2021学年16.3 可化为一元一次方程的分式方程练习题

可化为一元一次方程的分式方程

本节应掌握和应用的知识点

1.方程中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程． 

2.解分式方程的基本思想是将分式方程化为整式方程,具体做法是:(1)化分式方程为整式方程;(2)解这个整式方程;(3)检验． 

3.增根产生的原因,在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去了分母,这时就有可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根,应舍去．

基础知识和能力拓展训练

一、选择题 [来~源#:%zzs@te^p.com]

1．下列方程是分式方程的是（　　）

A. B. C. D. 2x+1=3x

2．若x=3是分式方程-=0的根,则a的值是(　　)

A. 5    B. -5    C. 3    D. -3

3．若分式方程有增根，则a的值是（    ）[www.@z&zstep.#^c%om]

A. 1    B. 0    C. ﹣2    D. ﹣1

4．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（　　）

A. 且 B. C. 且    D. 且

5．若关于x的方程无解，则m的值是(    )

A. 3    B. 2    C. 1    D. -1[来源^:*&中教%网~]

6.从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（　　）                                         

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．

二、填空题

7．已若代数式的值为零，则x=　  　．

8.关于x的分式方程 =l的解是x≠l的非负数，则m的取值范围是．

9．当a为__________时，关于x的方程有增根.

 10．若关于的方程的根为，则应取值_________．

11．关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是________．

三、解答题[www.z~*zst%^ep@.com]

12．解方程：（1）   （2）

13．若关于x的方程的解是正数，求k值．

14．当k为何值时，分式方程 有增根？

15．已知x＝3是方程的一个根，求k的值和方程其余的根.

16.小明解方程的过程如图.请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程.

[来源:#%zzst*~ep.com&]

17．阅读下列材料:

关于x的分式方程x＋=c＋的解是x1=c，x2=

x－= c－，即x＋=c+的解是x1=c，x2=；

x＋=c＋的解是x1=c，x2=；

x＋=c＋的解是x1=c，x2=.

请观察上述方程与解的特征,比较关于x的方程x＋=c＋(m≠0)与它的关系,猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证.

由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论;

如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边形式与左边的完全相同,只是把其中未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解.

请利用这个结论解关于x的方程:

参考答案[来源^:*&@中~教网]

1．B

【解析】A选项是一元一次方程；[来#^@源:~中*教网]

B选项的方程的分母中含有未知数，所以为分式方程；

C选项是一元二次方程；

D选项是一元一次方程.[来~源:%中教*&@网]

故选：B.

2．A

【解析】把x=3代入原分式方程得， ，解得，a=5，经检验a=5适合原方程.

故选A.

3．C

【解析】试题解析：分式方程去分母得：1+3(x−2)=−a，

由分式方程有增根，得到x−2=0，即x=2，

代入整式方程得：−a=1，

解得：a=−1.

故选C.

点睛：分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到x−2=0，求出的值代入整式方程即可求出的值．[中国教育%出版网@~#*]

4．A

【解析】方程两边同乘以得， ，

解得： ，

∵是正数，

∴，解得： ，[来#~@源:&zzste*p.com]

∵，[来&源@:~中教^#网]

∴，即，

∴的取值范围是且，

故选．

【点睛】本题考查了分式方程的解：使分式两边成立的未知数的值叫分式方程的解．解决此类问题先根据方程的解列出关于m的不等式，切记不要漏掉x-1≠0这个隐含的条件．

5．B

【解析】去分母得：m-1-x=0，

由分式方程无解，得到x−1=0，即x=1，

把x=1代入整式方程得： m−2=0，

解得：m=2，[中^%&国#教育@出版网]

故选：B.[ww~w@.^zzstep.#c*om]

6. 【分析】根据不等式组无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到结论．                                         

【解答】解：解得，   

∵不等式组无解，   

∴a≤1，   

解方程﹣=﹣1得x=，   

∵x=为整数，a≤1，   [www^.%zzst&ep.~c#om]

∴a=﹣3或1，   [来源*:#%中&教^网]

∴所有满足条件的a的值之和是﹣2，   

故选B． 

二、填空题

7．解：由题意得，=0，[来~源&:中*国教育%^出版网]

解得：x=3，经检验的x=3是原方程的根．

故答案为：3．

[来%源:@z~&z#step.com]

8.m≥2且m≠3

【解析】解：去分母得：m﹣3=x﹣1，解得x=m﹣2，由题意得：m﹣2≥0，解得，m≥2，因为x≠1，所以m≠3，所以m的取值范围是m≥2且m≠3．故答案为：m≥2且m≠3．

点睛：本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．

9．1[中国教育*出&@^#版网]

【解析】－=1，

x（x－a）－3（x－1）=x（x－1），

x2－ax－3x+3=x2－x，

（a+2）x=3，

因为分式方程有增根，所以a+2≠0，且x==1或0，解得a=1.

