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2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之第二单元因数与倍数基础篇（解析版）
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2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之第二单元因数与倍数基础篇（解析版） 编者的话：《2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。本专题是第二单元因数与倍数基础篇。本部分内容主要是考察因数与倍数单元的基础知识和基本概念，包括因数和倍数的定义及特点，2、5、3的倍数特征，质数与合数的定义及特征，分解质因数等，考试多以填空、选择、判断等基础题型为主，题目比较简单，建议重点进行讲解，一共划分为十三个考点，欢迎使用。【考点一】因数与倍数的定义及关系。【方法点拨】1.因数与倍数的定义及关系：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。
例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。2.三点注意：（1）因数与倍数是相互依存的：在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。（3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。【典型例题】根据18÷2=9，说说（ ）是（ ）的倍数，（ ）是（ ）的因数。 解析：根据已知条件，几个量之间的关系，我们可以把除法算式转化乘法算式。 2×9=18 所以18是2和9的倍数，2和9是18的因数。【对应练习1】在42÷3=14中，3和14是42的（ ），42是3的（ ），42也是14的（ ）。解析：在42÷3=14中，3和14是42的因数，42是3的倍数，42也是14的倍数。【对应练习2】根据27÷3=9，我们可以说（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。解析：根据27÷3=9，我们可以说27是3和9的倍数，3和9是27的因数。 【对应练习3】5×6＝30中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数；（ ）和（ ）是（ ）的因数。解析：30；5；6；5；6；30 【考点二】找一个数的因数及因数的特征。【方法点拨】1.找一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。2.因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。【典型例题】18的因数有哪些？解析：18的因数有：1、2、3、6、9、18。【对应练习1】10的因数有（ ），其中最大因数是（ ），最小因数是（ ）。解析：10的因数有：1，2，5，10共4个；其中最小的因数是1；最大的因数是10。【对应练习2】请你有序写出36的因数有哪些？解析：1、2、3、4、6、9、12、18、36【对应练习3】写出下面各数的因数。25 12 49 36.解析：25的因数：1、5、25；12的因数：1、2、3、4、6、12；49的因数：1、7、49；36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。【考点三】找一个数的倍数及倍数的特征。【方法点拨】1.找一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非0自然数。2.倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。【典型例题】写出50以内6的倍数。解析：50以内6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48。【对应练习1】写出100以内15的全部倍数。解析：100以内15的倍数有：15，30，45，60，75，90。【对应练习2】写出50以内8的倍数。解析：8、16、24、32、40、48【对应练习3】若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。解析：12、24、36、48 【考点四】因数与倍数的综合题型。【方法点拨】1.因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。2.倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。【典型例题】一个数，既是40的因数，又是5的倍数，符合条件的数有（ ）个。A.2 B.3 C.4 D.5解析：C【对应练习1】一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）。A.6 B.12 C.24 D.144解析：B【对应练习2】猜数，它是5的倍数，又是50的因数，这个数是（ ）。解析：5、10、25、50【对应练习3】有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？解析：A：5的最小倍数是5；B：最小的自然数是0；C：5的最大因数是5；D：它既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4；E：它的所有因数是1，2，3，6，这个数是6；F：它的所有因数是1，3，这个数是3；G：它只有一个因数，这个数是1。由此得：这个电话号码是****﹣5054631。【考点五】2、5、3的倍数特征。【方法点拨】1. 2、5、3的倍数的特征：（1）个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
