专题27 四边形中的面积综合问题

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A．4B．6C．8D．12
解：∵AC⊥BD，
∴▱ABCD为菱形，则其四边相等
且点E为斜边BC中点，
∴OE＝BE＝EC＝，
∴BC＝2，
∴▱ABCD的周长＝4BC＝8
故选：C．
2、如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则此花坛的面积等于（ ）
A．6平方米B．24平方米C．18平方米D．36平方米
解：作高DE，垂足为E，
则∠AED＝90°，
∵菱形花坛ABCD的周长是24m，
∴AB＝AD＝6m，
∵∠BAD＝60°，
sin∠BAD＝＝，
∴DE＝3m，
∴菱形花坛ABCD的面积＝AB•DE＝6×3＝18m2．
故选：C．
3、如图，▱ABCD的周长为16cm，AB≠AD，AC和BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长是（ ）
A．10cmB．8mC．6mD．4cm
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
又∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝DE，
∴AE+ED＝AE+BE，
∵▱ABCD的周长为16cm，
∴AB+AD＝8cm，
∴△ABE的周长＝AB+AD＝AB+AE+BE＝8cm，
故选：B．
4、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝3，PF＝9，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12B．24C．27D．54
解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×3×9＝13.5，
∴S阴＝13.5+13.5＝27，
故选：C．
5、如图，已知直角三角形ABC中，∠ABC为直角，AB＝12，BC＝16，三角形ACD为等腰三角形，其中AD＝DC＝，且AB∥CD，E为AC中点，连接ED，BE，BD，则三角形BDE的面积为 ．
解：∵∠ABC为直角，AB＝12，BC＝16，
∴AC＝＝＝20，
∵AD＝CD，E为AC中点，
∴AE＝EC＝10，DE⊥AC，
∴DE＝＝＝
∵S△ABC＝×AB×BC＝96，
∴S△BEC＝48，
∵三角形BDE的面积＝S△BDC﹣S△BEC﹣S△EDC，
∴三角形BDE的面积＝×16×﹣48﹣×10×＝，
故答案为：．
6、如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD＝3，DF＝1，求四边形DBEC面积．
（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，
∴四边形DBEC为平行四边形．
又∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴CD＝BD＝AC，
∴平行四边形DBEC是菱形；
（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD＝3，DF＝1，
∴DF是△ABC的中位线，AC＝2AD＝6，S△BCD＝S△ABC
∴BC＝2DF＝2．
又∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝4．
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S四边形DBEC＝2S△BCD＝S△ABC＝AB•BC＝×4×2＝4．
7、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（5，0）在x轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，对角线OB＝OA，BC交y轴于点D，且S▱OABC＝20．
（1）如图①，求点B的坐标：
（2）如图②，点P在线段OD上，设点P的纵坐标为t，△PAB的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，如图③，点Q在x轴上，点R为坐标平面内一点，若∠OCB﹣∠CBP＝45°，且四边形PQBR为菱形，求t的值并直接写出点Q的坐标．
解：（1）∵点A（5，0），OB＝OA，
∴OA＝OB＝5，
∵S▱OABC＝OA×OD＝5OD＝20，
∴OD＝4，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥AO，BC＝AO＝5，
∴∠BDO＝90°，
∴DB＝＝＝3，
∴点B（3，4）；
（2）∵点P的纵坐标为t，
∴OP＝t，
∴DP＝4﹣t，
∴S＝×（3+5）×4﹣×3×（4﹣t）﹣×5×t＝﹣t+10；
（3）如图，
由（1）知，B（3，4），OA＝5，BC∥OA，
∴C（﹣2，4），
∴CD＝2
取OD的中点E，则DE＝OD＝2，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝45°，
∴∠OCB﹣∠OCE＝45°，
∵∠OCB﹣∠CBP＝45°，
∴∠OCE＝∠CBP，
过点E作EF⊥OC于F，
∴∠CFE＝90°＝∠BDP，
∴△CFE∽△BDP，
∴，
