专题30 一次函数应用题

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专题30 一次函数应用题

1．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有PQR三点顺次在同一条笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从P、Q两点同时同向出发，历时7分钟同时到达R点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，其中FG∥x轴，请结合图象，回答下列问题：
（Ⅰ）求甲机器人前2分钟的速度．
（Ⅱ）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式．
（Ⅲ）直接写出两机器人出发多少分钟时相距21千米．

解：（Ⅰ）由题意可得，
甲的速度为：（70+60×2）÷2＝（70+120）÷2＝190÷2＝95米/分，
答：甲机器人前2分钟的速度是95米/分；
（Ⅱ）由题意可得，
点F对应的纵坐标为：（95﹣60）×1＝35，
∴点F的坐标为（3，35），
设线段EF所在直线的函数解析式是y＝kx+b，
，解得，，
即线段EF所在直线的函数解析式是y＝35x﹣70；
（Ⅲ）设前二分钟y与x的函数解析式为y＝cx+d，
，得，
即前二分钟y与x的函数解析式为y＝﹣35x+70，
令y＝21，则21＝﹣35x+70，得x＝，
将y＝21代入y＝35x﹣70，得x＝，
设当4≤x≤7时，y与x的函数解析式为y＝mx+n，
，得，
即当4≤x≤7时，y与x的函数解析式为y＝，
将y＝21代入y＝，得x＝，
即两机器人出发分钟、分钟或分钟时相距21千米．




2．张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶．已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．
（1）张师傅开车行驶　 　 小时后开始加油，本次加油　 　升．
（2）求加油前Q与t之间的函数关系式．
（3）如果加油站距目的地210千米，汽车行驶速度为70千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．


解：（1）观察函数图象可知：张师傅开车行驶3小时后开始加油，
45﹣14＝31（升）．
故答案为：3；31．
（2）设加油前Q与t之间的函数关系式为Q＝kt+b（k≠0），
将（0，50）、（3，14）代入Q＝kt+b，
得：，
解得：，
加油前Q与t之间的函数关系式为Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）．
（3）该车每小时耗油量为：（50﹣14）÷3＝12（升），
∴到达目的地还需耗用12×（210÷70）＝36（升），
∵45＞36，
∴张师傅要想到达目的地，油箱中的油够用．


3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝2x的图象交于点C（3，6）．
（1）求一次函数y＝mx+n的解析式；
（2）点P在x轴上，当PB+PC最小时，求出点P的坐标；
（3）若点E是直线AC上一点，点F是平面内一点，以O、C、E、F四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点F的坐标．


解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象经过点A（﹣3，0），点C（3，6），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+3．

（2）如图1中，作点P关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB+PC的值最小．

∵B（0，3），C（3，6）
∴B′（0，﹣3），
∴直线CB′的解析式为y＝3x﹣3，
令y＝0，得到x＝1，
∴P（1，0）．

（3）如图，

①当OC为边时，四边形OCFE是矩形，此时EO⊥OC，
∵直线OC的解析式为y＝2x，
∴直线OE的解析式为y＝﹣x，
由，解得，
∴E（﹣2，1），
∵EO＝CF，OE∥CF，
∴F（1，7）．
②当OC为对角线时，四边形OE′CF′是矩形，此时OE′⊥AC，
∴直线OE′的解析式为y＝﹣x，
由，解得，
∴E′（﹣，），
∵OE′＝CF′，OE′∥CF′，
∴F′（，），
综上所述，满足条件的点F的坐标为（1.7）或（，）．


4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（8，0），（0，2），C是AB中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D．动点P从点D出发，沿DC向C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP，EC．
（1）当BP所在直线与EC所在直线垂直时，求点P的坐标．
（2）当BP所在直线平分三角形PEC面求点P的坐标．

解：如图：当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，设BP与CE交于点F，则∠FCP＝∠DBP

∵点A、B的坐标分别为（8，0），（0，2 ）
∴BO＝2 ，AO＝8
由CD⊥BO，C是AB的中点，可得BD＝DO＝BO＝＝PE，CD＝AO＝4，
设DP＝a，则CP＝4﹣a
又∵EP⊥CP，PD⊥BD
∴∠EPC＝∠PDB＝90°
∴△EPC∽△PDB
∴＝，即 ＝，
解得a1＝1，a2＝3
∴DP＝1或3，
又∵PE＝，
∴P（1，）或（3，）．

（2）如图，当BP所在直线 平分三角形PEC面积时，EF＝CF，设DP＝a，则CP＝4﹣a，

∴PF＝CF＝EF，
∴∠FPC＝∠PCF＝∠BPD，
∴△CPE∽△PDB，
∴＝，
∴＝，
∴a＝2，
∴P（2，）．





5．如图①，直线AB，AC交于点A（3，8），与x轴分别交于点B（﹣3，0），C（7，0），直线AB与y轴交于点D，点Q、E分别在线段BC、AC上，且QE∥AB，设点Q的坐标为（m，0）．
（1）用含有m的代数式表示点E的纵坐标，并求△CEQ的面积S与m间的函数关系式；
（2）若△CEQ的面积为10，求点Q的坐标；
（3）如图②，连接DE，在（2）的条件下判断四边形BQED的形状，并写明理由．

