68.抛物线2（定点问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练

一轮复习大题专练68—抛物线2（定点问题1）

1．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上一点且的面积为（其中为坐标原点），不过点的直线与抛物线交于，两点，且以为直径的圆经过点．

（1）求抛物线的方程；

（2）求证直线恒过定点．

1．（1）解：由题意，抛物线的焦点为，

点，是抛物线上一点，可得，

又由的面积为，可得，解得，

所以抛物线的方程为．

（2）证明：设，，，，直线，

联立方程组，消去得，

则△，且，，

所以，，

因为以为直径的圆经过点，可得，

所以

，

解得或，

当时，恒过（不满足题意，舍去）；

当时，恒过，

所以直线恒过定点．

2．过点的任一直线与抛物线交于两点，，且．

（1）求的值；

（2）已知，为抛物线上的两点，分别过，作抛物线的切线和，且，求证：直线过定点．

2．解：（1）、依题意可设直线的方程为：，设，，，，

由得，

可得，，

因为．即有，

则，

（2）证明：设，，，，

由（1）可知，，

则在，处的切线的斜率分别为，，

，，

即，

设直线的方程为，

联立，，，

，

，

直线过定点．

3．已知抛物线上一点，到焦点的距离．

（1）求的方程；

（2）点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

3．解：（1）由抛物线定义，得，由题意得，，解得

所以抛物线的方程为．

（2）证明：①直线斜率不存在时，不成立；

②直线斜率不存在时，设直线解得，

设，，，，则，，

因为，所以，

得，

所以，

得，即，

当时，过定点，不符合题意；

当时，直线过点，

所以点在以为直径的圆上，

故当为的中点时，定值．

4．已知过点的直线与抛物线相切于点，．

（1）求，；

（2）设直线与相交于点，，射线，与的另一个交点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

4．解：（1）由题意可设切线的方程为：，

联立，化为：，

则△，

化为：，

又，，

解得：，，．

（2）设，，，，

联立，化为：，

△，解得．

，，

射线的方程为：，，

射线的方程为：，，

联立，化为：，

，，

，可得，．

同理可得，，

直线的方程为：，

化为：，，即，

化为：，

直线经过定点．

5．设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．

（1）求双曲线的离心率；

（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，

（ⅰ）求双曲线方程；

（ⅱ）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

5．解：（1）由轴时，为等腰直角三角形，

可得，

所以，

即，

故，

因为，

解得，

故双曲线的离心率为2；

（2）由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点的距离最小，

最小距离为，

即，

又，

所以，，

所以，

所以双曲线的方程为：，

由题知直线的斜率不为0，

设直线，

，，，，

联立直线与双曲线的方程得，化简得，

，

根据根与系数的关系得，

，，①

所以，②

，③

设直线，

直线，

令，可得，，，，

设是以为直径的圆上的任意一点，

则，

则以为直径的圆的方程为：，

由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，

令，可得，

即，

将①②③代入，可得，

即，

解得或2，

所以以为直径的圆过定点，．

6．在平面直角坐标系中，抛物线上一点，到焦点的距离，不经过点的直线与交于，．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若直线，的斜率之和为2，证明：直线过定点．

6．（1）解：抛物线的焦点，准线方程为，

因为抛物线上一点，到焦点的距离，

由抛物线的定义得，所以．

所以抛物线的标准方程是；

（2）证明：将代入可得或（舍，所以点坐标为，

因为直线的斜率不等于0，设直线的方程是，，，，，

联立，得，

因为直线与有两个交点，所以△，即．

由韦达定理得，

因为直线，的斜率之和为2，

所以，

所以，

将代入上式可得：，即，

所以直线的方程是，它过定点．