初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试课时训练

这是一份初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试课时训练，共33页。试卷主要包含了如图，在六边形中，若，则等内容，欢迎下载使用。
京改版八年级数学下册第十五章四边形专题攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如果一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2、下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、如图，以O为圆心，长为半径画弧别交于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接、，则四边形一定是（ ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6、如图，在六边形中，若，则（ ）

A．180° B．240° C．270° D．360°
7、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（　　）

A．7 B．6 C．4 D．8
8、如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．25° B．20° C．15° D．10°
9、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．圆 B．平行四边形 C．直角三角形 D．等边三角形
10、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）

A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、正方形ABCD的边长是8cm，点M在BC边上，且MC=2cm，P是正方形边上的一个动点，连接PB交AM于点N，当PB=AM时，PN的长是_____ ．
2、点D、E、F分别是△ABC三边的中点，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为______．
3、如图，在矩形中，，，点是线段上的一点（不与点，重合），将△沿折叠，使得点落在处，当△为等腰三角形时，的长为___________．

4、一个凸边形的边数与对角线条数的和小于20，且能被5整除，则______．
5、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线AC上一点，若点P、A、B组成一个等腰三角形时，△PAB的面积为___________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M．
（1）求证：BE＝FM；
（2）求BE的长度．

2、如图，的对角线与相交于点O，过点B作BPAC，过点C作CPBD，与相交于点P．

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若将改为矩形，且，其他条件不变，求四边形的面积；
（3）要得到矩形，应满足的条件是_________（填上一个即可）．
3、（1）如图1，∠ADC=120°，∠BCD=140°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点，则∠AFB的度数是 ；
（2）如图2，若∠ADC=，∠BCD=，且，∠DAB和∠CBE的平分线交于点，则∠AFB=　 　（用含，的代数式表示）；
（3）如图3，∠ADC=，∠BCD=，当∠DAB和∠CBE的平分线AG,BH平行时，,应该满足怎样的数量关系？请说明理由；

（4）如果将（2）中的条件改为，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，∠AFB与，满足怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．
4、如图，在平行四边形ABCD中，，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：；
（2）当时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的2倍的所有角．
5、如图，在正方形中，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点，连接．
（1）当点在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．


-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的2倍，则多边形的内角和是180度，则这个多边形一定是三角形．
【详解】
解：多边形的外角和是360度，
又多边形的外角和是内角和的2倍，
多边形的内角和是180度，
这个多边形是三角形．
故选：A．
【点睛】
考查了多边形的外角和定理，解题的关键是掌握多边形的外角和定理．
2、D
【分析】
一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念逐项判断即可．
【详解】
A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，掌握它们的概念是关键．
3、C
【分析】
根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
4、A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：第一个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
第四个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
既是中心对称图形又是轴对称图形的只有1个，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5、B
【分析】
根据题意得到，然后根据菱形的判定方法求解即可．
【详解】
解：由题意可得：，
∴四边形是菱形．
故选：B．
【点睛】
此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．菱形的判定定理：①四条边都相等四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．
6、C
【分析】
根据多边形外角和求解即可．
【详解】
解： ，
，
故选：C
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和是解题的关键．
7、A
【分析】
如图所示，连接AC，OB交于点D，先求出C和A的坐标，然后根据矩形的性质得到D是AC的中点，从而求出D点坐标为（2，1），再由当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接AC，OB交于点D，
∵C是直线与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，2），
∵OA=4，
∴A点坐标为（4，0），
∵四边形OABC是矩形，
∴D是AC的中点，
∴D点坐标为（2，1），
当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，
由题意得平移后的直线解析式为，
∴，
∴，
故选A．