解：
（1）∵B（﹣3，0），C（7，0），A（3，8），
∴BC＝7﹣（﹣3）＝10，
∴S△ABC＝×10×8＝40，
∵QE∥AB，
∴△CEQ∽△CAB，
∴＝（）2
∵Q（m，0），
∴CQ＝7﹣m，
∴＝（）2，
∴S＝m2﹣m+；
（2）在S＝m2﹣m+中，令S＝10，可得10＝m2﹣m+，解得m＝2或m＝12，
∵Q在线段BC上，
∴m＝12舍去，
∴m＝2，
∴Q（2，0）；
（3）四边形BQED为菱形，理由如下：
设直线AB解析式为y＝kx+b，
∵A（3，8），B（﹣3，0），
∴，解得，
∴直线AB解析式为y＝x+4，
∴D（0，4），
∵QE∥AB，
∴可设直线QE解析式为y＝x+b′，
∵Q（2，0），
∴×2+b′＝0，解得b′＝﹣，
∴直线QE解析式为y＝x﹣，
设直线AC解析式为y＝sx+t，
∵A（3，8），C（7，0），
∴，解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣2x+14，
联立直线AC和直线QE解析式可得，解得，
∴E（5，4），
∴DE∥BQ，且QE∥AB，
∴四边形BQED平行四边形，
∵DE＝5，BD＝5，
∴四边形BQED为菱形．


6．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B两点，点C是点A关于y轴的对称点．
（1）试确定直线BC的解析式．
（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∵点C是点A关于y轴的对称点，
∴C（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
∴4k+4＝0，
∴k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；

（2）∵A（﹣4，0），B（0，4），C（4，0），
∴AB＝BC＝＝8，AC＝8，
∴AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA＝OC＝AB＝BC，
∵动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度，
∴点P在线段OA上时，点Q在线段BC上，点P在线段OC上时，点Q在线段AB上，
如图1，当P点在AO上时，作QH⊥x轴，
∵，
∴，
∴QH＝t
∴S△APQ＝AP•QH＝t•t＝t2（0＜t≤4），
当P点在OC上时，同理可得S△APQ＝t•（8﹣t）＝﹣t2+4t（4≤t＜8）；

（3）存在．由（2）知，S△APQ＝t2（0＜t≤4），
当t＝4时，△APQ的面积最大为8，
由（2）知，S△APQ＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣4）2+8（4≤t＜8）；
∴当t＝4时，△APQ的面积取得最大为8，
∴当t＝4时，△APQ的面积取得最大值
∵AO＝4，BC＝8，所以此时Q点和B点重合，
①当AQ是菱形的边时，如图所示，
（Ⅰ）在菱形AM1N1Q中，
∵AC⊥OB，点C是点A的对称点，
∴点N1于点C重合，
∴N1点的坐标为（4，0），
（Ⅱ）在菱形AQM2N2中，AN2∥OB，AN2＝AQ＝8，
∴N2点的坐标为（﹣4，8），
（Ⅲ）在菱形AQM3N3中，AN3∥OB，AN3＝AB＝8，
∴N3点的坐标为（﹣4，﹣8），
②当AQ为菱形的对角线时，如图所示的菱形AM4QN4，
设菱形的边长为x，则在Rt△AM4O中，AM42＝AO2+M4O2，
即x2＝42+（4﹣x）2，
解得x＝，
所以N4（﹣4，）．
综上可得，平面内满足条件的N点的坐标为（4，0）或（﹣4，8）或（﹣4，﹣8）或（﹣4，）．






7．某乡A，B两村盛产大蒜，A村有大蒜200吨，B村有大蒜300吨，现将这些大蒜运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的大蒜为x吨，A，B两村运大蒜往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；

C
D
总计
A
x吨
　 　
200吨
B
　 　
　 　
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
（2）当x为何值时，A村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．
解：（1）设从A村运往C仓库的大蒜为x吨，则从A村运往D仓库的大蒜为（200﹣x）吨，从B村运往C仓库的大蒜为（240﹣x）吨，从B村运往D仓库的大蒜为（60+x）吨，
根据题意得：yA＝40x+45（200﹣x）＝﹣5x+9000；
yB＝25（240﹣x）+32（60+x）＝7x+7920．
故答案为：（200﹣x）吨；（240﹣x）吨；（60+x）吨．
（2）根据题意得：﹣5x+9000＜7x+7920，
解得：x＞90，
∴当90＜x≤200时，A村的运费较少．
（3）设总运费为y元，则y＝yA+yB＝﹣5x+9000+7x+7920＝2x+16920，
∵k＝2＞0，
∴y值随x值的增大而增大，
∴当x＝0时，y取最小值，最小值为16920．
答：当A村大蒜运往C仓库0吨、D仓库200吨，B村大蒜运往C仓库240吨、D仓库60吨时，两村的运费之和最小，最小值为16920元．





