人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.2 乘法公式与全概率公式学案设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.2 乘法公式与全概率公式学案设计，共9页。学案主要包含了补偿训练，思路导引等内容，欢迎下载使用。


1．乘法公式
公式：P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(BA)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A)))) .
意义：根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出事件A与B同时发生的概率．
如果已知事件B发生的概率和在事件B发生的条件下事件A发生的概率，可以求出事件A与B同时发生的概率吗？
提示：可以，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(BA)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B)))) .
2．全概率公式
(1)一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与B eq \x\t(A) 是互斥的，且B＝BA＋B eq \x\t(A) ，从而P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(BA)) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\x\t(A))) ，当P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)) >0且P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(A))) >0时，有P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A)))) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(A))) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\x\t(A))))) ．
(2)定理1
若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i≠j，i，j＝1，2，…，n；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0 (i＝1，2，…，n).
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，
且P(B)＝ eq \i\su(i＝1,n,P) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(BAi)) ＝ eq \i\su(i＝1,n,P) (Ai)P(B eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ai)) )．
在全概率公式的推导过程中，用到了哪些概率公式？
提示：互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式．
3．贝叶斯公式
一般地，当0

0时，有
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B)))) ＝ eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A)))),P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B))) ＝ eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A)))),P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A))))＋P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(A)))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\x\t(A)))))) ．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B)))) .( )
(2)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为 eq \i\su(i＝1,n,A) i＝Ω.( )
(3)贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率．( )
提示：(1)×.P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A)))) .
(2)×.需满足的条件为AiAj＝∅(i≠j)， eq \i\su(i＝1,n,A) i＝Ω，且P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Ai)) >0.
(3)√.
2．已知P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) ＝ eq \f(1,2) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B)))) ＝ eq \f(1,3) ，则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB)) ＝( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,6) D． eq \f(5,6)
【解析】选C.由乘法公式得，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B)))) ＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,6) .
3．(教材二次开发：例题改编)为加强对新型冠状病毒预防措施的落实，学校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查．已知甲、乙两班的人数之比为5∶4，其中甲班女生占 eq \f(3,5) ，乙班女生占 eq \f(1,2) ，则学校恰好抽到一名女生的概率为( )
A． eq \f(2,9) B. eq \f(4,9) C. eq \f(5,9) D. eq \f(7,9)
【解析】选C.设A：抽到一名学生是甲班的，
B：是女生，则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)) ＝ eq \f(5,9) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(A))) ＝ eq \f(4,9) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))A)) ＝ eq \f(3,5) ，
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))\x\t(A))) ＝ eq \f(1,2) ，所以由全概率公式可知，
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)) ·P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))A)) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(A))) ·P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))\x\t(A))) ＝ eq \f(5,9) × eq \f(3,5) ＋ eq \f(4,9) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(5,9) .
类型一 乘法公式的应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)
1．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．
【解析】记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，
即这个选手过关的概率为0.4.
答案：0.4
2．在某大型商场促销抽奖活动中，甲、乙两人先后进行抽奖前，还有60张奖券，其中有6张中奖奖券．假设抽完的奖券不放回，甲抽完以后乙再抽，求：
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率；
(2)甲没中奖而且乙中奖的概率；
(3)乙中奖的概率．
【解析】方法一：设A：甲中奖，B：乙中奖，则P(A)＝ eq \f(6,60) ＝ eq \f(1,10) ，
P(B|A)＝ eq \f(5,59) ，P( eq \x\t(A) )＝ eq \f(9,10) ，P(B| eq \x\t(A) )＝ eq \f(6,59) ，所以，
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率P(BA)＝P(A)·P(B|A)＝ eq \f(1,10) × eq \f(5,59) ＝ eq \f(1,118) .
(2)甲没中奖而乙中奖的概率
P(B eq \x\t(A) )＝P( eq \x\t(A) )·P(B| eq \x\t(A) )＝ eq \f(9,10) × eq \f(6,59) ＝ eq \f(27,295) .
(3)P(B)＝P(BA＋B eq \x\t(A) )＝P(BA)＋P(B eq \x\t(A) )＝ eq \f(1,118) ＋ eq \f(27,295) ＝ eq \f(1,10) .
方法二：(1)甲中奖而且乙也中奖的概率为 eq \f(A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(60)) ) ＝ eq \f(6×5,60×59) ＝ eq \f(1,118) .
(2)甲没中奖而乙中奖的概率为
eq \f(A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(54)) ·A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(60)) ) ＝ eq \f(54×6,60×59) ＝ eq \f(27,295) .
(3)乙中奖的概率为 eq \f(A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＋A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(54)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(60)) ) ＝ eq \f(1,10) .
(1)在P(B|A)，P(BA)，P(A)这三者中，如果已知P(A)，P(B|A)，那么可以由P(BA)＝P(A)·P(B|A)求出P(BA).
