高考数学(文数)二轮专题培优练习11《数列求通项公式》 (教师版)

培优点十一  数列求通项公式

1.累加、累乘法

例1：数列满足：，且，求．

【答案】．

【解析】，，，，

累加可得：，

．

2．与的关系的应用

例2：在数列中，，，则的通项公式为_________．

【答案】．

【解析】∵当时，，

，

整理可得：，，

为公差为2的等差数列，，

，．

3．构造法

例3：数列中，，，求数列的通项公式．

【答案】．

【解析】设即，对比，可得，

，是公比为3的等比数列，

，．

一、单选题

1．由，给出的数列的第34项是（    ）

A． B．100 C． D．

【答案】A

【解析】由，，

则，，，

，，，

由此可知各项分子为1，分母构成等差数列，首项，公差为，

∴，∴，故选A．

2．数列满足，，则等于（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【解析】时，，，，，

∴数列的周期是3，∴．故选B．

3．在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】递推关系中，令可得：，

即恒成立，

据此可知，该数列是一个首项，公差的等差数列，

其前项和为：．故选C．

4．数列的前项和为，若，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．2017 D．3033

【答案】A

【解析】，故选A．

5．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵是递增数列，∴，

∵恒成立，即，

∴对于恒成立，而在时取得最大值，

∴，故选D．

6．在数列中，已知，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将等式两边取倒数得到，，

是公差为的等差数列，，

根据等差数列的通项公式的求法得到，故．故选B．

7．已知数列的前项和，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，可得，．两式相减可得：，．

即，．数列是从第二项起的等比数列，公比为4，

又，．∴，．∴．故选B．

8．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题已知是上的奇函数，
故，代入得：，，
∴函数关于点对称，

令，则，得到，
∵，，
倒序相加可得，即，故选B．

9．在数列中，若，，则的值（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，数列中，若，，

则，

∴，

∴，故选A．

10．已知数列的首项，且满足，如果存在正整数，

使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意时，

，

由，即，

∴且，，，

其中最小项为，，

其中最大项为，因此．故选C．

11．已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ）

A．  B．

C．数列是等差数列 D．数列是等比数列

【答案】B

【解析】数列数列满足，，

当时，两式作商可得：，

∴数列的奇数项，，，，成等比，偶数项，，，，成等比，

对于A来说，，错误；

对于B来说，

，正确；

对于C来说，数列是等比数列，错误；

对于D来说，数列不是等比数列，错误，故选B．

12．已知数列满足：，．设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵数满足：，．

，化为，

∴数列是等比数列，首项为，公比为2，
∴，，
∵，且数列是单调递增数列，
∴，∴，解得，

由，可得，对于任意的恒成立，

，故答案为．故选B．

二、填空题

13．已知数列的前项和为，且，则___________．

【答案】

【解析】数列的前项和为，且，

，两式想减得到．

此时，检验当时，符合题意，故．故答案为．

14．数列中，若，，则______．

【答案】

【解析】∵，，则，∴．故答案为．

15．设数列满足，，___________．

【答案】

【解析】∵，，

∴，，累加可得，

∵，，∴．故答案为．

16．已知数列满足，，

则_______．

【答案】

【解析】令，则，

由题意可得，

即，整理可得，

令，则，由题意可得，

且，，故，

即，，，，

据此可知．

三、解答题

17．已知各项均为正数的数列的前项和为，且．

（1）求；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意得，两式作差得，

又数列各项均为正数，∴，即，

当时，有，得，则，

故数列为首项为2公差为2的等差数列，∴．

（2），

∴．

18．在数列中，，．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）的两边同时除以，得，

∴数列是首项为4，公差为2的等差数列

（2）由（1），得，

∴，故，

∴

．