高考数学(理数)二轮专题复习：21《圆锥曲线》阶段测试五（教师版）

这是一份高考数学(理数)二轮专题复习：21《圆锥曲线》阶段测试五（教师版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．
1．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0垂直，则m的值为( )
A．－8 B．0 C．10 D．2
2．直线l：kx＋y＋4＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0的一条对称轴，过点A(0，k)作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2) C.eq \r(6) D．2 eq \r(6)
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B.eq \f(\r(6),2) C.eq \f(\r(5),2) D．1
4．关于曲线C：x4＋y2＝1，给出下列四个命题：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线y＝x对称；
③曲线C围成的面积大于π；
④曲线C围成的面积小于π.
上述命题中，真命题的序号为( )
A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①③
5．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为eq \r(2).若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1 C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1
6．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，若椭圆上存在点P满足eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝2c2，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)，\f(\r(3),3)))
7．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝eq \f(2π,3)，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则eq \f(|MN|,|AB|)的最大值是( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),4)
8．如图，F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A．4 B.eq \r(7) C.eq \f(2 \r(3),3) D.eq \r(3)
二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线4x－3y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
10．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，则k＝________.
11．在△ABC中，∠A＝30°，|AB|＝2，S△ABC＝eq \r(3).若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝__________.
三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．(14分)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为eq \f(1,2).已知A是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为eq \f(1,2).
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为eq \f(\r(6),2)，求直线AP的方程．
13．(20分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2＋y2＝eq \f(3,4)相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(1,0)的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．
阶段检测卷(五)
1．D 解析：由条件知，eq \f(4－m,m＋2)·(－2)＝－1，∴m＝2.
2．C 解析：依题意，知直线l必过圆心(－2,2)，得k＝3.所以A(0,3)．所以直线m的方程为y＝x＋3，圆心(－2，2)到直线m的距离为d＝eq \f(\r(2),2).所以弦长为2eq \r(r2－d2)＝eq \r(6).
3．D 解析：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为e＝eq \f(\r(a2＋3),a)＝2.解得a＝1.
4．D 解析：对于①，将方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故①对；对于②，将方程中的x换为y，y换成x方程变为y4＋x2＝1与原方程不同，故②错；对于③，在曲线C上任取一点M(x0，y0)，xeq \\al(4,0)＋yeq \\al(2,0)＝1，∵|x0|≤1，∴xeq \\al(4,0)≤xeq \\al(2,0).∴xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)≥xeq \\al(4,0)＋yeq \\al(2,0)＝1，即点M在圆x2＋y2＝1外，故③对；④错．故选D.
5．B 解析：由题意，得a＝b，eq \f(4,c)＝1，则c＝4，a＝b＝2 eq \r(2).所以eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.故选B.
6．A 解析：设P(x0，y0)，则2c2＝eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝xeq \\al(2,0)－c2＋yeq \\al(2,0)，化为yeq \\al(2,0)＝3c2－xeq \\al(2,0).又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，∴xeq \\al(2,0)＝3a2－eq \f(a2b2,c2).∵0≤xeq \\al(2,0)≤a2，∴0≤3－eq \f(b2,c2)≤1.∵b2＝a2－c2，∴3≤eq \f(1,e2)≤4.∴eq \f(1,2)≤e≤eq \f(\r(3),3).故选A.
7．C 解析：如图D195，设|AF|＝a，|BF|＝b，则
图D195
AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs \f(2π,3))＝eq \r(a2＋b2＋ab).
∴eq \f(|MN|,|AB|)＝eq \f(a＋b,2\r(a2＋ab＋b2))
＝eq \f(1,2) eq \r(\f(a2＋b2＋2ab,a2＋ab＋b2))＝eq \f(1,2) eq \r(1＋\f(ab,a2＋ab＋b2))
＝eq \f(1,2) eq \r(1＋\f(1,1＋\f(a2＋b2,ab)))≤eq \f(1,2) eq \r(1＋\f(1,1＋2))＝eq \f(\r(3),3).
当且仅当a＝b时，等号成立，故eq \f(|MN|,|AB|)的最大值是eq \f(\r(3),3).
8．B 解析：设|AF1|＝x，则|AF2|＝2a＋x＝|AB|＝|BF2|，|BF1|＝2a＋2x.
