高考数学(文数)二轮复习解答题通关练习07《坐标系与参数方程》(教师版)

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7.坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积.解　(1)曲线C化为普通方程为＋y2＝1，由ρcos＝－1，得ρcosθ－ρsinθ＝－2，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(2)直线l1的参数方程为(t为参数)，代入＋y2＝1化简得，2t2－t－2＝0，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－1，所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝1. 2.在平面直角坐标系xOy中，已知直线C1：(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C2：ρ＝8sinθ.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)判断直线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长.解　(1)由C1：(t是参数)消去t得x＋y－3＝0，所以直线C1的普通方程为x＋y－3＝0.把ρ＝8sinθ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsinθ，因为x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C2：x2＋(y－4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝<4，所以直线C1与曲线C2相交，其弦长为2＝. 3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C3的极坐标方程为θ＝(ρ>0).(1)求曲线C1的极坐标方程和C3的直角坐标方程；(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△C1PQ的面积.解　(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ.曲线C3的直角坐标方程为y＝x(x>0).(2)依题意，设点P，Q的坐标分别为，，将θ＝代入ρ＝4cosθ，得ρ1＝2，将θ＝代入ρ＝2sinθ，得ρ2＝1，所以＝＝2－1，依题意得，点C1到曲线θ＝的距离为d＝sin＝1，所以S△C1PQ＝·d＝＝－.     4.已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sinθ.(1)求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；(2)A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△AOB的面积(O为坐标原点).解　(1)由得所以(x＋2)2＋y2＝4，又由ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，得x2＋y2＝4y，把两式作差得，y＝－x，代入x2＋y2＝4y得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|＝2＋4，O到AB的距离为，∴△OAB的面积为S＝(2＋4)·＝2＋2.