黑龙江省牡丹江市牡丹江第一高级中学2020级高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

2020级高二学年上学期期中考试

数学 试题

一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.椭圆的长轴长为（   ）

A.2 　　　           B.4　             C.8　　   　　    D.

2.已知点为空间不共面的四点，且向量,向量,则与不能构成空间基底的向量是   (　　)

A.              B.             C.            D. 或

3.圆被直线截得的线段长为(　　)

A. 2 　　　           B. 　　         C.1　　　         D.

4.经过三点的圆的面积是   (　　)

A.                 B.              C.   3          D. 

5.设是四面体，是的重心，是上的一点，且，若，则 为          (　　)

A.          B.        C.         D.

6.直线与圆的位置关系是   (　　)

A.相切               B.相交             C.相离              D.相交或相切

7.已知点在圆上，则的最大值是（    ）

A.                 B. 10              C.          D.

8.唐代诗人李白的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ）

A． B． C． D．

9.如图，在直三棱柱，底面为正三角形，，若分别是棱上的点，且，则异面直线所成角的余弦值为           (　　)

A.              B.             C.               D.

10. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为         (　　)

A.             B.         C.           D.

二、选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）

11．已知方程表示曲线，则（    ）

A．当时，曲线一定是椭圆             

B．当或时，曲线一定是双曲线

C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则

12.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（    ）

A．椭圆的长轴长为8    B．椭圆的离心率为

C．椭圆的离心率为    D．椭圆的一个方程可能为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 过点 且倾斜角比直线的倾斜角小的直线方程是        ．

14. 若两平行直线之间的距离为，则的值是         ．

15. 已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为        ．

16. 已知圆锥的顶点为为底面中心，为底面圆周上不重合的三点，为底面的直径, 为的中点．设直线与平面所成角为,则的最大值为          ．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（10分）若直线经过直线与直线的交点，且点到直线的距离为1，求直线的方程.

18．(12分) 已知圆

（1）求证：相交；

（2）求圆的公共弦所在的直线方程.

19.(12分)已知向量若向量同时满足下列三个条件：

①；②；③．

（1）求向量的坐标；

（2）若向量与向量共线,求向量－与2＋3夹角的余弦值．

20. (12分)已知椭圆，椭圆的右焦点为，

（1）求过点，且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；

（2）求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程。

21. (12分)如图所示，在四棱锥中，⊥平面,四边形满足，点为的中点，点为边上的动点,且，

（1）求证：；

（2）求证：平面⊥平面；

（3）是否存在实数λ,使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数λ的值；若不存在,请说明理由．

22．(12分)依次连接椭圆的四个顶点形成的四边形与共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分，

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与相切，且与椭圆相交于两点，求的最大值.

17.两直线的交点为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，由点到直线距离公式可得

，解得，此时直线的方程为；当直线的斜率不存在时，，点（2，2）到直线的距离等于1，满足条件。综上，直线的方程为，和

18. （1）略（2）

19、解：(1)设＝(x，y，z)，

则由题可知

解得或

所以＝(2,－1,2)或＝(－2,－1,－2)．

(2)因为向量与向量＝共线，所以＝(2,－1,2)．

又＝(2,1,－2)，＝(－1,0,1),

所以－＝(0,2,－4),2＋3＝(1,－2,7)，

所以(－)·(2＋3)＝－32,

且|－|＝2,|2＋3|＝3,

所以－与2＋3夹角的余弦值为cos〈－，2＋3〉＝－.

 20. 解：（1）椭圆的右焦点为F（2，0），过F斜率为1的直线为，将其带入得，

，设直线与为椭圆的两个交点为，则，

（2）设弦的端点为,，将两式做差得

，化简得即，

所以直线的方程为

21. 解：(1)证明：以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系．

由题意得,A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,4,0),P(0,0,2),M(1,2,1),

则＝(1,0,1),平面PAB的一个法向量为＝(0,1,0)．

因为·＝0,DM⊄平面PAB,所以DM∥平面PAB.

(2)证明：设平面ADM的法向量为＝(x，y，z),

因为＝(0,2,0),＝(1,2,1),

则取x＝1,得＝(1,0,－1)．

设平面PBC的法向量为＝(x1,y1,z1),

因为＝(2,0,－2)，＝(2,4,－2),

则取x1＝1,得＝(1,0,1)．

因为＝0,所以平面ADM⊥平面PBC.

(3)存在符合条件的λ.

设E(2,t,0)(0＜t＜4)，又P(0,0,2)，D(0,2,0)，

所以＝(0,2,－2)，＝(2,t－2,0),

设平面PDE的法向量为＝(a,b,c),

则取b＝2，得＝(2－t,2,2)．

平面DEB即为xAy平面,它的一个法向量为＝(0,0,1),因为二面角P­DE­B的余弦值为,

所以|cos〈,〉|＝＝＝,

解得t＝3或t＝1，所以λ＝3或λ＝.

22. 解：（1）椭圆的方程是

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为带入得，此时

当直线的斜率存在时，直线的方程为，因为与圆相切有，

由3得，，

设，则

所以，

当且仅当时，取得最大值为，经检验此时，综上，的最大值为