初中数学北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试综合训练题

这是一份初中数学北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试综合训练题，共18页。试卷主要包含了一元二次方程x2＝－2x的解是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0，则方程根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法判断
2、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（ ）
A．B．C．D．
3、将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4、若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．B．C．1D．2
5、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝-2，x2＝4，则m-n的值是（ ）
A．-10B．10C．-6D．6
6、一元二次方程x2＝－2x的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝－2
7、关于的一元二次方程的一个根是3，则的值是（ ）
A．3B．C．9D．
8、下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣4＝0B．ax2＋bx＋c＝0C．x2﹣y＋1＝0D．＋x﹣1＝0
9、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能为（ ）．
A．3B．4C．5D．6
10、若方程的一个根为，则的值是（ ）
A．7B．C．4D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若为整数，关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为__________．
2、某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则根据题意可列方程 _____．
3、关于x的一元二次方程的两实数根，，满足，则m的值是______．
4、疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，根据题意，可列方程为___________．
5、甲公司前年缴税100万元，今年缴税121万元，则该公司缴税的年平均增长率 _____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在正方形中，点分别在边、上，与相交于点G，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，与是方程的两个根，四边形的面积为，求正方形的面积．
（3）在第（2）题的条件下，如图3，延长BC至点N，使得CN=3，连接GN交CD于点M，直接写出线段的值．
2、计算：
（1）3x2+3＝7x；（用配方法解方程）
（2）4y（3﹣y）＝（y﹣3）2．
3、已知函数y1＝x＋1和y2＝x2＋3x＋c（c为常数）.
（1）若两个函数图像只有一个公共点，求c的值；
（2）点A在函数y1的图像上，点B在函数y2的图像上，A，B两点的横坐标都为m．若A，B两点的距离为3，直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范围．
4、如图，在一块长、宽的矩形地面内，修筑一横两竖三条道路，横、竖道路的宽度相同，余下的地面铺草坪，要使草坪面积达到，求道路的宽．
5、解方程：（1）x2－2x－3＝0； （2）x (x－2)－x＋2＝0．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
判别式Δ＝b2﹣4ac，由于ac＜0，则﹣ac＞0，而b2≥0，于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程为ax2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac，
∵ac＜0，
∴﹣ac＞0，
又∵b2≥0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0，方程有两个相等的实数根；（3） Δ＜0，方程没有实数根．
2、C
【分析】
设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，
整理得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3、A
【分析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
故选A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4、A
【分析】
将n代入方程，然后提公因式化简即可．
【详解】
解：∵是关于x的方程的根，
∴，即，
∵，
∴，即，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，理解题意，熟练运用提公因式是解题关键．
5、D
【分析】
根据一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2、x2＝4结合根与系数的关系，分别求出m和n的值，最后代入m-n即可解答．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝-2、x2＝4，
∴x1+x2＝﹣m＝-2+4，解得：m＝﹣2，
x1•x2＝n＝-2×4，解得：n＝-8，
∴m-n＝﹣2-（-8）＝6．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系求出m、n的值是解答本题的关键．
6、D
【分析】
先移项、然后再利用因式分解法解方程即可．
【详解】
解 ：x2＝－2x
x2+2x=0
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝-2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法,把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题成为解答本题的关键．
7、C
【分析】
把x=3代入已知方程，列出关于m的方程，通过解方程可以求得m的值．
【详解】
解：关于的一元二次方程的一个根是3
m=9
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
8、A
【分析】
利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】
解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
9、A
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根，判别式△＞0，确定a的取值范围，判断选择即可．
【详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式△＞0，
∴，
∴a＜4，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
10、D
【分析】
将代入方程求解即可．
【详解】
解：将代入可得：
，
解得：，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查方程与根的关系，将根代入方程求解是解题关键．
二、填空题
1、3
【分析】
根据一元二次方程的二次项的系数不等于0、根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：，