(2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)＞0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A).
【补偿训练】
一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率．
【解析】设Ai(i＝1，2，3)为第i次抽到合格品的事件，
则有P(A1 A2A3)＝P( eq \x\t(A) 1)P(A2 eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A1)) )P(A3 eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A1 A2)) ) ＝ eq \f(10,100) × eq \f(9,99) × eq \f(90,98) ≈0.008 3.
类型二 全概率公式的应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)
应用全概率公式求概率
【典例】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3 个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，求从2号箱取出红球的概率．
【思路导引】弄清题意，用全概率公式求解．
【解析】设A：最后从2号箱取出的是红球，B：从1号箱取出的是红球，则：
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) ＝ eq \f(4,2＋4) ＝ eq \f(2,3) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(B))) ＝1－P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) ＝ eq \f(1,3) ；
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B)))) ＝ eq \f(3＋1,8＋1) ＝ eq \f(4,9) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\x\t(B))))) ＝ eq \f(3,8＋1) ＝ eq \f(1,3) ；
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB)) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\x\t(B)))
＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B)))) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\x\t(B))))) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(B))) ＝ eq \f(4,9) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(3,9) ＝ eq \f(11,27) .
应用定理1求概率
【典例】播种用的小麦种子混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．已知用一、二、三、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率．
【思路导引】细研题意，利用定理1解决问题．
【解析】设Bk：从这批种子中任选一颗是k等种子，k＝1，2，3，4；设A：从这批种子中任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上，则
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B2)) ＝0.02，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B3)) ＝0.015，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B4)) ＝0.01，
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B1)) ＝1－0.02－0.015－0.01＝0.955，
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B1)))) ＝0.5，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B2)))) ＝0.15，
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B3)))) ＝0.1，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B4)))) ＝0.05，由定理1得，
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)) ＝ eq \i\su(i＝1,4,P) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Bi)) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Bi))))
＝0.955×0.5＋0.02×0.15＋0.015×0.1＋0.01×0.05
＝0.482 5.
本例条件不变，求所结出的含有50颗麦粒以上麦穗中是一等种子长成的概率．
【解析】由典例知P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)) ＝0.482 5，所以
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B1\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A)))) ＝ eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB1)),P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A))) ＝ eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B1))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B1)))),P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A))) ＝ eq \f(0.955×0.5,0.482 5) ≈0.989 6.
全概率公式求概率的关注点
(1)实质：为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果．
(2)应用：把事件B看作某一过程的结果，
把A1，A2，…，An …看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率(即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(An)) )已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(An)))) )已知，则可用全概率公式计算结果发生的概率(即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) ).
1．设有两箱同一种商品：第一箱内装50件，其中10件优质品；第二箱内装30件，其中18件优质品．现在随意地打开一箱，然后从中随意取出一件，求取到是优质品的概率．
【解析】设A＝{取到的是优质品}，B1＝{打开的是第i箱}(i＝1, 2)，P(B1)＝P(B2)＝ eq \f(1,2) ，P(A|B1)＝ eq \f(10,50) ＝ eq \f(1,5) ，P(A|B2)＝ eq \f(18,30) ＝ eq \f(3,5) ，由全概率公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝ eq \f(2,5) .
2．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品
率分别为2% , 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
【解析】设事件A 为“任取一件为次品”，
事件Bi：任取一件为i厂的产品，i＝1，2，3.
B1∪B2∪B3＝Ω，BiBj＝∅，i，j＝1，2，3，i≠j；
P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P( eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A)) B1)＝0.02，P( eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A)) B2)＝0.01，P( eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A)) B3)＝0.01，由全概率公式得，
P(A)＝P( eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A)) B1)P(B1)＋P( eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A)) B2)P(B2)＋P( eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A)) B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
【补偿训练】
设一仓库中有10 箱同种规格的产品， 其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱 , 3箱， 2 箱，三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这10箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率．
【解析】设A为事件“取得的产品为正品”，
B1，B2，B3分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”，
由题设知P(B1)＝ eq \f(5,10) ，P(B2)＝ eq \f(3,10) ，P(B3)＝ eq \f(2,10) ，
P( eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A)) B1)＝0.9，P( eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A)) B2)＝0.8，P( eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A)) B3)＝0.7，
所以P(A)＝ eq \i\su(i＝1,3,P) (Bi)P( eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A)) Bi)
＝ eq \f(5,10) × eq \f(9,10) ＋ eq \f(3,10) × eq \f(8,10) ＋ eq \f(2,10) × eq \f(7,10) ＝0.83.
