高考数学(文数)二轮复习解答题通关练习02《数列》(教师版)

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2.数　列1.在等差数列{an}中，a1＝－2，a12＝20.(1)求数列{an}的通项an；(2)若bn＝，求数列{3bn}的前n项和Sn.解　(1)因为an＝－2＋(n－1)d，所以a12＝－2＋11d＝20，于是d＝2，所以an＝2n－4(n∈N*).(2)因为an＝2n－4，所以a1＋a2＋…＋an＝＝n(n－3)，于是bn＝＝n－3，令cn＝3bn，则cn＝3n－3，显然数列{cn}是等比数列，且c1＝3－2，公比q＝3，所以数列{3bn}的前n项和Sn＝＝(n∈N*).2.已知数列{an}满足a1＝，＝＋2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：a＋a＋a＋…＋a<.(1)解　由条件可知数列为等差数列，且首项为2，公差为2，所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故an＝(n∈N*).(2)证明　依题意可知a＝2＝·<··＝，n≥2，n∈N*.又因为a＝，所以a＋a＋a＋…＋a<＝<×2＝.故a＋a＋a＋…＋a<.   3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝5,3a5＋a9＝S6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋1an，且b1＝a6，求数列的前n项和Tn.解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由a1＝5,3a5＋a9＝S6，得3(5＋4d)＋(5＋8d)＝6×5＋d，解得d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝5＋2(n－1)＝2n＋3(n∈N*).(2)由(1)得，b1＝a6＝2×6＋3＝15.又因为bn＋1＝an＋1an，所以当n≥2时，bn＝anan－1＝(2n＋3)(2n＋1)，当n＝1时，b1＝5×3＝15，符合上式，所以bn＝(2n＋3)(2n＋1)(n∈N*).所以＝＝.所以Tn＝＝＝(n∈N*).4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S9＝81.记bn＝[log5an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[log516]＝1.(1)求b1，b14，b61；(2)求数列{bn}的前200项和.解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知S9＝81，根据等差数列的性质可知，S9＝9a5＝9(a1＋4d)＝81，∴a1＋4d＝9.∵a1＝1，∴d＝2，∴an＝2n－1，∴b1＝[log51]＝0，b14＝[log527]＝2，b61＝[log5121]＝2.(2)当1≤n≤2时，1≤an≤3(an∈N*)，bn＝[log5an]＝0，共2项；当3≤n≤12时，5≤an≤23，bn＝[log5an]＝1，共10项；当13≤n≤62时，25≤an≤123，bn＝[log5an]＝2，共50项；当63≤n≤200时，125≤an≤399，bn＝[log5an]＝3，共138项.∴数列{bn}的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.