解得，且，
为整数，
整数的最大值为3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
2、64（1+x）2＝81
【分析】
如果每月的增长率都为x，根据某旅游景点6月份共接待游客64万人次，则7月份接待游客64（1+x）万人次，8月份共接待游客64（1+x）2万人次，根据题意可列出方程．
【详解】
解：设每月的增长率都为x，列方程得
64（1+x）2＝81．
故答案为：64（1+x）2＝81．
【点睛】
本题考查了增长率问题，理解题意，用含x式子表示出8月份游客人次是解题关键．
3、2
【分析】
先根据根的判别式求得m的取值范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到x1x2＝m2−m＝2，进而求得m＝2或m＝−1，故可得解．
【详解】
解：由题意得Δ＝（2m）2−4（m2−m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程的两实数根，，
则x1x2＝m2−m＝2，
∴m2−m−2＝0，解得m＝2或m＝−1（舍去），
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1x2＝．
4、
【分析】
设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，根据该买菜APP今年一月份及三月份新注册用户人数，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】
解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，
依题意，得：200（1＋x）2＝338，
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5、10%
【分析】
设公司缴税的年平均增长率为x，根据增长后的纳税额＝增长前的纳税额×（1+增长率），即可得到去年的纳税额是100（1+x）万元，今年的纳税额是100（1+x）2万元，据此即可列出方程求解．
【详解】
解：设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得100（1+x）2＝121
解方程得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）
所以该公司缴税的年平均增长率为10%．
故答案为：10%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用---增长率问题，认真审题找到等量关系是是解题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）16；（3）
【分析】
（1）由正方形ABCD得，由得，从而得出即可得证；
（2）由ASA证明，从而得出，设，，则，即，由根与系数的关系求出k，即可得出；
（3）过点G作PQ⊥AD于点P，交BC于Q，则GQ⊥BC，由（2）可知，，，，由等面积法求出PG，由勾股定理求出AP，故可得QG、QN，由勾股定理即可求出答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴，
在与中，
，
，
∴，
设，，则，即，
∵与是方程的两个根，
∴，
∴，
解得：，
，
∴，
∴，
∴一元二次方程为，
；
（3）
如图，过点G作PQ⊥AD于点P，交BC于Q，则GQ⊥BC，
由（2）可知，，，，
，
，
则，，，
∴，
．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理，掌握知识点间的相互应用是解题的关键．
2、（1），；（2），
【分析】
（1）先移项，再方程两边都除以3，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）3x2+3＝7x，
移项，得3x2﹣7x＝﹣3，
除以3，得x2﹣ x＝﹣1，
配方，得x2﹣x+（）2＝﹣1+（）2，
即（x﹣）2＝，
开方，得x﹣＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）4y（3﹣y）＝（y﹣3）2，
移项，得﹣4y（y﹣3）﹣（y﹣3）2＝0，
（y﹣3）（﹣4y﹣y+3）＝0，
y﹣3＝0或﹣4y﹣y+3＝0，
解得：y1＝3，．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并根据方程的特征选用合适的方法是解题的关键．
3、（1）c＝2；（2）当c＞5时，m有0个；当c＝5时，m有1个；当－1＜c＜5时，m有2个；当c＝－1时，m有3个；当c＜－1时，m有4个
【分析】
（1）只需求出y1=y2时对应一元二次方程有两个相等的实数根的c值即可；
（2）根据题意，AB=｜m2＋2m＋c－1｜=3，分m2＋2m＋c－1＞0和m2＋2m＋c－1＜0两种情况，利用一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意，若两个函数图像只有一个公共点，
则方程x2＋3x＋c＝x＋1有两个相等的实数根，
∴△=b2－4ac＝22－4(c－1)＝0，
∴c＝2；
（2）由题意，A（m，m+1），B（m，m2＋3m＋c）
∴AB=｜m2＋3m＋c－m－1｜=｜m2＋2m＋c－1｜=3，
①当m2＋2m＋c－1＞0时，m2＋2m＋c－1=3，即m2＋2m＋c－4=0，
△=22－4（c－4）=20－4c，令△=20－4c=0，解得：c=5，
∴当c＜5时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；
当c=5时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；
当c＞5时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；
②当m2＋2m＋c－1＜0时，m2＋2m＋c－1=－3，即m2＋2m＋c+2=0，
△=22－4（c+2）=－4c－4，令△=－4c－4=0，解得：c=－1，
∴当c＜－1时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m有2个；
当c=－1时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m有1个；
当c＞－1时，△＜0，方程无实数根，即m有0个；
综上，当c＞5时，m有0个；
当c＝5时，m有1个；
当－1＜c＜5时，m有2个；
当c＝－1时，m有3个；
当c＜－1时，m有4个．
【点睛】
本题考查函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根的判别式与根的关系、坐标与图形，解答的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程无实数根．
4、道路的宽为2m
【分析】
设道路的宽为xm，根据图形可以把草坪面积看做是一个长为m，宽为m的长方形面积，由此建立方程求解即可．
【详解】
解：设道路的宽为xm，
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴道路的宽为2m．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．
5、（1）x1＝3，x2＝－1；（2）x1＝2， x2＝1
【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
（1）解：x2－2x－3＝0
x2－2x＋1＝3＋1
(x－1)2＝4
x－1＝±2
∴x1＝3，x2＝－1；
（2）解：x (x－2)－(x－2)＝0
(x－2)(x－1)＝0
x-2=0或x-1=0
∴x1＝2， x2＝1．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的求解方法，并根据题意灵活选择适当的解题方法是解题关键．