72.抛物线6（取值范围问题） 2022届高三数学一轮复习大题练

一轮复习大题专练72—抛物线6（取值范围问题）

1．椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上．已知焦距为2的椭圆的左、右焦点分别为，，从发出的一条不与轴重合的光线，在椭圆上依次经，两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为8．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线，且满足，若，求实数的取值范围．

1．解：（1）由椭圆的光学性质知过椭圆左焦点，由椭圆定义知，，，即，，

所以，所以椭圆方程为；

（2）由已知，设，，，，

则直线方程为，联立方程组可得，

则，，

，，，，可得，

则，消去可得，

，

，即，解得，

．

实数的取值范围：，

2．已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数．

（1）求点的轨迹．

（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且，求直线的斜率的取值范围．

2．解：（1）由条件得，

化简可得，

所以点的轨迹方程为；

（2）设直线的方程为，，，，

由，得，

则△，所以，

所以，，

因为，即，所以，

所以，所以，

所以，解得，所以，解得或，

所以直线的斜率的取值范围为，或，．

3．如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），直线交轴于点，过点作斜率为的直线交抛物线于另一点，且交轴于点，且满足，记，的面积分别为，．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）求的取值范围．

3．解：（Ⅰ）设，，，，由题意可知，直线的方程为，

联立方程组，可得，

则，，

所以；

（Ⅱ）设，，，，，，

则直线的方程为，直线的方程为，

联立方程组，可得，

所以，

联立方程组，可得，

所以，

解得，

所以

，

因为，

故，

所以

，

令，

则，

故的取值范围为．

4．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点，在抛物线上，其中，弦的中点为，以为端点的射线与抛物线交于点．

（1）若恰好是的重心，求；

（2）若，求的取值范围．

4．解：（1）设，，由是的重心，得，．

即，，

，

因为，得；

（2）因为为弦的中点，即，

所以，

因为、、三点共线，所以．

由直线斜率不为0，

故设直线，

由消去得．

得，其中，

则，

因为，即有，

所以．

5．如图，已知抛物线，斜率为正的直线交抛物线于，两点，交轴的负半轴于点，以为直径的圆与轴相切于点，交轴于点，．

（Ⅰ）求抛物线的准线方程；

（Ⅱ）求的最大值．

5．解：（Ⅰ）由题意知抛物线的准线方程是．

（Ⅱ）由题意可设直线，，，，．

将直线的方程代入抛物线得，

所以，，

点的坐标，满足，．

由得，

代入并化简得．

又，，，

由勾股定理得，

则，

当且仅当，即时等号成立．

由于，解得．

记，，

注意到，

则存在符合题意．

因此，的最大值是8．

6．如图．已知抛物线，直线过点与抛物线相交于，两点，抛物线在点，处的切线相交于点，过，分别作轴的平行线与直线上交于，两点．

（Ⅰ）证明：点在直线上，且；

（Ⅱ）记，的面积分别为和．求的最小值．

6．解：（Ⅰ）证明：因为不平行于轴，设直线的方程为，，，，，

因为，不妨令，则，

所以，所以，

所以过点的切线方程为，

整理得，

同理，过点的切线方程为，

联立两切线方程，解得，，

又，得，

所以，，

代入可得，满足，

所以点在直线上，

又，，

所以，

所以为，的中点，即．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，，

所以，同理，

所以

，

当时，有最小值．

7．已知抛物线的准线经过椭圆的一个焦点．

（1）求抛物线的方程；

（2）过椭圆的右顶点且斜率为，的两条直线分别交抛物线于点，，，，点，分别是线段，的中点，若，求抛物线的焦点到直线的距离的最大值．

7．解：（1）因为椭圆的焦点坐标为，

抛物线的准线方程为，

所以，解得，

故抛物线的方程为；

（2）设直线的方程为，设，，，，

联立，可得，

则，

且，，

故，

同理可得，

则直线的方程为，

即，

故直线经过定点，

所以焦点到直线的距离的最大值为．