又|BF1|－|BF2|＝(2a＋2x)－(2a＋x)＝x＝2a，
∴|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，|F1F2|＝2c，∠F1BF2＝60°.
由余弦定理，得(2c)2＝36a2＋16a2－2×6a×4a×eq \f(1,2)＝28a2.∴e2＝eq \f(c2,a2)＝7，即e＝eq \r(7).故选B.
9．(－5,5) 解析：圆x2＋y2＝4的圆心为O，半径等于2，圆心到直线4x－3y＋c＝0的距离d＝eq \f(|c|,5).要使圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线4x－3y＋c＝0的距离为1，应有eq \f(|c|,5)＜2－1，即－5＜c＜5.
10．2 解析：抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，
消去y化简，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝4＋eq \f(8,k2)，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝eq \f(8,k)，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因为eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)
＝eq \f(16,k2)－eq \f(16,k)＋4，
所以eq \f(16,k2)－eq \f(16,k)＋4＝0，则k2－4k＋4＝0.解得k＝2.
11.eq \f(\r(3)－1,2) 解析：S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·|AC|sin A＝eq \r(3)，
∴|AC|＝2 eq \r(3)，
|BC|＝eq \r(|AB|2＋|AC|2－2|AB|·|AC|cs A)＝2，
e＝eq \f(|AB|,|AC|＋|BC|)＝eq \f(2,2 \r(3)＋2)＝eq \f(\r(3)－1,2).
12．解：(1)设F的坐标为(－c,0)，依题意得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(p,2)＝a，a－c＝eq \f(1,2)，
解得a＝1，c＝eq \f(1,2)，p＝2.
于是b2＝a2－c2＝eq \f(3,4)，
所以椭圆的方程为x2＋eq \f(4y2,3)＝1，抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，与直线l的方程x＝－1联立，可得点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(2,m)))，故Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,m))).
将x＝my＋1与x2＋eq \f(4y2,3)＝1联立，消去x，
整理，得(3m2＋4)y2＋6my＝0.
解得y＝0或y＝eq \f(－6m,3m2＋4).
由点B异于点A，可得点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3m2＋4,3m2＋4)，\f(－6m,3m2＋4))).
由Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,m)))，可得直线BQ的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－6m,3m2＋4)－\f(2,m)))(x＋1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3m2＋4,3m2＋4)＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2,m)))＝0.
令y＝0，解得x＝eq \f(2－3m2,3m2＋2)，故Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－3m2,3m2＋2)，0)).
所以|AD|＝1－eq \f(2－3m2,3m2＋2)＝eq \f(6m2,3m2＋2).
又因为△APD的面积为eq \f(\r(6),2)，
所以eq \f(1,2)×eq \f(6m2,3m2＋2)×eq \f(2,|m|)＝eq \f(\r(6),2).
整理，得3m2－2 eq \r(6)|m|＋2＝0，解得|m|＝eq \f(\r(6),3).
所以m＝±eq \f(\r(6),3).
所以直线AP的方程为3x＋eq \r(6)y－3＝0或3x－eq \r(6)y－3＝0.
13．解：(1)∵椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＋＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2＋y2＝eq \f(3,4)相切，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e＝\f(c,a)＝\f(1,2)，,bc＝\f(\r(3),2) \r(b2＋c2)，,a2＝b2＋c2.))解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2＋4y2＝12，,y＝kx－1))⇒(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
则Δ＞0，x1＋x2＝eq \f(8k2,4k2＋3)，x1x2＝eq \f(4k2－12,4k2＋3).
若存在定点N(m,0)满足条件，
则有Neq \(A,\s\up6(→))·Neq \(B,\s\up6(→))＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2－(m＋k2)(x1＋x2)＋k2＋m2
＝eq \f(1＋k24k2－12,4k2＋3)－eq \f(m＋k28k2,4k2＋3)＋k2＋m2
＝eq \f(4m2－8m－5k2＋3m2－12,4k2＋3).
如果要上式为定值，那么必须有eq \f(4m2－8m－5,3m2－12)＝eq \f(4,3).
解得m＝eq \f(11,8).
验证当直线l斜率不存在时，也符合．
故存在点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,8)，0))满足eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))＝－eq \f(135,64).