专题05 扇形面积的计算

专题05 扇形面积的计算

一．选择题

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．4﹣2π B．8﹣ C．8﹣2π D．8﹣4π

解：∵矩形ABCD，

∴AD＝CB＝2，

∴S阴影＝S矩形﹣S半圆＝2×4﹣π×22＝8﹣2π，

故选：C．

2．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（　　）

A．2π﹣4 B．4π﹣8 C． D．

解：由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，

∵P（，），

∴OP＝2，∵OA＝OB＝4，

∴PA＝PB＝2，

∴tan∠AOP＝tan∠BOP＝，

∴∠AOP＝∠BOP＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣•4•2＝，

故选：D．

3．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B．﹣2 C． D．﹣

解：连接OC，

∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，

∴∠ACB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝120°，

∴∠ABC＝30°，

∵AC＝2，

∴AB＝2AO＝4，BC＝2，

∴OC＝OB＝2，

∴阴影部分的面积＝S扇形﹣S△OBC＝﹣×2×1＝π﹣，

故选：A．

4．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8．则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π B．10π C．24+4π D．24+5π

解：作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．

∵CG是圆的直径，

∴∠CDG＝90°，则DG＝＝＝8，

又∵EF＝8，

∴DG＝EF，

∴＝，

∴S扇形ODG＝S扇形OEF，

∵AB∥CD∥EF，

∴S△OCD＝S△ACD，S△OEF＝S△AEF，

∴S阴影＝S扇形OCD+S扇形OEF＝S扇形OCD+S扇形ODG＝S半圆＝π×52＝π．

故选：A．

5．如图，在等边△ABC中，AB＝2，以点A为圆心，AB为半径画，使得∠BAD＝105°，过点C作CE⊥AD，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣2 B．π﹣1 C．2π﹣2 D．2π+1

解：∵等边△ABC中，∠BAD＝105°，

∴∠CAE＝105°﹣60°＝45°，

∵CE⊥AD，AC＝AB＝2，

∴AE＝CE＝2，

∴S△ACE＝2，

S扇形ACD＝＝π，

∴阴影部分的面积为S扇形ACD﹣S△ACE＝π﹣2，

故选：A．

6．如图，⊙O的直径AB＝2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（　　）

A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．

解：∵⊙O的直径AB＝2，

∴∠C＝90°，

∵C是弧AB的中点，

∴，

∴AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，

∴∠EAB＝∠EBA＝22.5°，

∴∠AEB＝180°﹣（∠BAC+∠CBA）＝135°，

连接EO，

∵∠EAB＝∠EBA，

∴EA＝EB，

∵OA＝OB，

∴EO⊥AB，

∴EO为Rt△ABC内切圆半径，

∴S△ABC＝（AB+AC+BC）•EO＝AC•BC，∴EO＝﹣1，

∴AE2＝AO2+EO2＝12+（﹣1）2＝4﹣2，

∴扇形EAB的面积＝＝（2﹣），△ABE的面积＝AB•EO＝﹣1，

∴弓形AB的面积＝扇形EAB的面积﹣△ABE的面积＝，

∴阴影部分的面积＝⊙O的面积﹣弓形AB的面积＝﹣（﹣）＝﹣4，

故选：A．

7．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．+ D．

解：连接OE、AE，

∵点C为OA的中点，

∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，

∴△AEO为等边三角形，

∴S扇形AOE＝＝π，

∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）

＝﹣﹣（π﹣×1×）

＝π﹣π+

＝+．

故选：C．

8．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（　　）

A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4

解：连接OC，如图所示：

∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，＝，

∴∠COD＝45°，

∴OD＝CD，

∴OC＝＝4，

∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△ODC的面积

＝﹣×（2）2＝2π﹣4．

故选：A．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，分别以AC的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则余下阴影部分的面积为（　　）cm2．

