高考数学(文数)二轮专题培优练习12《数列求和》 (教师版)

培优点十二  数列求和

1．错位相减法

例1：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，

．

（1）求数列与的通项公式；

（2）记，，求证：．

【答案】（1），；（2）见解析．

【解析】（1）设的公差为，的公比为，

则，，

即，解得：，

，．

（2），①

，②

得

，

∴所证恒等式左边，右边，

即左边右边，所以不等式得证．

2．裂项相消法

例2：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，， ．

（1）求数列，的通项公式.

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）时，，

当时，符合上式，，

∵为等比数列，，

设的公比为，则，而，

，解得或，

∵单调递增，，．

（2），

    ．

一、单选题

1．已知等差数列中，，，则项数为（    ）

A．10 B．14 C．15 D．17

【答案】C

【解析】∵，∴，

∴，，故选C．

2．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【解析】设等差数列首项为，公差为，

由题意可知，，，

二次函数的对称轴为，开口向下，

又∵，∴当时，取最大值．故选C．

3．对于函数，部分与的对应关系如下表：

数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（    ）

A．7554 B．7549 C．7546 D．7539

【答案】A

【解析】由题意可知：，，，，，

点都在函数的图象上，则，，，，，

则数列是周期为4的周期数列，由于，且，

故．故选A．

4．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【解析】为等差数列的前项和，设公差为，，，

则，解得，则．

由于，则，

解得．故答案为10．故选C．

5．在等差数列中，其前项和是，若，，则在，，，中最大的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由于，，
∴可得，，
这样，，，，，，，而，，
∴在，，，中最大的是．故选C．

6．设数列的前项和为，则对任意正整数，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵数列是首项与公比均为的等比数列．

∴其前项和为．故选D．

7．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】D

【解析】由题意知，，由，

得，

∴，

∴恒成立，，故最小值为，故选D．

8．数列的前项和为，若，则（    ）

A．2018 B．1009 C．2019 D．1010

【答案】B

【解析】由题意，数列满足，

∴

，故选B．

9．已知数列中，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，

由，解得，

令，故．故选A．

10．已知函数，且，则（    ）

A．20100 B．20500 C．40100 D．10050

【答案】A

【解析】，当为偶数时，，

当为奇数时，，

故

．故选A．

11．已知数列满足：，，，

则的整数部分为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

，

∴原式，

当时，，

∴整数部分为1，故选B．

12．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，．已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（    ）

A．305 B．306 C．315 D．316

【答案】D

【解析】由题意，，当时，可得，（1项）

当时，可得，（2项）

当时，可得，（4项）

当时，可得，（8项）

当时，可得，（16项）

当时，可得，（项）

则前项和为，

，

两式相减得，

∴，此时，

当时，对应的项为，即，故选D．

二、填空题

13．已知数列满足，记为的前项和，

则__________．

【答案】440

【解析】由可得：

当时，有，                 ①

当时，有，        ②

当时，有，        ③

有，有，

则

．

故答案为440．

14．表示不超过的最大整数．若，

，

，

，则__________．

【答案】，

【解析】第一个等式，起始数为1，项数为，，

第二个等式，起始数为2，项数为，，

第三个等式，起始数为3，项数为，，

第个等式，起始数为，项数为，，，

故答案为，．

15．已知函数，

则________；

【答案】2018

【解析】∵

，

设，       ①

则，       ②

得，

∴．故答案为2018．

16．定义为个正整数，，，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则_________；

【答案】

【解析】∵数列的前项的“均倒数”为，

∴，解得，∴，

当时，，

当时，上式成立，则，

∴，，

则．

故答案为．

三、解答题

17．正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，

又，解得或（舍去），，

∴，

又，，∴，∴；

（2）∵，

，

两式相减得，

则．

18．已知为数列的前项和，且，，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若对，，求数列的前项的和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），，

当时，，

化为，

∵，∴，

当时，，且，解得．

∴数列是等差数列，首项为1，公差为3．∴；

（2）．

∴，

∴的前项的和．