类型三 二次函数与面积有关的问题（解析版）学案

类型三二次函数与图形面积问题

【典例1】已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线，求证：当时，；

（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）的最小值为．

【解析】

【分析】

（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；

（2）利用反证法证明即可；

（3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可．

【详解】

解：（1）对于，

当时，，所以；

当时，，，所以，

又因为，所以或，

若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去．

若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意．

故可设二次函数的表达式为，

依题意，二次函数的图象过，两点，

所以，解得

所求二次函数的表达式为．

（2）当时，直线与直线不重合，

假设和不平行，则和必相交，设交点为，

由得，

解得，与已知矛盾，所以与不相交，

所以．

（3）如图，

因为直线过，所以，

又因为直线，所以，即，

所以，，

所以，所以，

设，则，

，

所以，

所以

所以当时，的最小值为．

【点睛】

本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．

【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若，求点的坐标；

（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．

【解析】

【分析】

（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；

（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；

（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．

【详解】

解：（1）在抛物线中，

令，则，

∴点C的坐标为（0，），

∴OC=2，

∵，

∴，，

∴点A为（，0），点B为（，0），

则把点A、B代入解析式，得

，解得：，

∴；

（2）由题意，∵，点C为（0，），

∴点P的纵坐标为，

令，则，

解得：，，

∴点P的坐标为（，）；

（3）设直线AC的解析式为，则

把点A、C代入，得

，解得：，

∴直线AC的解析式为；

过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：

设点P 为（，），则点D为（，），

∴，

∵OA=4，

∴，

∴，

∴当时，取最大值8；

∴，

∴点P的坐标为（，）．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．

【典例3】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标;

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;

（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

【解析】解：（1）令，得   解得

令，得

∴ A   B   C

（2）∵OA=OB=OC=    ∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB，        ∴PAB=

      过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形

令OE=，则PE=  ∴P

∵点P在抛物线上 ∴  

解得，（不合题意，舍去）
      ∴PE=

∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=

(3)． 假设存在

∵PAB=BAC =   ∴PAAC

∵MG轴于点G，   ∴MGA=PAC =

在Rt△AOC中，OA=OC=   ∴AC=

在Rt△PAE中，AE=PE=   ∴AP=  

设M点的横坐标为，则M

①点M在轴左侧时，则

(ⅰ) 当AMG PCA时，有=

∵AG=，MG=即  解得（舍去） （舍去）(ⅱ) 当MAG PCA时有=

即

解得：（舍去） 

∴M

② 点M在轴右侧时，则

(ⅰ) 当AMG PCA时有=

∵AG=，MG=     

∴  

解得（舍去） 

      ∴M

(ⅱ) 当MAGPCA时有=

即

解得：（舍去）   
∴M  

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似

M点的坐标为，，…………………………………13分

【典例4】如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b,c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

 【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0）   B（4，5）…………………1分

∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)

∴…………………………………………………2分

解得：b=-2   c=-3…………………………………………………3分

（2）如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0）   B(4,5)

∴直线AB的解析式为：y=x+1……………………………………4分

∵二次函数

∴设点E(t， t+1),则F（t，）………………………5分

∴EF= ………………………………………6分

    　　=

∴当时，EF的最大值=

∴点E的坐标为（，）………………………………7分

（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．

可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）

S　=　S　+　S

         =

         = 　………………………………………………10分

②如备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)

则有：      解得:,

∴,　

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）

则有：  　　解得： ，（与点F重合，舍去）

∴

综上所述：所有点P的坐标：，（.  能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

【典例5】如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，－2）.

（1）求此函数的关系式；

（2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）∵的顶点为C（1，－2），

∴，．

（2）设直线PE对应的函数关系式为

由题意，四边形ACBD是菱形.

    故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．

由P(0，－1)，M（1，0），得．从而，

    设E(，)，代入，得．

 解之得，，根据题意，得点E(3，2)   

（3）假设存在这样的点F，可设F(，)．

过点F作FG⊥轴，垂足为点G.

在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，

∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.

∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．

解得，，根据题意，得F(1，－2)．

故点F(1，－2)即为所求．       ．

【典例6】如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．

(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，－1）∴设

将C（0，3）代入上式，得

∴， 即…（3分）

（2）分两种情况：

①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)

令=0,  得

解之得, 

∵点A在点B的右边,  ∴B(1,0), A(3,0)∴P1(1,0)   （5分）

②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)

∵OA=OC,  ∠AOC=,  ∴∠OAD2=

当∠D2AP2=时, ∠OAP2=,  ∴AO平分∠D2AP2

又∵P2D2∥轴,  ∴P2D2⊥AO,  ∴P2、D2关于轴对称

设直线AC的函数关系式为

将A(3,0), C(0,3)代入上式得

,      ∴∴……………（7分）

∵D2在上, P2在上,

∴设D2(,), P2(,)∴()+()=0

,   ∴,  (舍)∴当=2时, ==－1 ∴P2的坐标为P2(2,－1)(即为抛物线顶点)

∴P点坐标为P1(1,0),  P2(2,－1)

(3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形当点P的坐标为P2(2,－1)(即顶点Q)时,

平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.

当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形

∵P(2,－1),  ∴可令F(,1)∴

解之得: ,  ∴F点有两点,

即F1(,1), F2(,1)