类型八 二次函数与平行四边形有关的问题（解析版）学案

类型八二次函数与平行四边形有关的问题

【典例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．

（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；

（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；

（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），

∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，

将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，

∴a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，

令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，

∴x＝﹣1或x＝3，

∴B（3，0），A（﹣1，0），

令x＝0，则y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴AC＝，

设点E（0，m），则AE＝，CE＝|m+3|，

∵△ACE是等腰三角形，

∴①当AC＝AE时，＝，

∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），

∴E（3，0），

②当AC＝CE时，＝|m+3|，

∴m＝﹣3±，

∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），

③当AE＝CE时，＝|m+3|，

∴m＝﹣，

∴E（0，﹣），

即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；

（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），

∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，

∴点Q的纵坐标为4，

设Q（t，4），

将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，

∴t＝1+2或t＝1﹣2，

∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），

分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），

∴FB＝PG＝3﹣1＝2，

∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，

即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．

【点睛】

此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．

【典例2】如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

【解析】（1）∵直线经过点,∴

        ∵抛物线经过点，

         ∴

         ∴抛物线的解析式为

（2）∵点的横坐标为且在抛物线上

  ∴

  ∵∥，∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形

①     当时，

∴，解得：

即当或时，四边形是平行四边形

②     当时，

，解得：（舍去）

即当时，四边形是平行四边形

【典例3】已知抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C．

（1）直接写出点A，B，C的坐标；

（2）将抛物线经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B， 两点（在B的右侧），顶点D的对应点，若，求的坐标和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B（3，0），y2=-x2+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．

【解析】

【分析】

（1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐标；

（2）设B（t，0），根据由题意得y2由y1平移所得，可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出D，判断出△BDB是等腰直角三角形，可得yD=|BB|，即可得到关于t的方程，解出t即可求出B的坐标和y2的解析式；

（3）分①若Q在B右边，②若Q在B左边：当BQ为边时和当BQ为对角线时，这几种情况讨论即可．

【详解】

解：（1）由题意得抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，

∴当y=0时，

即（x+3）（1-x）=0

解得x1=-3，x2=1，

∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），

当x=0时，y=-02-2×0+3=3，

∴C的坐标为（0，3），

综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）；

（2）设B（t，0），

由题意得y2由y1平移所得，

∴a=-1，

∴可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，

∴D（，），

∵B和B是对称点，D在对称轴上，∠BDB=90°，

∴△BDB是等腰直角三角形，

∴yD=|BB|，

∴=（t-1），

解得t=3，

∴B（3，0），

∴y2=-x2+4x-3；

（3）①若Q在B右边，则P在x轴上方，且CP∥BQ，

∴yP=yC=3，

此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；

②若Q在B左边，

当BQ为边时，则CP∥BQ，

此时yP=yC=3，P点在y1上，

将yP=3，代入y1得，

解得x1=0，x2=-2，

∴此时P的坐标为（-2，3）；

当BQ为对角线时，则BC∥QP，

∵yC-yB=3，

∴yQ-yP=3，

∵Q在x轴上，

∴yP=-3，

将yP=-3代入y1得，

解得x1=-1+，x2=-1-，

将yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3，

解得x1=0，x2=4，

∴P的坐标为：（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3），

综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键．

【典例4】如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；

【解析】解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，

∴，

解得a=﹣1，b=2，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．

（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：

，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3．

设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），

∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∵四边形ODEF是平行四边形，

∴EF=OD=2，

∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，

解得x=1或x=2，

∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．

【典例5】如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A、B两点，，．

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（3）设点E在轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）．

【解析】解：（1）∵

   ∴C (0,3)

又∵tan∠OCA=

∴A（1，0）

又∵S△ABC=6

∴

∴AB=4 ∴B（，0）

（2）把A（1，0）、B（，0）代入得：

∴，

∴

        ∵

∴顶点坐标（，）

（3）①AC为平行四边形的一边时

           E1析(，0)