8．已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+与直线y＝﹣kx+2k分别与x轴交于B、A两点，它们交于点C，且△ABC的面积为．

（1）求k的值；
（2）如图2，点P在直线BC上，过P点作x轴的垂线交直线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图3，点P和点D分别为线段BC和线段上AC上的点，且满足PB＝BD，延长BD至E，使得PB＝PE，当∠BPE＝4∠DBA时，求点P的坐标．

解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H，设C（m，n）．

∵直线y＝x+与直线y＝﹣kx+2k分别与x轴交于B、A两点，
∴A（2，0），B（﹣，0），
∵S△ABC＝，
∴（2+）×n＝，
∴n＝4，
∴4＝m+，
∴m＝，
∴C（，4），
∵点C在y＝﹣kx+2k上，
∴4＝﹣k+2k，
∴k＝3．

（2）①如图2中，当t＜时，

∵直线BC的解析式为y＝x+，直线AC的解析式为y＝﹣3x+6．
∵P（t，t+），Q（t，﹣3t+6），
∴d＝PQ＝﹣3t+6﹣（+）＝﹣t+．
②当t≥时，d＝（t+）﹣（﹣3t+6）＝t﹣．

（3）如图3中，设直线BC交y轴于F（0，），直线BE交y轴于K，作PH⊥AB于H．

∵∠BPE＝4∠EBA，设∠EBA＝x，则∠BPE＝4x，
∵PB＝PE，
∴∠PBE＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x，
∵∠PBE＝90°﹣∠KBO﹣∠BFO，
∴∠BFO＝x，
∴∠OBK＝∠BFO，∵∠BOK＝∠BOF，
∴△OBK∽△OFB，
∴OB2＝OK•OF，
可得OK＝，
∴直线BE的解析式为y＝x+，
由，解得，
∴D（，），
∴BD＝＝，
∴BP＝BD＝，
∵PH∥OF，
∴＝＝，
可得PH＝3，BH＝，
∴OH＝BHOB＝﹣＝，
∴P（，3）．





9．如图，矩形OABC摆放在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝8，OC＝6．
（1）求直线AC的表达式；
（2）若直线y＝x+b与矩形OABC有公共点，求b的取值范围；
（3）直线l：y＝kx+10与矩形OABC没有公共点，直接写出k的取值范围．

解：
（1）∵OA＝8，OC＝6，
∴A（8，0），C（0，6），
设直线AC表达式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AC表达式为y＝﹣x+6；
（2）∵直线y＝x+b可以看到是由直线y＝x平移得到，
∴当直线y＝x+b过A、C时，直线与矩形OABC有一个公共点，如图1，

当过点A时，代入可得0＝8+b，解得b＝﹣8，
当过点C时，可得b＝6，
∴直线y＝x+b与矩形OABC有公共点时，b的取值范围为﹣8≤b≤6；
（3）∵y＝kx+10，
∴直线l过D（0，10），且B（8，6），
如图2，直线l绕点D旋转，当直线过点B时，与矩形OABC有一个公共点，逆时针旋转到与y轴重合时与矩形OABC有公共点，

当过点B时，代入可得6＝8k+10，解得k＝﹣，
∴直线l：y＝kx+10与矩形OABC没有公共点时k的取值范围为k＞﹣．



10．如图，墙面OC与地面OD垂直，一架梯子AB长5米，开始时梯子紧贴墙面，梯子顶端A沿墙面匀速每分钟向下滑动1米，x分钟后点A滑动到点A′，梯子底端B沿地面向左滑动到点B′，OB′＝y米，滑动时梯子长度保持不变．
（1）当x＝1时，y＝　 　米；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）梯子底端B沿地面向左滑动的速度是　 　
A．匀速 B．先加速后减速 C．减速 D．先减速后加速
（4）研究（2）中函数图象及其性质．①在所给的坐标系中画出函数图象；②观察图象，你发现，它到　 　的距离都是　 　个单位
（5）梯子在滑动过程中，它的中点Q的运动路径长　 　．

解：（1）x＝1时，A′B＝5﹣1＝4，A′B′＝5，
∵∠O＝90°，
∴y＝OB′＝＝3．
故答案为3；

（2）y＝＝，（0≤x≤5）；

（3）如图2中，在半径OQ上取AB＝BC，过A、B、C作x轴的垂线交圆弧于D、E、F，作DM⊥BE，EN⊥CF，延长DE交CF于G．那么GN＝EM，

∵GN＞FN，
∴EM＞FN，
即点A移动的距离大于点B移动的距离，
∴是减速，
故选C．
（4）填表：

②图象如图所示：

∵y＝，
∴y2+（5﹣x）2＝52，
即PQ2＝PR2+RQ2＝25，
∴PQ＝5，
∴P到点Q（5，0）的距离是5个单位，
故答案为：Q（5，0），5；
（5）（4）可知，函数图象是以Q为圆心的圆弧，
∴它的中点Q的运动路径长＝＝π．
故答案为：π．