专题09 圆中的长度与面积、动点问题

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专题09 圆中的长度与面积、动点问题

1．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．


解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，
（2）如图1，延长BC到点T，

∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，
∴AG＝，
在Rt△ADE中，AE＝AD，
∴，
∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x＝，
∴ED＝AD＝，
∴CE＝CD+DE＝，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝CE＝，
∴DM＝DE﹣EM＝，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝，
∴S△DEF＝DE•FM＝．


2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．
（1）求证：AO是△CAB的角平分线；
（2）若tan∠D＝，求的值；
（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．

（1）证明：连接OF，

∵AB与⊙O相切于点F，
∴OF⊥AB，
∵∠ACB＝90°，OC＝OF，
∴∠OAF＝∠OAC，
即AO是△ABC的角平分线；
（2）如图2，连接CE，

∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ECO+∠OCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∴∠ACE＝∠OCD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ACE＝∠ODC，
∵∠CAE＝∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
∵tan∠D＝，
∴，
∴；
（3）由（2）可知：＝，
∴设AE＝x，AC＝2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC2＝AE•AD，
∴（2x）2＝x（x+6），
解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），
∴AE＝2，AC＝4，
∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，
如图3，连接CF交AD于点G，
∵AC，AF是⊙O的切线，
∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，
∴CF⊥AO，
∴∠ACO＝∠CGO＝90°，
∵∠COG＝∠AOC，
∴△CGO∽△ACO，
∴，
∴OC2＝OG•OA，
∴OG＝，
∴CG＝＝＝，
∴CF＝2CG＝．


3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△PBD∽△DCA；
（3）当AB＝2，AC＝4时，直接写出线段PB的长．


解：（1）连接OD，

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°
∵∠DOC＝2∠DAC，
∴∠DOC＝2×45°＝90°，
∵PD∥BC，
∴∠DOC＝∠PDO＝90°
∴OD⊥PD，
∵OD为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；

（2）∵PD∥BC，
∴∠P＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠P＝∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠PBD＝∠ACD，
∴△PBD∽△DCA；

（3）∵△ABC为直角三角形，
∴BC2＝AB2+AC2＝22+42＝20，
∵OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝20，
∴DC＝DB＝，
∵△PBD∽△DCA，
∴，
则PB＝＝＝．



4．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．
（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；
（2）证明：PD是⊙O的切线；
（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．

（1）证明：连接OD、OP、CD．

∵AD•AO＝AM•AP，
∴，∠A＝∠A，
∴△ADM∽△APO．

（2）证明：∵△ADM∽△APO，
∴∠ADM＝∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，
∵OD＝OM，
∴∠DMO＝∠MDO，
∴∠DOP＝∠POC，
∵OP＝OP，OD＝OC，
∴△ODP≌△OCP（SAS），
∴∠ODP＝∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP＝90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O的切线．

（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，

∵AM＝MC，
∴AM＝2MO＝2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，
∴R2+122＝9R2，
∴R＝3，
∴OD＝3，MC＝6，
∵，
∴，
∴AP＝18，
∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，
∵O是MC的中点，
∴，
∴点P是BC的中点，
∴PB＝CP＝DP＝6，
∵MC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠CDM＝90°，
在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，
∴BM＝＝＝6，
∵△BCM∽△CDM，
∴，即，
∴DM＝2．





5．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．

（1）求证：AB＝AD；
（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，
∴OB＝OC，
在△AOB和△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴AB＝AC，
∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，
∴AD＝AC，
∴AB＝AD；

（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，
由（1）知，AB＝AD，
∴DM＝BD，
∵BF＝4，DF＝6，
∴BD＝10，
∴DM＝5，
∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，
∴△ADM∽△FDA，
∴，
∴，
∴AD＝，
在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；

（3）的值是不发生变化，
理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，
∴∠AHD＝90°＝∠COA，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠CAO+∠DAH＝90°，
∴∠ADH＝∠CAO，
∵AD＝AC，
∴△ADH≌△ACO（AAS），
∴DH＝AO，AH＝OC，
∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，
∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，
又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，
∴DQ＝BQ，
∴△DBQ为等腰直角三角形，
∴∠DBQ＝45°，
∴∠DEH＝∠BEO＝45°，
∴sin∠DEH＝，
∴＝，
∴，
∴．




6．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．
（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．
（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，
①求证：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC的度数．


（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，
∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
∵OF＝FC，
∴BF⊥AC，
∴∠AFB＝90°，
∵AE＝EB，
∴EF＝AB＝．

（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．
∵∠FGA＝∠ABC＝90°，
∴FG∥BC，
∴△OFH∽△OCB，
∴＝＝，同理＝，
∴FH＝OE，
∵OE⊥AB．FH⊥AB，
∴OE∥FH，
∴四边形OEHF是平行四边形，
∴PE＝PF．

