74.抛物线8（求值问题） 2022届高三数学一轮复习大题练

一轮复习大题专练74—抛物线8（求值问题）

1．已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上相异三点．

（1）若，求使取得最小值时的点的坐标：

（2）在（1）的条件下，若直线和直线的斜率，满足，求直线的斜率．

1．解：（1）因为抛物线，点，

所以点在抛物线内，

设点到准线的距离为，

则，

当点，，三点共线时，最小，

此时点的纵坐标为4，

故点的坐标为；

（2）设，又，

所以，，

因为，

所以，

故，

解得，

故直线的斜率为．

2．已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于，，，两点，．

（1）求抛物线的方程；

（2）为坐标原点，为上一点，若，求的值．

2．解：（1）直线的方程可表示为，

与抛物线方程联立可得方程组，

消去得，

解得，．

由，得，

解得，

所以抛物线的方程为．

（2）由（1）可得，，

设，，由，得，

所以，

因为点在抛物线上，

所以，

化简得，解得或．

3．已知圆，点是圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．

（1）若点满足，求点的轨迹方程；

（2）若过点且斜率分别为，的两条直线与（1）中的轨迹分别交于点、，、，并满足，求的值．

3．解：（1）设的坐标为，的坐标为，

过点作轴的垂线，垂足为，

，

，，

，

，

又点是圆上的动点，

，即，

．

（2）设，，，，所在的直线方程为，

联立直线，化简整理可得，，

则，

，

，

同理可得，，

，

，化简可得，，

又，

，

故．

4．已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最小值为4．

（1）求的方程；

（2）设点，，过点且斜率存在的两条直线分别交曲线于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．

4．解：（1）由题意可知，，，

，

，，

抛物线的方程为．

（2）由题意可知，直线和直线的斜率存在且不为0，分别设为，，

则直线的方程为，直线的方程为，

联立方程，消去得：，

由题意知△恒成立，

设，，，，

则，，

，

同理可得，

由得，，

，．

5．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知直线与抛物线交于，两点，在抛物线上是否存在点，使得直线，分别于轴交于，两点，且，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

5．解：（1）平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，

以轴为对称轴，且经过点，

故可设抛物线的方程为，

把点的坐标代入，可得，求得，

故抛物线的方程为．

（2）如图：由，可得，

△，，且，．

设抛物线上存在点，，使得直线，分别于轴交于，两点，

且，

则，．

，

，

故存在点，使得成立．

6．已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过点与抛物线相交于，两点（点位于第一象限）．

（1）求证：；

（2）如图，连接，并延长分别交抛物线于，点，设直线的斜率为，直线，的斜率为，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

6．解：（1）设直线方程为，，，，，

联立直线与抛物线的方程，，

消去，得，

故，又，

所以，

即．

（2）设，，，，由焦点，

设直线的方程为，

联立直线与抛物线的方程，

消去，得，

所以，，则，

同理可得，，

所以，

又，

所以，即为定值．