在Rt△CDE中，CD＝DE＝2，
∴CE＝2，
在Rt△ODC中，CD＝2，OD＝4，
∴OC＝2，
∵CE是△OCD的中线，
∴S△OCE＝S△CDO＝××2×4＝2
∵S△OCE＝OC•EF＝×EF＝2，
∴EF＝，
在Rt△CFE中，根据勾股定理得，CF＝，
∴，
∴DP＝1，
∴OP＝OD﹣DP＝3，
∴t＝3，
∴P（0，3），
设Q（m，0），
∵B（3，4），
∴PQ2＝m2+9，BQ2＝（m﹣3）2+16，
∵四边形PQBR为菱形，
∴PQ＝BQ，
∴m2+9＝（m﹣3）2+16，
∴m＝，
即Q（，0）．
8、如图，已知∠MON＝90°，A，B分别是边OM和ON上的点，四边形ACDB和四边形OEFC都是正方形．
（1）当OA＝2，OB＝1时，求OC的长．
（2）当OB＝1，点A在直线OM上运动时，求OC的最小值．
（3）设S△CDF＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式．
解：（1）如图1所示，过点C作CG⊥OM于点G，
∵四边形ACDB是正方形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵∠MON＝90°，∠AGC＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠CAG＝90°，
∴∠ABO＝∠CAG，
∴△AOB≌△AGC（AAS）．
∵OA＝2，OB＝1，
∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，
∴OG＝3，
∴在Rt△OGC中，由勾股定理得：
OC＝＝．
（2）如图2所示，由题意可得点C在直线l：y＝x﹣1上运动，
∴OC的最小值为当OC与直线l垂直时，此时OC＝，
∴OC的最小值为．
（3）如图3所示，延长OC至点H，使CH＝OC，连接AH，过点C作CG⊥OM，
∵CD＝CA，CH＝CF，∠DCF＝∠ACH＝90°+∠ACF，
∴△DCF≌△ACH（SAS），
由（1）知△AOB≌△AGC（AAS），
∴CG＝OA，
∵C是OH的中点，
∴S△ACH＝S△OAC，
∵S△CDF＝y，OA＝x，
∴y＝S△OAH
＝S△OAC
＝x2．
∴y关于x的函数关系式为y＝x2．
9、定义：有三条边相等的四边形称为三等边四边形．
（1）如图①，平行四边形ABCD中，对角线CA平分BCD．将线段CD绕点C旋转一个角度α（0°＜α＜∠B）至CE，连结AE．
①求证：四边形ABCE是三等边四边形；
②如图②，连结BE，DE．求证：∠BED＝∠ACB．
（2）如图③，在（1）的条件下，设BE与AC交于点G，∠ABE＝3∠EBC，AB＝10，cs∠BAC＝，求以BG，GE和DE为边的三角形的面积．
解：（1）①证明：如图①，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠ACD，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD，
∵CE＝CD，
∴AB＝BC＝CE，
∴四边形ABCE是三等边四边形．
②证明：如图②，延长EC至点H，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠HCD＝∠CDE+∠CED＝2∠CED，
∵BC＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠HCB＝∠CBE+∠CEB＝2∠CEB，
∴∠HCD﹣∠HCB＝2（∠CED﹣∠CEB），
即∠BCD＝2∠BED，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝2∠ACB，
∴∠BED＝∠ACB．
（2）如图③，连接BD，DG，BD与AC交于点O，过点G作GP⊥BC于点P，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝AC，BD＝2BO，∠DBC＝∠ABC，
在Rt△ABO中，AB＝10，cs∠BAC＝，
∴AO＝AB＝6，
∴OC＝AO＝6，BO＝＝8，
∴BD＝2BO＝16，
∵∠ABE＝3∠EBC，
∴∠ABC＝4∠EBC，
∵∠DBC＝∠ABC，
∴∠DBC＝2∠EBC，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵GO⊥BD，GP⊥BC，
∴GO＝GP，BP＝BO＝8，
∴PC＝BC﹣BP＝10﹣8＝2，
在Rt△GPC中，GC2﹣GP2＝PC2，
∴（OC﹣OG）2﹣OG2＝PC2，
即（6﹣OG）2﹣OG2＝4，
∴OG＝，GC＝，
∴BG＝＝，
∵∠BED＝∠ACB，∠DBE＝∠EBC，
∴△BED∽△BCG，
∴，
∴BE＝＝16×10÷＝6，
DE＝＝16×＝2，
∵AC垂直平分BD，
∴DG＝BG＝，
∴∠GDB＝∠GBD，
∴∠GDE＝∠BDE﹣∠GDB＝∠BGC﹣∠GBD＝∠GOB＝90°，
∴S△GDE＝DG•DE＝＝，
∴以BG，GE和DE为边的三角形的面积是．
10、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12．
（1）梯形ABCD的面积等于 ．
（2）如图1，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．当PQ∥AB时，P点离开D点多少时间？
