Sn>0时，n的最大值为12，故选B．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且数列eq \f(Sn,n)为等差数列，若S2＝1，S2018－S2016＝5，则S2018＝____．
答案 3027
解析 依题意，设eq \f(Sn,n)＝xn＋y(x，y∈R)，则eq \f(S2,2)＝eq \f(1,2)＝2x＋y，
且S2018－S2016＝20182x＋2018y－(20162x＋2016y)＝5，
联立可解得x＝eq \f(1,2016)，y＝eq \f(503,1008)．则Sn＝eq \f(1,2016)n2＋eq \f(503,1008)n，S2018＝3027．
一、高考大题
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解 (1)设{an}的公差为d，由题意，得3a1＋3d＝－15．
由a1＝－7，得d＝2．
所以{an}的通项公式为an＝－7＋(n－1)×2＝2n－9．
(2)由(1)，得Sn＝n×(－7)＋eq \f(nn－1,2)×2＝n2－8n＝(n－4)2－16．
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16．
2．设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean．
解 (1)设{an}的公差为d．
因为a2＋a3＝5ln 2，所以2a1＋3d＝5ln 2．
又a1＝ln 2，所以d＝ln 2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2．
(2)因为ea1＝eln 2＝2，eq \f(ean,ean－1)＝ean－an－1＝eln 2＝2，
所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×eq \f(1－2n,1－2)＝2(2n－1)＝2n＋1－2．
3．记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
解 (1)设{an}的公比为q，由题设可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11＋q＝2，,a11＋q＋q2＝－6.))解得q＝－2，a1＝－2．
故{an}的通项公式为an＝(－2)n．
(2)由(1)可得Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝－eq \f(2,3)＋(－1)n·eq \f(2n＋1,3)．
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－eq \f(4,3)＋(－1)n·eq \f(2n＋3－2n＋2,3)＝2－eq \f(2,3)＋(－1)n·eq \f(2n＋1,3)＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
二、模拟大题
4．已知数列{an}满足(an＋1－1)·(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq \f(1,an－1)．
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)证明：eq \f(1,an＋1－1)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(an－an＋1,an＋1－1an－1)
＝eq \f(1,3)，∴bn＋1－bn＝eq \f(1,3)，∴数列{bn}是等差数列．
(2)由(1)及b1＝eq \f(1,a1－1)＝eq \f(1,2－1)＝1，知bn＝eq \f(1,3)n＋eq \f(2,3)，
∴an－1＝eq \f(3,n＋2)，∴an＝eq \f(n＋5,n＋2)．
5．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2·a3＝45，S4＝28．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝eq \f(Sn,n＋c)(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．
解 (1)∵S4＝28，∴eq \f(a1＋a4×4,2)＝28，
∴a1＋a4＝14，∴a2＋a3＝14，
又a2·a3＝45，公差d>0，
∴a2∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝5，,a1＋2d＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝4，))
∴an＝4n－3．
(2)由(1)知Sn＝2n2－n，∴bn＝eq \f(Sn,n＋c)＝eq \f(2n2－n,n＋c)，
∴b1＝eq \f(1,1＋c)，b2＝eq \f(6,2＋c)，b3＝eq \f(15,3＋c)．
又{bn}是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
即2×eq \f(6,2＋c)＝eq \f(1,1＋c)＋eq \f(15,3＋c)，
解得c＝－eq \f(1,2)(c＝0舍去)．
6．在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23．
(1)求an；
(2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．
解 (1)∵an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，①
an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44，②
由②－①，得an＋2－an＝2．
又∵a2＋a1＝2－44，a1＝－23，∴a2＝－19，
同理得，a3＝－21，a4＝－17．
故a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列．
从而an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－24，n为奇数，,n－21，n为偶数.))
(2)当n为偶数时，
Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2(n－1)－44]
＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－eq \f(n,2)×44＝eq \f(n2,2)－22n，
故当n＝22时，Sn取得最小值为－242．
当n为奇数时，
Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)
＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]
＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋eq \f(n－1,2)·(－44)
＝－23＋eq \f(n＋1n－1,2)－22(n－1)
＝eq \f(n2,2)－22n－eq \f(3,2)．
故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243．
综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取得最小值为－243．