类型三 贝叶斯公式的应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)
【典例】设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求出事件过程的某个条件成立的概率，解题步骤如下：
(1)找出目标条件所在的完备事件组，并命名；(2)命名已知会发生的结果事件；(3)代入贝叶斯公式求解．
用血清诊断肝癌，临床实践表明，患肝癌的病人中有95%试验呈阳性，也有2%的非肝癌患者化验呈阳性．若将此法用于人群肝癌普查，设人群中肝癌患病率0.2%，现某人在普查中化验结果呈阳性，求此人确患肝癌的概率．
【解析】设A：被化验者确患肝癌症，B：被化验者结果呈阳性，则
P(B|A)＝0.95，P(B| eq \x\t(A) )＝0.02，P(A)＝0.002，
P( eq \x\t(A) )＝1－P(A)＝0.998，
P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A))))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)),P（B|A）P（A）＋P（B|\x\t(A)）P（\x\t(A)）)
＝ eq \f(0.95×0.002,0.95×0.002＋0.02×0.998) ≈0.087.
1．第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各 3 只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球．则第一、二次均取到白球的概率为( )
A． eq \f(1,7) B． eq \f(2,7) C． eq \f(1,2) D． eq \f(4,7)
【解析】选B.记Ai：第i次取得白球，i＝1，2，则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A1)) ＝ eq \f(1,2) ，
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A2|A1)) ＝ eq \f(4,7) ，由乘法公式求得，
P(A1A2)＝P(A2|A1)P(A1)＝ eq \f(4,7) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(2,7) .
2．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为( )
A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88
【解析】选C.设B：从仓库中随机提出的一台是合格品，Ai：提出的一台是第i车间生产的，i＝1，2，
则有B＝A1B∪A2B，由题意，
P(A1)＝ eq \f(2,5) ，P(A2)＝ eq \f(3,5) ，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式P(B)＝ P(A1) P(B|A1)＋ P(A2) P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
3．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为 eq \f(4,5) .当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为 eq \f(19,20) ；否则，第一件产品合格的概率为 eq \f(3,5) .某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为( )
A． eq \f(7,11) B． eq \f(9,11) C． eq \f(17,22) D． eq \f(19,22)
【解析】选D.用A表示生产线初始状态良好，B表示第一件产品是合格品，则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)) ＝ eq \f(4,5) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))A)) ＝ eq \f(19,20) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))\x\t(A))) ＝ eq \f(3,5) ，
从而P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(A))) ＝ eq \f(1,5) ，因此P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A))B)) ＝
eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))A)),P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))A))＋P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(A)))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))\x\t(A)))) ＝ eq \f(\f(4,5)×\f(19,20),\f(4,5)×\f(19,20)＋\f(1,5)×\f(3,5)) ＝ eq \f(19,22) .
4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．随机取一个袋子，再从该袋中随机取一球，该球是红球的概率为________．
【解析】记B：该球是红球，A1：取自甲袋，A2：取自乙袋，
已知P(B|A1)＝ eq \f(6,10) ，P(B|A2)＝ eq \f(8,14) ，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝ eq \f(1,2) × eq \f(6,10) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(8,14) ＝ eq \f(41,70) .
答案： eq \f(41,70)
5．(教材二次开发：练习改编)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是A厂的概率．
【解析】记C＝{取得产品是A厂生产的}，D＝{取得的是次品}，由题意知，P(C)＝0.6，P( eq \x\t(C) )＝0.4，P(D| eq \x\t(C) )＝0.02，P(D|C)＝0.01.
因此P(C|D)＝ eq \f(P（CD）,P（D）) ＝
eq \f(P（C）P（D|C）,P（\x\t(C)）P（D|\x\t(C)）＋P（C）P（D|C）) ＝ eq \f(3,7) .四步
内容
理解
题意
条件：①某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01; ②今有一辆汽车中途停车修理．
结论：求该汽车是货车的概率．
思路
探求
吃透题意，可选用贝叶斯公式求解．
书写
表达
设B＝{中途停车修理}，A1＝{经过的是货车}，
A2＝{经过的是客车}，则B＝A1B＋A2B.
由于P(A1)＝ eq \f(2,3) ，P(A2)＝ eq \f(1,3) ，P(B|A1)＝0.02，
P(B|A2)＝0.01 ①
所以由贝叶斯公式有P(A1|B)＝ eq \f(P（A1B）,P（B）)
＝ eq \f(P（A1）P（B|A1）,P（A1）P（B|A1）＋P（A2）P（B|A2）)
＝ eq \f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01) ＝0.80. ②
即该汽车是货车的概率为0.80.
注意书写的规范性：①将已知条件正确地用事件的概率和条件概率予以表示；
②选用贝叶斯公式求解．
题后
反思
贝叶斯公式的应用
把事件B看作某一过程的结果，
把A1，A2，…，An看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(An)) 已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(An)))) )已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i个原因引起的概率，则用贝叶斯公式(即求P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Ai\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B)))) ).