初中数学第十六章 一元二次方程综合与测试同步测试题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（    ）

A． B．12 C． D．或

2、已知一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，则一元二次方程ax2－bx+c=3的两根分别为（   ）

A．x1=0，x2=－3 B．x1=－1，x2=－4

C．x1=0，x2=3， D．x1=2，x2=－1

3、下表是用计算器探索函数y＝2x2﹣2x﹣10所得的数值，则方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为（    ）

A．x≈﹣2.15 B．x≈﹣2.21 C．x≈﹣2.32 D．x≈﹣2.41

4、若一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0，则方程根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根 D．无法判断

5、一元二次方程的两个根是 （    ）

A．， B．， C．， D．，

6、方程x2﹣8x＝5的根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根

7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是（    ）

A． B．

C． D．

8、某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（　　）个班级．

A．8 B．9 C．10 D．11

9、已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（    ）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

10、小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、 “降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．

2、疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，根据题意，可列方程为___________．

3、若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m 的取值范围是______________．

4、如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为______________．

5、已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、近日，广西南宁苏爷爷自家果园的上千斤皇帝柑发生蓝变（即果皮白皮层变蓝），无法正常售卖，他决定将这些皇帝柑免费寄给科研人员．网友看到苏爷爷的故事，纷纷订购表示支持．已知苏爷爷自家果园的皇帝柑有两种类型在售，一种是实惠装中型果实（简称“中果”），一种是豪华装大型果实（简称“大果”）．

（1）网友小张买了2箱中果，1箱大果，花了116元；网友小李买了1箱中果，2箱大果，花了124元．求每箱中果和大果的售价分别是多少元？

（2）在（1）的条件下，正常情况平均每周可销售30箱大果．但为了减少库存，苏爷爷决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降低2元，大果的销量每周可增加5箱，如果大果每周的销售额为1600元，且降低后的售价不低于（1）中大果售价的70%．求每箱大果的售价应该降低多少元？

2、解方程：（1） x（x -2）+ x -2 = 0        （2） x2 - 4x + 1 = 0 （用配方法）

3、解方程：

（1）2（x﹣1）2﹣16＝0；

（2）x2+5x+7＝3x+11．

4、如图，是边长为的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线运动，点Q沿折线运动，且它们的速度都为．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接，，设点P的运动时间为．

（1）当点Q在线段上运动时，的长为_______（），的长为_______（）（用含t的式子表示）；

（2）当与的一条边垂直时，求t的值；

（3）在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出t的值．

5、解方程：（1）x2－2x－3＝0；         （2）x (x－2)－x＋2＝0．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

先求的两个根再根据矩形的性质，用勾股定理求得另一边长或，计算面积即可．

【详解】

∵，

∴（x-2）（x-5）=0，

∴

∴另一边长为=或=，

∴矩形的面积为2×=或5×=5，

故选D．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练解方程，灵活用勾股定理是解题的关键．

2、D

【分析】

首先根据a+b+c=3可得一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为，然后根据根与系数的关系可得，，然后代入一元二次方程ax2－bx+c=3中即可求解．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为1，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3化成一般形式为ax2+bx+c-3＝0，

∴，，

∵ax2－bx+c=3化成一般形式为ax2-bx+c-3＝0，即，

∴，

∴，

∴或，

解得：．

故选：D．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．

3、C

【分析】

根据表可得，方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个解应在﹣2.3与﹣2.4之间，再由y的值可得，它的根近似的看作是﹣2.3．

【详解】

∵当x＝﹣2.3时，y＝﹣0.11，

当x＝﹣2.4时，y＝0.56，

则方程的根﹣2.3＜x＜﹣2.4，

∵|﹣0.11|＜|0.56|，

∴方程2x2﹣2x﹣10＝0的一个近似解为x≈﹣2.32．

故选：C．

【点睛】

本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是看y值的变化．

4、B

【分析】

判别式Δ＝b2﹣4ac，由于ac＜0，则﹣ac＞0，而b2≥0，于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程为ax2+bx+c＝0，

∴Δ＝b2﹣4ac，

∵ac＜0，

∴﹣ac＞0，

又∵b2≥0，

∴Δ＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0，方程有两个相等的实数根；（3） Δ＜0，方程没有实数根．

5、C

【分析】

分别令和，即可求出该方程的两个根．

【详解】

解：由可知：或，

方程的解为：，

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的求解，一定要熟练掌握两项乘积为的一元二次方程的求解：令每一项都为0，即可求出该方程的两个根．

6、A

【分析】

计算一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

∵方程x2﹣8x＝5，

移项得：，

，，，

∴判别式，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

【点睛】

此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．

7、D

【分析】

根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，再根据根与系数的关系求解即可

【详解】

解：A. ，，，不符合题意；

B. ，，该方程无实根，不符合题意；

C. ，，该方程无实根，不符合题意；

D. ，，该方程有实根，且，符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系以及使用的前提条件是一元二次方程有实根，掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式是解题的关键．

8、A

【分析】

设该校八年级有x个班级，利用比赛的总场次数＝参赛的班级数×（参赛的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

解：设该校八年级有x个班级，

依题意得：x（x﹣1）＝28，

整理得：x2﹣x﹣56＝0，

解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9、B

【分析】

根据根的含义将代入一元二次方程x2＋k﹣3＝0求解即可．

【详解】

解：∵一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，

∴将代入得，，解得：．

故选：B．

【点睛】

此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念．

10、B

【分析】

设小明的年龄为x岁，则可用x表示出小亮的年龄和小刚的年龄．再根据小亮与小刚的年龄的乘积是130，即可列出方程．

【详解】

设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为岁，小刚的年龄为岁，

根据题意即可列方程：．

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，正确找出题干中的数量关系列出等式是解答本题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.