（2）个位上是0或5的数是5的倍数。（3）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。2. 2、5、3倍数特征之间的联系：3.四种数的相关概念：（1）偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 （2）奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。 （3）整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 （4）自然数：像 0、1、2、3、4、……都是自然数。4.倍数特征的补充：（1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数；（2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。【典型例题1】要使4□6是3的倍数，□里可以填（ ）。A．1、2、3 B．2、4、6 C．2、5、8解析：C【典型例题2】一个两位数，既是2的倍数，又是5的倍数，这个数最大是（ ）A．90 B．92 C．95解析：A【典型例题3】食品店有75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？解析：75满足2、3、5的倍数的特征。【对应练习1】要使17□50同时是2、3、5的倍数，那么□里最大能填（ ），最小能填（ ）。解析：8，2【对应练习2】在24□中，方框里填上一个数字，使这个数同时是2、3、5的倍数。 A．1 B．2 C．0解析：C【对应练习3】82至少要加上（ ）才是3的倍数；至少要加上（ ）才能既是2的倍数，又是5的倍数。解析：2，8【对应练习4】已知□8、59□、□531、76□32、□□6都是3的倍数。（1）□8中□里可以填（ ）。（2）59□中□里可以填（ ）。（3）□531中□里可以填（ ）。（4）76□32中□里最大可以填（ ），最小可以填（ ）。（5）□□6中□里两数的和最大是（ ），最小是（ ）。解析：（1）1、4、7；（2）1、4、7；（3）3、6、9；（4）9、0；（5）18，3【考点六】根据2、5、3的倍数特征组数。【方法点拨】根据倍数特征组数，需要熟悉2、5、3的倍数特征，能够根据不同倍数的特征灵活变换。【典型例题】从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。2的倍数有： 3的倍数有： 5的倍数有： 既是2的倍数又是3的倍数有： 既是2的倍数又是5的倍数有： 既是3的倍数又是5的倍数有： 既是2、3的倍数，又是5的倍数有： 解析：2的倍数有：502、702、750、720、270、570；3的倍数有：270、720、570、750、705、507、702、207；5的倍数有：270、720、570、750、705、205；既是2的倍数又是3的倍数有：270，720、750、702、570；既是2的倍数又是5的倍数有：270，720、750、570，250，520；既是3的倍数又是5的倍数有：270，720，570，750；既是2、3的倍数，又是5的倍数有270、720、750、570； 【对应练习1】按要求写数用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。（1）是2的倍数，并且最大： （2）是5的倍数并且最小： （3）既是偶数，又是3的倍数： （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8： （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数： 解析：（1）是2的倍数，并且最大：854（2）是5的倍数并且最小：405（3）既是偶数，又是3的倍数：450、540、480、840、504、804、408（4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：480（5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：405【对应练习2】写出符合要求的最小的两位数：（1）既是2的倍数，又是3的倍数：（ ）。（2）既是3的倍数，又是5的倍数：（ ）。（3）既是2的倍数，又是5的倍数：（ ）。（4）既是2和5的倍数，又是3的倍数：（ ）。解析：（1）12；（2）15；（3）10；（4）30 【对应练习3】写出符合要求的最小的三位数：（1）既是2的倍数，又是3的倍数：（ ）。（2）既是3的倍数，又是5的倍数：（ ）。（3）既是2和5的倍数，又是3的倍数：（ ）。解析：（1）102；（2）105；（3）120。【对应练习4】从4、5、8、0这4个数字中任意选出其中的3个组成三位数，至少各写三个。 （1）组成的数是2的倍数：____________________。 （2）组成的数是3的倍数：____________________。 （3）组成的数是5的倍数：____________________。（4）组成的数同时是含有因数2、3、5 的倍数：____________________。解析：（1）584 548 480 480 450 （2）450 540 804 504 408 （3）450 540 485 845 840 （4）450 540 480 840【考点七】判断奇数与偶数。【方法点拨】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，0也是偶数。【典型例题】在1—100中，因数的个数是奇数的数有哪些？因数的个数是偶数的数有多少个？解析：100以内（包括 100）因数个数是奇数的有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100共10个， 因数个数是偶数的一共有100-10=90（个）。 【对应练习1】在40、12、37、39、45、18、10、26、91、69、234、76、600这些数中 （1）奇数有：_____________________________。 （2）偶数有：_____________________________。解析：奇数：37、39、91、69偶数：40、12、18、10、26、234、76、600【对应练习2】个位是（ ）的自然数，叫做奇数。两位数中，最小的奇数是（ ），最大的偶数是（ ）。自然数中最小的奇数是_____ ，最小的偶数是______。解析：1、3、5、7、9；11；98；1；2【考点八】奇数与偶数的基本性质。【方法点拨】奇数与偶数的基本性质：