【点睛】
本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．
8、D
【分析】
根据矩形的性质，可得∠ABD＝40°，∠DBC＝50°，根据折叠可得∠DBC′＝∠DBC＝50°，最后根据∠2＝∠DB C′−∠DBA进行计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，CD∥AB，
∴∠ABD=∠1＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC-∠ABD=50°，
由折叠可得∠DB C′＝∠DBC＝50°，
∴∠2＝∠DB C′−∠DBA＝50°−40°＝10°，
故选D．
【点睛】
本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出∠DBC′和∠DBA的度数．
9、A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A．圆既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．直角三角形既不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形，不符合题意；
D．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
10、D
【分析】
由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.
【详解】
解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；
当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；
当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；
当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.
二、填空题
1、5cm或5.2cm
【分析】
当点P在BC上，AM＞BP，当点P在AB上，AM＞BP，当点P在CD上，如图，根据PB=AM，可证Rt△ABM≌Rt△BCP（HL），可证BP⊥AM，根据勾股定理可求AM=，根据三角形面积可求，可求PN=BP-BN；当点P在AD上，如图，可证Rt△ABM≌Rt△BAP（HL），再证AN=PN=BN=MN，根据AM=BP=10cm，可求PN=cm，
【详解】
解：当点P在BC上，AM＞BP，当点P在AB上，AM＞BP，不合题意，舍去；
当点P在CD上，如图，
∵PB=AM
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=AD=CD=8，
在Rt△ABM和Rt△BCP中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△BCP（HL），
∴∠MAB=∠PBC，
∵∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠PBC+∠AMB=90°，
∴∠BNM=180°-∠PBC-∠AMB=90°，
∴BP⊥AM，
∵MC=2cm，
∴BM=BC-MC=8-2=6cm，
∴AM=，
∴，
∴，
∴PN=BP-BN=AM-BN=10-4.8=5.2cm，


当点P在AD上，如图，
在Rt△ABM和Rt△BAP中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△BAP（HL），
∴BM=AP，∠AMB=∠BPA，∠MAB=∠PBA，
∴AN=BN，
∵AD∥BC，
∴∠PAN=∠NMB=∠APN，
∴AN=PN=BN=MN，
∵AM=BP=10cm，
∴PN=cm，
∴PN的长为5cm或5.2cm．
故答案为5cm或5.2cm．

【点睛】
本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定与性质，分类讨论思想，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定与性质，分类讨论思想是解题关键．
2、12
【分析】
据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．
【详解】
解：∵如图所示，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴ED、FE、DF为△ABC中位线，
∴DFBC，FEAB，DEAC，
∴△DEF的周长=DF+FE+DEBCABAC（AB+BC+CA）24＝12．

故答案为：12．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路．
3、或
【分析】
根据题意分，，三种情况讨论，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
【详解】
解：∵四边形是矩形
∴，
∵将△沿折叠，使得点落在处，
∴
，，
设，则
①当时，如图

过点作，则四边形为矩形

，
在中


在中

即
解得

②当时，如图，设交于点，

设

垂直平分


在中
即
在中，
即
联立，解得

③当时，如图，

又
垂直平分

垂直平分
此时重合，不符合题意
综上所述，或
故答案为：或
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，分类讨论是解题的关键．
4、5或6
【分析】
先把多边形的边数与对角线的条数之和因式分解，列不等式得出，两个连续整式的积小于40根据能被5整除，当n=5，能被5整除，当n-1=5，n=6，能被5整除即可 ．
【详解】
解：＜20，
∴，
∵能被5整除，
当n=5，能被5整除，
当n-1=5，n=6，能被5整除，
故答案为5或6．
【点睛】
本题考查因式分解，熟记n边形对角线条数的公式，列不等式，根据条件进行讨论是解题关键．
5、或或3
【分析】
过B作BM⊥AC于M，根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出高BM，分为三种情况：①AB＝BP＝3，②AB＝AP＝3，③AP＝BP，分别画出图形，再求出面积即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
由勾股定理得：，
有三种情况：
①当AB＝BP＝3时，如图1，过B作BM⊥AC于M，
S△ABC＝，
，
解得：，

∵AB＝BP＝3，BM⊥AC，
∴，
∴AP＝AM+PM＝，
∴△PAB的面积＝；
②当AB＝AP＝3时，如图2，

∵BM＝，
∴△PAB的面积S＝；
③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，如图3，则AP＝BP，BN＝AN＝，

∵四边形ABCD是矩形，NQ⊥AC，
∴PN∥BC，
∵AN＝BN，
∴AP＝CP，
∴，
∴△PAB的面积;
即△PAB的面积为或或3．
故答案为：或或3．
【点睛】
本题主要是考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理求边长，熟练掌握矩形的性质，利用等腰三角形的判定，分成三种情况讨论，是解决本题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）—4
【分析】
（1）由旋转和正方形的性质得出∠FAM＝∠EAB，再证≌即可；
（2）求出正方形对角线长，再求出MC=—4即可．
【详解】
（1）证明：在正方形ABCD中，线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF
∠CAB＝45°，∠EAF＝45°，AE＝AF
∠FAM＝∠EAB
∵FM⊥AC
∠FMA＝∠B＝90°
≌（AAS）
BE＝FM
（2）在正方形ABCD中，边长为4
AC＝，∠DCA＝45°
≌
∴AM＝AB＝4
MC＝AC—AM＝—4
∵是等腰直角三角形
BE＝MF＝MC＝—4
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练运用正方形的性质和全等三角形的判定进行证明推理．
2、（1）平行四边形，理由见解析；（2）四边形的面积为24；（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）
【分析】
（1）利用平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证明．
（2）利用矩形的性质，得到对角线互相平分，进而证明四边形是菱形，分别求出菱形的对角线长度，利用对角线乘积的一半，求解面积即可．
（3）添加的条件只要可以证明即可得到矩形．
【详解】
解：（1）四边形BPCO是平行四边形，