（3）如图2，点K是线段AD上的点，M、N为边BC上的点，BM＝CN＝5，连接AN、DM，分别交BK、CK于点E、F，记△ADG和△BKC重叠部分的面积为S，求S的最大值．
解：（1）如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则AE∥DF，
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴四边形ADFE是矩形，
∴AE＝DF，AD＝EF＝6，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝CF，
∴BE＝CF＝＝3，
由勾股定理得，AE＝＝＝4，
梯形ABCD的面积＝×（AD+BC）×AE＝×（12+6）×4＝36，
故答案为：36；
（2）如图3，过D作DE∥AB，交BC于点E，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE＝AD＝6，
∴EC＝6，
当PQ∥AB时，PQ∥DE，
∴△CQP～△CED，
∴，即＝，
解得，t＝；
（3）如图2，过G作GH⊥BC，延长HG交AD于I，过E作EX⊥BC，延长XE交AD于Y，过F作FU⊥BC于U，延长UF交AD于W，
∵BM＝CN＝5，
∴MN＝12﹣5﹣5＝2，
∴BN＝CM＝7，
∵MN∥AD，
∴△MGN～△DGA，
∴＝，即＝，
解得，HG＝1，
设AK＝x，
∵AD∥BC，
∴△BEN～△KEA，
∴＝，即＝，
解得，EX＝，
同理：FU＝，
S＝S△BKC﹣S△BEN﹣S△CFM+S△MNG
＝×12×4﹣×7×﹣×7×+×2×1
＝，
当x＝3时，S的最大值为25﹣＝5.4．
11、【探索规律】
如图①，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DF∥BC，EF∥AB．设△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2．
（1）若△ADF、△EFC的面积分别为3，1，则＝ ；
（2）设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1，S2，S，求证：S＝2；
【解决问题】
（3）如图②，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，且DE∥BC，DF∥BG．若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为3，7，5，求△ABC的面积．
解：（1）∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∵△ADF、△EFC的面积分别为3，1，
∴，
∴，
∵△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2，
∴；
故答案为：．
（2）证明：如图①，设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，
∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴BD＝EF＝b，
由（1）知△ADF∽△FEC，
∴，
∵S1＝ah，
∴S2＝，
∴S1S2＝，
∴bh＝2，
∵S＝bh，
∴S＝2．
（3）如图②，过点D作DM∥AC交BC于点M，
∴∠DMF＝∠ECG，
∵DE∥BC，DF∥BG，
∴四边形DFGE为平行四边形，
∴∠DF＝EG，∠DFM＝∠EGC，
∴△DFM≌△EGC（AAS），
∴S△DFM＝S△EGC＝5，
∵S△DBF＝7，
∴S△BDM＝7+5＝12，
∵DE∥BM，DM∥AC，
∴∠ADE＝∠DBM，∠BDM＝∠BAE，
∴△DAE∽△BDM，
∴＝，
∴，
∴，
同理，△ADE∽△ABC，
∴S△ABC＝9S△ADE＝9×3＝27．
12、在正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，且AE＝DF，AF交BD于G．
（1）如图1，求证：BE⊥AF．
（2）如图2，在边AB上取一点K，使AK＝AE．过K作KS∥AF交BD于S，求证：G是SD中点．
（3）在（2）的条件下，如果AB＝8，BE是∠ABD的平分线，求△BSK的面积．
（1）证明：设BE与AF交于点H，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠AEB＝∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠AHE＝90°，
∴BE⊥AF；
（2）证明：∵KS∥AF，
∴，
∵AB∥CD，
∴△DGF∽△BGA，
∴，
∵AK＝AE，AE＝DF，
∴AK＝DF，
∴＝，
∴GS＝DG，
∴G是SD中点；
（3）解：作EP⊥BD于P，如图2所示：
∵BE是∠ABD的平分线，EA⊥AB，
∴AE＝PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝8，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝8，
∵EP⊥BD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD＝PE，DE＝PE＝PD，
∴AE＝PE＝PD，
∵AE+DE＝AD＝8，
∴AE+AE＝8，
解得：AE＝8﹣8，
∴DF＝AE＝AK＝8﹣8，