           E2（，0）

           E3（，0）

②AC为平行四边形的对角线时

E4（3，0）

【典例6】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．

（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．

（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】：

（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；

（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到

当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；

（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．

【答案】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得

解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．

设直线AB的解析式是y=kx+b，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，

所以直线AB的解析式是y=x﹣3；

（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），

因为p在第四象限，

所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，

当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，

则S△ABM=S△BPM+S△APM==．

（3）存在，理由如下：

∵PM∥OB，

∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，

①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．

②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；

③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．

所以P点的横坐标是或．

【典例7】如图，抛物线经过三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】解：（1）设抛物线的解析式为 ，

   根据题意，得，

解得

∴抛物线的解析式为：            

（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.

设直线BC的解析式为，

由题意，得解得

∴直线BC的解析式为               

∵抛物线的对称轴是，

∴当时，

∴点P的坐标是.                     

（3）存在                            

(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为，∴点N的坐标为     （II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，∵四边形是平行四边形，∴,

∴Rt△CAO ≌Rt△,∴.

∵点C的坐标为,即N点的纵坐标为，

∴即

解得

∴点的坐标为和.

综上所述，满足题目条件的点N共有三个，

分别为，，

【典例8】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线AB的函数解析式为　   　，点M的坐标为　   　，cos∠ABO＝　   　；

连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　   　；

（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；

（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；

（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），即可求出AB的表达式；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，即可求解；

（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解；

（4）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．

【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，

故直线AB的表达式为：y＝x2+2x；

（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），

由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；

则∠ABO＝45°，故cos∠ABO＝；

对于y＝x2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；

OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，

则，即，解得：yP＝2或4，

故点P（﹣2，2）或（0，4）；

故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）；

（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，

点A′（4，0），

设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得，

故直线A′M的表达式为：y＝x﹣，

令x＝0，则y＝﹣，故点Q（0，﹣）；

（4）存在，理由：

设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），

①当AC是边时，

点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），

即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，

故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；

②当AC是对角线时，

由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，

解得：m＝﹣2，n＝6，

故点N（﹣2，6）；

综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．

【典例9】如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积（请在图1中探索）

（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标（请在图2中探索）

【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为：或（4，）或（，）．

【解析】

【分析】

（1）由图可知点B、点D的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；

（2）过点M作ME⊥AB于点E，由二次函数的性质，分别求出点A、C、M的坐标，然后得到OE、BE的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可；

（3）由点Q在y轴上，设Q（0，y），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB为对角线时；②当BQ2为对角线时；③当AQ3为对角线时；分别求出三种情况的点P的坐标，即可得到答案．

【详解】

解：（1）根据题意，抛物线经过B、D两点，

点D为（，），点B为（3，0），

则，

解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）∵，

∴点M的坐标为（1，2）

令，

解得：，，

∴点A为（，0）；

令，则，

∴点C为（0，）；

∴OA=1，OC=，

过点M作ME⊥AB于点E，如图：

∴，，，

∴，

∴；

（3）根据题意，点Q在y轴上，则设点Q为（0，y），

∵点P在抛物线上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

如图所示，可分为三种情况进行分析：

①AB为对角线时，则为对角线；

由平行四边形的性质，

∴点E为AB和的中点，

∵E为（1，0），

∵点Q1为（0，y），

∴点P1的横坐标为2；

当时，代入，

∴，

∴点；

②当BQ2是对角线时，AP也是对角线，

∵点B（3，0），点Q2（0，y），

∴BQ2中点的横坐标为，

∵点A为（，0），

∴点P2的横坐标为4，

当时，代入，

∴，

∴点P2的坐标为（4，）；

③当AQ3为对角线时，BP3也是对角线；

∵点A为（，0），点Q3（0，y），

∴AQ3的中点的横坐标为，

∵点B（3，0），

∴点P3的横坐标为，

当时，代入，

∴，

∴点P3的坐标为（，）；

综合上述，点P的坐标为：或（4，）或（，）．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析．