②∵OE∥FG∥BC，
∴＝＝1，
∴EG＝GB，
∴EF＝FB，
∵DF＝EF，
∴DF＝BF，
∵DO＝OB，
∴FO⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°．




7．如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是的中点，DB交AC于点G，过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD．点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F．
（1）求证：MD＝GD；
（2）填空：①当∠DEA＝　 　时，AF＝FG；
②若∠ABD＝30°，当∠DEA＝　 　时，四边形DEBC是菱形．

证明：（1）如图，连接BC．

∵D是的中点，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵MA是半圆O的切线，
∴MA⊥AB，
∵AB是半圆O的直径，
∴AD⊥DB，
∴∠ADM＝90°，
∴∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，
∴∠M＝∠BAD＝∠DAC+∠BAG＝∠ABD+∠BAG＝∠AGD，
∴AG＝AM，
∵AD⊥MG，
∴MD＝GD；
（2）①若AF＝FG，
∵∠ADG＝90°，
∴AF＝FG＝DF，
∴∠DAF＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠ABD，
∵∠ADF+∠EDB＝90°，
∴∠ABD+∠EDB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
故答案为：90°；
②若四边形DEBC是菱形，
∴∠DBA＝∠DBC＝30°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝30°+30°＝60°，
故答案为：60°．




8．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．


解：（1）如图1，连接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
又∵OD是半径，
∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，

∵AH是直径，
∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴，
∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；
（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，

∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，
∴DQ＝DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），
∴BQ＝CP，
∵DQ＝DP，AD＝AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），
∴AQ＝AP，
∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，
∵cos∠BAD＝，
∴AD＝，
∴＝＝2cosα．





9．如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．
（1）求证：DE与⊙O相切：
（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；
（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF的最大值．

（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAF，
∴∠OAD＝∠FAD，
∴∠ODA＝∠FAD，
∴OD∥AF，
∵DE⊥AF，
∴DE⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切：
（2）解：连接BD，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AED＝90°＝∠ADB，
又∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴AD：AB＝AE：AD，
∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝4；
（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示：
在△AED和△AGD中，，
∴△AED≌△AGD（AAS），
∴AE＝AG，DE＝DG，
∵∠FAD＝∠DAB，
∴＝，
∴DF＝DB，
在Rt△DEF和Rt△DGB中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DGB（HL），
∴EF＝BG，
∴AB＝AG+BG＝AF+EF＝AF+EF+EF＝AF+2EF，
即：x+2y＝10，
∴y＝﹣x+5，
∴AF•EF＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，
∴AF•EF有最大值，当x＝5时，AF•EF的最大值为．





10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．
（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；
（3）若BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．

（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB+∠BDC＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，∠BAE＝∠ADB，
∴∠BAE+∠BAC＝90°，即∠CAE＝90°，
∴AE⊥AC，
AE是⊙O的切线；
（2）解：DM＝BN，理由如下：
∵AN⊥BD，CM⊥BD，∠ADC＝90°，
∴∠AND＝∠ANB＝∠DMC＝∠ADC＝90°，
∴∠ADN+∠MDC＝∠MCD+∠MDC＝90°，
∴∠ADN＝∠MCD，
∴△DMC∽△AND，
∴＝，
∵∠ABN＝∠ACD，∠ANB＝∠ADC＝90°，
∴△ADC∽△ANB，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴DM＝BN；
（3）解：由（2）知DM＝BN，则BM＝DN，
设DM＝BN＝a，
∵MN＝2DM，BD＝BC，
∴MN＝2a，BM＝DN＝3a，BD＝BC＝4a，
∵∠BMC＝90°，
∴CM＝＝＝a，
∵AC是⊙O的直径，AN⊥BD，
∴∠ABC＝∠AND＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴△ADN∽△ACB，
∴＝＝＝，
设AN＝3b，AB＝4b（b＞0），
∵∠ANB＝∠ABC＝90°，BN＝a，
∴AN2+BN2＝AB2，即（3b）2+a2＝（4b）2，
解得：b＝a，
∴AN＝a，AB＝a，
∵BC＝4a，
∴AC＝＝＝a，
∴cos∠ACB＝cos∠ADB＝cos∠EAB＝＝＝，
∵AE＝，
∴AB＝AE×cos∠EAB＝×＝＝a，
∴a＝，
∴AC＝，
∴OC＝AC＝，
∵∠ANF＝∠CMF＝90°，∠AFM＝∠MFC，
∴△ANF∽△CMF，
∴＝＝＝，
∴CF＝AC＝，
∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．