A．π B．24﹣π C．24﹣π D．24﹣π

解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，

∴AC＝＝10cm，△ABC的面积是：AB•BC＝×8×6＝24cm2．

∴S阴影部分＝×6×8﹣cm2

故阴影部分的面积是：24﹣πcm2．

故选：D．

10．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，

∴DC＝AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝．

则扇形FDE的面积是：＝．

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，

∴CD平分∠BCA，

又∵DM⊥BC，DN⊥AC，

∴DM＝DN，

∵∠GDH＝∠MDN＝90°，

∴∠GDM＝∠HDN，

则在△DMG和△DNH中，

，

∴△DMG≌△DNH（ASA），

∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝．

则阴影部分的面积是：﹣．

故选：D．

二．填空题

11．如图，正方形ABCD中，AB＝2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是　   　．

解：

过F作FM⊥BE于M，则∠FME＝∠FMB＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，

∴∠DCB＝90°，DC＝BC＝AB＝2，∠DBC＝45°，

由勾股定理得：BD＝2，

∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，

∴∠DCE＝90°，BF＝BD＝2，∠FBE＝90°﹣45°＝45°，

∴BM＝FM＝2，ME＝2，

∴阴影部分的面积S＝S△BCD+S△BFE+S扇形DCE﹣S扇形DBF

＝++﹣

＝6﹣π，

故答案为：6﹣π．

12．如图，⊙O的半径是4，圆周角∠C＝60°，点E时直径AB延长线上一点，且∠DEB＝30°，则图中阴影部分的面积为　   　．

解：连接OD，

∵∠C＝60°，

∴∠AOD＝2∠C＝120°，

∴∠DOB＝60°，

∵∠DEB＝30°，

∴∠ODE＝90°，

∵OD＝4，

∴OE＝2OD＝8，DE＝OD＝4，

∴阴影部分的面积是S＝S△ODE﹣S扇形DOB＝﹣＝8﹣，

故答案为：8﹣．

13．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△A′B′C，则边AB扫过的面积（图中阴影部分）是　   　．

解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，

∴AC＝10，

∴边AB扫过的面积＝﹣＝9π，

故答案为：9π．

14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是　   　．

解：作DH⊥AE于H，

∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，

∴AB＝＝，

由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，

∴DH＝OB＝2，

阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积

＝×5×2+×2×3+﹣

＝8﹣π，

故答案为：8﹣π．

15．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是　   　．

解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，

∴AD＝AB＝6，∠ADC＝180°﹣60°＝120°，

∵DF是菱形的高，

∴DF⊥AB，

∴DF＝AD•sin60°＝6×＝3，

∴图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积＝6×3﹣＝18﹣9π．

故答案为：18﹣9π．

16．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，扇形AEF的半径为2，圆心角为60°，则阴影部分的面积是　   　．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，

∴∠BCD＝∠DAB＝120°，

∴∠1＝∠2＝60°，

∴△ABC、△ADC都是等边三角形，

∴AC＝AD＝2，

∵AB＝2，

∴△ADC的高为，AC＝2，

∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，

∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，

∴∠3＝∠4，

设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G，

在△ADH和△ACG中，

，

∴△ADH≌△ACG（ASA），

∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，

∴图中阴影部分的面积是：S扇形AEF﹣S△ACD＝﹣×2×＝﹣，

故答案为：﹣．

三．解答题

17．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．

（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．

解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，

∴PD⊥AB，

∵∠A＝30°，

∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD，

∵PF⊥AC，

∴∠OPF＝30°，

∴OF＝OP，

∵OA＝OC，AD＝BD，

∴BC＝2OD，

∴OA＝BC＝2，

∴⊙O的半径为2，

∴劣弧PC的长＝＝＝π；

（2）∵OF＝OP，

∴OF＝1，

∴PF＝＝，

∴S阴影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．

（1）求证：直线DE⊙O的切线；

（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．

（1）证明：连接OD、CD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

又∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，

∴△ACD是直角三角形，

又∵点E是斜边AC的中点，

∴EC＝ED，

∴∠ECD＝∠EDC

又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，

∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，

∴直线DE是⊙O的切线；

（2）解：由（1）已证：∠ODF＝90°，

∴∠B＝30°，

∴∠DOF＝60°，

∴∠F＝30°，

在Rt△ABC中，AC＝4，

∴BC＝＝＝4，

∴，

在Rt△ODF中，，

∴阴影部分的面积为：＝．

19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．

（1）求证：∠A＝∠BCD；

（2）若CD＝4，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴＝，

∴∠A＝∠BCD；

（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，

∴△BOC为等边三角形，

∴∠BOC＝60°，

∴∠AOC＝120°，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE＝CD＝2，

在Rt△COE中，OC＝＝4，

∴扇形OAC（阴影部分）的面积＝＝π．

20．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AE∥CD交⊙O于点E，连结BE交CD于点F．

（1）求证：弧BD＝弧ED；

（2）若⊙O的半径为6，AE＝6，求图中阴影部分的面积．

（1）证明：∵AB，CD是⊙O的两条直径，

∴∠AOC＝∠BOD，

∴＝，

∵AE∥CD，

∴＝，

∴＝；

（2）解：连接OE，作OH⊥AE于H，

则AH＝HE＝AE＝3，

cos∠OAH＝＝，

∴∠OAH＝30°，

∴OH＝OA＝3，∠AOH＝60°，

∴∠AOE＝120°，

∴图中阴影部分的面积＝﹣×6×3＝12π﹣9．