∴BK＝AB﹣AK＝8﹣（8﹣8）＝16﹣8，
∵AB∥CD，
∴△DGF∽△BGA，
∴＝＝＝+1，
∴DG＝＝＝8﹣8，
∴BS＝BD﹣2DG＝8﹣2（8﹣8）＝16﹣8，
作SN⊥AB于N，则△BNS是等腰直角三角形，
∴SN＝BN＝BS＝8﹣8，
∴△BSK的面积＝BK×SN＝×（16﹣8）×（8﹣8）＝96﹣128．
13、【操作发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．
【实践探究】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△EAN中，
，
∴△AMN≌△EAN（SAS），
∴MN＝EN．
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM．
在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，
则BN+DM＝5，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，
∴x﹣3+x﹣4＝5，
解得：x＝6，
即正方形ABCD的边长是6；
故答案为：6；
（2）EF2＝BE2+DF2，
理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH，
∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，
∴∠HAE＝45°＝∠EAF，
又∵AH＝AF，AE＝AE，
∴△EAH≌△EAF（SAS），
∴HE＝EF，
∵BN＝DM，BN∥DM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∴DN∥BM，
∴∠AND＝∠ABM，
∵∠ADN+∠AND＝90°，
∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，
∴BE2+BH2＝HE2，
∴EF2＝BE2+DF2；
（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，
则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，
设DM＝x，则MQ＝4﹣x，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴，
∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，
由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，
解得：x＝2，
即DM的长是2．
14、已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AC＝4，AD＝4，求四边形ABCE的面积．
（1）证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AB∥EC，
∵点E是CD的中点，
∴，
∵，
∴AB＝EC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：∵∠ACD＝90°，AC＝4，，
∴，
∵，
∴AB＝2，
∴S平行四边形ABCE＝AB•AC＝2×4＝8．
15、已知：矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，AF＝CE．
（1）如图1，求证：BE∥DF；
（2）如图2，当AB＝BE＝AD时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△AFD和△CEB中，，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF；
（2）解：△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：
由（1）得：△AFD≌△CEB，
同理：△ABF≌△CDE（SAS），
∴△AFD的面积＝△CEB的面积，△ABF的面积＝△CDE的面积，
作BG⊥AC于G，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD，
∵AB＝BE＝AD，
∴AB＝BE＝BC，
∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，
∵△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，
∴BG＝＝＝AB，
∴AG＝＝＝AB，
∴AE＝2AG＝AB，
∵AF＝CE，
∴△ABF的面积＝△BCE的面积，CF＝AE＝AB，
∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，
∴△ABF的面积＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，
∵矩形ABCD的面积＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，
∴△ABF的面积＝矩形ABCD面积的，
∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ADF的面积＝△BCE的面积＝矩形ABCD面积的．