【典型例题】用“偶数”和“奇数”填空。 偶数+偶数=（ ） 奇数+奇数=（ ） （ ）+偶数=奇数 偶数×偶数=（ ） 奇数×（ ）=偶数 奇数-（ ）=偶数解析：偶数；偶数；奇数；偶数；奇数；奇数【对应练习1】判定下面的结果是偶数还是奇数。 ①2+5的结果是（ ） ②如果A是自然数（A≠0），2A表示（ ） ③2×3的结果是（ ） ④一个数只有1和本身两个因数，它是（ ） ⑤785＋547的和是（ ） ⑥675+54－465的结果是（ ） ⑦75×71的积是（ ）⑧奇数×奇数的积是（ ）解析：奇数；偶数；偶数；奇数或偶数；偶数；偶数；奇数；奇数【对应练习2】选择正确的序号填在括号内 （1）同时是2、3、5的倍数的数是（ ） 。A．奇数 B．偶数 （2）如果a表示自然数，那么下面一定可以表示偶数的是（ ）。 A. a+1 B. a+2 C. 2a （3）几个质数的积一定是（ ）。 A. 奇数 B.偶数 C.无法判断 （4）小明晚上放学回家，打开灯，亮了，再开50次，灯是（ ） 。A.亮着 B.灭了 （5）从1到2005个自然数相加的和是（ ）。 A.奇数 B. 偶数解析：（1）B（2）C（3）C（4）A（5）A【考点九】质数与合数的定义及特征。【方法点拨】质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的：1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。注意：①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。②最小的质数是2，没有最大的质数。
2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。注意：①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。②最小的合数是4，没有最大的合数。3. 注意：0、1既不是质数，也不是合数。【典型例题】将下面各数分别填入指定的圈里。56；79；87；195；204；630；22；31；57；65解析： 【对应练习1】在自然数1～20中，最小的合数是（ ），是偶数又是质数的是（ ），是奇数又是合数的是（ ），既不是质数又不是合数的是（ ）。解析：4 2 9、15 1 【对应练习2】在18，19，80，51中，（ ）是质数，（ ）是奇数，（ ）既是奇数又是合数。解析：19 19和51 51【对应练习3】连一连。 解析： 【考点十】因数、倍数、质数、合数的综合应用。【方法点拨】1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。3.倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
个位上是0或5的数是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。【典型例题】10以内（不含10）的质数有哪些？从这些质数中任意选出三个数，再组成一个既是2的倍数又是3的倍数的三位数，符合条件的三位数有哪些？解析：10以内的质数有：2、3、5、7；既是3的倍数，又是2的倍数的是372、732。【对应练习】有一个三位数，它的十位上的数字是最小的质数，如果这个三位数能同时被2、3、5整除，这个三位数最大是多少？解析：720【考点十一】简单的猜数问题。【方法点拨】猜数问题综合性稍强，需要熟悉因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等的定义及一些特殊数。【典型例题】巧虎在侦破一个案件时发现了一个保险箱．保险箱设有六位数的密码．已知：是5最大的因数；的所有因数是1、2、4、8；是最小的自然数；只有一个因数；既是质数，又是偶数；既是9的因数，又是9的倍数．这个保险箱的密码是 。解析：580129【对应练习1】小明家的电话号码是七位数，第一位比3的最小倍数小1，第二位是最小合数，第三位是最小的偶数，第四位是既不是素数也不是合数，第五位数是9的最小因数，第六位比最小的素数多1，第七位是10以内的既是2的倍数又是4的倍数但不是4，明明家的电话号码是： 。解析：2401138【对应练习2】猜电话号码提示：的最小倍数；最小的合数；的最大因数；它既是4的倍数，又是4的因数；它的所有因数是1，2，3，6；内最大的质数；它只有一个因数。这个号码就是 。解析：【对应练习3】猜数字：一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数既是质数又是偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是0，这个六位数是 。解析：920042【对应练习4】唐老师的车牌号从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数也不是合数的奇数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数聪明的同学，你知道唐老师车牌号的数字部分是多少吗？解析：912714 【考点十二】分解质因数。【方法点拨】1.分解质因数：指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意：①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径； ②100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。【典型例题】在横线里填不同的质数。42＝ × × 解析：2；3；7【对应练习1】将102分解质因数。解析：102=2×3×17【对应练习2】将70分解质因数。解析：70=2×5×7【对应练习3】找出1992所有的不同质因数，求出它们的和。解析：1992=2×2×2×3×832+3+83=88答：略。 【考点十三】通过分解质因数，找因数的个数。【方法点拨】如果一个比较简单的数已经分解为质因数，那么找这个数的因数个数，可以把该数求出来再找因数。【典型例题】已知甲数=2×3×5，那么甲数的因数共有多少个？解析：8【对应练习】已知A=2×2×3，那么A的因数共有几个？解析：6