【详解】

解：

则或或

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.

2、

【分析】

设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，根据该买菜APP今年一月份及三月份新注册用户人数，即可得出关于x的一元二次方程．

【详解】

解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，
依题意，得：200（1＋x）2＝338，

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3、

【分析】

根据一元二次方程 (为常数)的根的判别式，解不等式即可求得m 的取值范围

【详解】

解：关于x的一元二次方程有两个实数根，

=

解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

4、（35-2x）（20-x）=660

【分析】

若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解

【详解】

解：依题意，得：（35-2x）（20-x）=660．

故答案为：（35-2x）（20-x）=660．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

5、7

【分析】

根据题意得到m+n=-2，mn=-1，m2+2m=1，n2+2n=1，再将（m2+3m+3）（n2+3n+3）变形为（m2+2m+m+3）（n2+2n+n+3），进而得到（m+4）（n+4），进而得到mn+4（m+n）+16，问题得解．

【详解】

解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，

∴m2+2m﹣1＝0 ，n2+2n﹣1＝0，m+n=-2，mn=-1，

∴m2+2m=1，n2+2n=1，

∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）

=（m2+2m+m+3）（n2+2n+n+3）

=（1+m+3）（1+n+3）

=（m+4）（n+4）

=mn+4m+4n+16

=mn+4（m+n）+16

=-1+4×（-2）+16

=7．

故答案为：7

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的定义，根与系数的关系，并根据题意将所求代数式变形是解题关键．

三、解答题

1、（1）每箱中果的售价为36元，每箱大果的售价为44元；（2）每箱大果的售价应该降低4元．

【分析】

（1）设每箱中果的售价为x元，每箱大果的售价为y元，根据“2箱中果，1箱大果，花了116元； 1箱中果，2箱大果，花了124元”列出二元一次方程组求解即可；

（2）根据“每周的销售额为1600元，且降低后的售价不低于（1）中大果售价的70%”列出方程和不等式求解即可．

【详解】

解：（1）设每箱中果的售价为x元，每箱大果的售价为y元，根据题意得

解得，

所以，每箱中果的售价为36元，每箱大果的售价为44元；

（2）设每箱大果的售价应该降低m元，根据题意得，

解①得，，

解②得，

∴

所以，每箱大果的售价应该降低4元

【点睛】

本题本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．

2、（1），；（2），．

【分析】

（1）根据因式分解法解方程即可得；

（2）利用配方法将等号左边变为完全平方公式，然后开方求解即可．

【详解】

解：（1），

，

∴或，

解得：，；

（2），

，

，

∴或，

解得：，．

【点睛】

题目主要考查解一元二次方程的因式分解法和配方法，熟练运用两种方法是解题关键．

3、（1）x1＝1+2，x2＝1﹣2；（2）x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．

【分析】

（1）利用直接开平方法求出方程的解即可；

（2）利用配方法求出方程的解即可．

【详解】

解：（1）整理，得2（x﹣1）2＝16，

（x﹣1）2＝8，

∴x﹣1＝，

∴x1＝1+2，x2＝1﹣2；

（2）整理，得x2+2x＝4，

配方，得x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，

解得：

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．

4、（1）；；（2）当或或时，PQ与的一条边垂直；（3）当或时，为等腰三角形．

【分析】

（1）根据点的位置及运动速度可直接得出；

（2）根据题意分三种情况讨论：①当时，；②当时，；③当时，；作出图形，分别应用直角三角形中角的特殊性质求解即可得；

（3）根据题意，分四种情况进行讨论：①当点Q在BC边上时，时；②当点Q在BC边上时，时；③当点Q在BC边上时，时；④当点Q在AC边上时，只讨论情况；分别作出四种情况的图形，然后综合运用勾股定理及解一元二次方程求解即可．

【详解】

解：（1）点Q从点B出发，速度为，点P从点A出发，速度为，

∴，，

∴，

故答案为：；；

（2）根据题意分三种情况讨论：

①如图所示：当时，，

∵三角形ABC为等边三角形，

∴

∴

∴，

由（1）可得：，

解得：；

②如图所示：当时，，

∵

∴

∴，

由（1）可得：，

解得：；

③如图所示：当时，，

∵

∴

∴，

由（1）可得：，

解得：；

综上可得：当或或时，PQ与的一条边垂直；

（3）根据题意，分情况讨论：

①当点Q在BC边上时，时，

如图所示：过点Q作，

∵

∴

∴，

∴，

，，

∴

∵，

∴，

解得：或（舍去）；

②当点Q在BC边上时，时，

如图所示：过点P作，

∵

∴

∴，

∴，

，，

∴

∵，

∴，

解得：（舍去）；

③当点Q在BC边上时，时，如图所示：

由图可得：，，

，

∴这种情况不成立；

④当点Q在AC边上时，只讨论情况，如图所示：

过点Q作，过点C作，

∵，为等边三角形，

∴，，

∴，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

解得：或（舍去），

综上可得：当或时，为等腰三角形．

【点睛】

题目主要考查三角形与动点问题，包括勾股定理的应用，含角的直角三角形的特殊性质，等腰三角形的判定和性质，求解一元二次方程等，根据题意，作出相应图形，然后利用勾股定理求解是解题关键．

5、（1）x1＝3，x2＝－1；（2）x1＝2， x2＝1

【分析】

（1）利用配方法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

【详解】

（1）解：x2－2x－3＝0

x2－2x＋1＝3＋1

(x－1)2＝4

x－1＝±2

∴x1＝3，x2＝－1；

（2）解：x (x－2)－(x－2)＝0

(x－2)(x－1)＝0

x-2=0或x-1=0

∴x1＝2， x2＝1．

【点睛】

本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的求解方法，并根据题意灵活选择适当的解题方法是解题关键．