∵BP∥AC，CP∥BD，
∴四边形BPCO是平行四边形．
（2）连接OP．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=BD，OC=AC，AC=BD，∠ABC=90°，
∴OB=OC．
又四边形BPCO是平行四边形，
∴□BPCO是菱形．


∴OP⊥BC.
又∵AB⊥BC，
∴OP∥AB.
又∵AC∥BP，
四边形是平行四边形，
∴OP=AB=6.
∴S菱形BPCO=．
（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）．
当AB=BC时，为菱形，此时有：，利用含有的平行四边形为矩形，即可得到矩形，
当AC⊥BD时，利用含有的平行四边形为矩形，即可得到矩形．
【点睛】
本题主要是考查了平行四边形、矩形和菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质，是求解该类问题的关键．
3、（1）40°；（2）；（3）若AG∥BH，则α+β=180°，理由见解析；（4），图见解析．
【分析】
（1）利用四边形内角和定理得到∠DAB+∠ABC=360°-120°-140°=100°．再利用三角形的外角性质得到∠F=∠FBE-∠FAB，通过计算即可求解；
（2）同（1），通过计算即可求解；
（3）由AG∥BH，推出∠GAB=∠HBE．再推出AD∥BC，再利用平行线的性质即可得到答案；
（4）利用四边形内角和定理得到∠DAB+∠ABC=360°-∠D-BCD=360°-α-β．再利用三角形的外角性质得到∠F=∠MAB-∠ABF，通过计算即可求解．
【详解】
解：（1）∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE=∠CBE，∠FAB=∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°-∠D-∠DCB
=360°-120°-140°=100°．
又∵∠F+∠FAB=∠FBE，
∴∠F=∠FBE-∠FAB=∠CBE−∠DAB
= (∠CBE−∠DAB)
= (180°−∠ABC−∠DAB)
=×(180°−100°)
=40°．
故答案为：40°；
（2）由（1）得：∠AFB= (180°−∠ABC−∠DAB)，
∠DAB+∠ABC=360°-∠D-∠DCB．
∴∠AFB= (180°−360°+∠D+∠DCB)
=∠D+∠DCB−90°
=α+β−90°．
故答案为：；
（3）若AG∥BH，则α+β=180°．理由如下：
若AG∥BH，则∠GAB=∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB=2∠GAB，∠CBE=2∠HBE，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠DCB=α+β=180°；
（4）如图：

∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM=∠DAB，∠NBE=∠CBE，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°-∠D-BCD=360°-α-β，
∴∠DAB+180°-∠CBE=360°-α-β，
∴∠DAB-∠CBE=180°-α-β，
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF=∠NBE，
又∵∠F+∠ABF=∠MAB，
∴∠F=∠MAB-∠ABF，
∴∠F=∠DAB−∠NBE
=∠DAB−∠CBE
= (∠DAB−∠CBE)
= (180°−α−β)
=90°-α−β．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角性质、四边形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．
4、（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）先证明再证明从而可得结论；
（2）证明是等边三角形，再分别求解 从而可得答案.
【详解】
证明（1） 平行四边形ABCD中，，

点E、F分别是BC、AD的中点，


（2） ，



是等边三角形，


四边形是平行四边形，
而
，
所以等于的2倍的角有：
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，证明“是等边三角形”是解（2）的关键.
5、（1）见解析；（2）图②中，图③中
【分析】
（1）在上截取，连接，可先证得，则，，进而可证得△AED为等腰直角三角形，即可得证；
（2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的，与之间的数量关系．
【详解】
解：（1）证明：如图，在上截取，连接．
∵四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
∴△ECF是等腰直角三角形，
在中，，
，
；


（2）图②：，理由如下：
如下图，在延长线上截取，连接．


∵四边形是正方形，
，，
，，
，
，

，，
，
，，
，
∴△ECF是等腰直角三角形，
在中，，
，
；
图③：
如图，在DE上截取DF=BE，连接．


∵四边形是正方形，
，，
，，
，
，

，，
，
，，
，
∴△ECF是等腰直角三角形，
在中，，
，
．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．