故答案为1.

点睛：分式方程有增根的前提是，分式方程能解出x，故将分式方程化为整式方程后，x的前面的系数一定不能为0.[来源:#中^&国教育*出版~网]

10．a=-2

【解析】解：把x=2代入方程得： ，在方程两边同乘4（a﹣2）得：4（4a+3）=5（a﹣2），解得：a=﹣2，检验：当a=﹣2时，a﹣x≠0，故答案为：a=－2．

点睛：本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是分式方程．

11．a>-1[中国教~#育出*版网%@]

【解析】,

2x+a=x-1,

2x-x=a-1,[来@源:%*中教^网~]

x=-a-1,

-a-1>0,

解得a<-1.[www.z&zstep%.#co@m~]

三、解答题

12．（1）x=0;(2)原方程无解

【解析】试题分析：(1)（2）先去分母，把分式方程化为一元一次方程，再合并同类项，解方程，最后要检验.

试题解析：[来%^源#:&中教网@]

(1)解:

两边同乘  ，             

，             [来源&@:中国教育~出版*^网]

x=0 ，                

检验:当x=0 ，时, ,           [中&%国教*^育出版~网]

x=0 ，是原方程的解 .       

 (2) ，

方程两边同时乘以（x-1）(x+1),

(x+1)2-4=x2-1,

(x2+2x+1)-4=x2-1,

解得x=1,

检验：代入（x-1）(x+1)=0，

原方程无解.

点睛：辨析分式与分式方程

分式，整式A除以整式B,可以表示成的的形式.如果B中含有字母,那么称 为分式.分式特点是没有等号，分式加减一般需要通分.[来@^源%:中~教#网]

（2）分式方程，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.特点是有等号，要先确定最简公分母，去分母的时候要每一项乘以最简公分母，所以一般不需要通分，而且要检验.

13．k＞1且k≠3

【解析】试题分析：先求出方程的解，再根据解是正数，从而得出k的值，再分析当x≠1时，k的值.

试题解析：

[来源%:@中*^~教网]

去分母得：

x2+x-k+1=x2-x，

2x=k-1，

x=[来源:zzs@tep.c^&%o#m]

∵方程的解是正数，[中%*&@国教育出~版网]

∴>0,

∴k>1，

当x≠1时，即，k≠3,

所以综合可得：k＞1且k≠3.

14．当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．

【解析】试题分析：分式方程两边乘以x（x﹣1）去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x（x﹣1）=0，求出x=0或1，将x=0或1代入整式方程即可求出k的值．

试题解析：方程两边同乘以x（x﹣1）得：6x=x+2k﹣5（x﹣1），

又∵分式方程有增根，

∴x（x﹣1）=0，[来源:中国%教育出版@#~*网]

解得：x=0或1，

当x=1时，代入整式方程得：6×1=1+2k﹣5（1﹣1），

解得：k=2.5，

当x=0时，代入整式方程得：6×0=0+2k﹣5（0﹣1），

解得：k=﹣2.5，

则当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．

15．k＝－3，x1＝2，x2＝3

【解析】试题分析：将x＝3代入方程即可求出k值，再代入解分式方程，并验根即可求出方程其余的根.[中%国教育^@*出版网#]

解：由题意得2＋＝1,∴k＝－3[来%@#源:&~中教网]

方程两边都乘以x·（x＋2），约去分母得

10x－3（x＋2）＝x（x＋2）

整理得x2－5x＋6＝0

x1＝2,x2＝3

检验：x＝2时，x（x＋2）＝8≠0

∴2是原方程的根[中国教&^*%育@出版网]

x＝3时，x（x＋2）＝15≠0

∴3是原方程的根   

∴原方程的根为：x1＝2，x2＝3

16. 解：小明的解法有三处错误：[来源#:&zzstep^%@.com]

步骤①去分母错误；步骤②去括号错误；步骤⑥之前缺少“检验”步骤.

正确的解答过程如下：

去分母，得，

去括号，得，

移项，得，

合并同类项，得，

两边同除以，得.

经检验，是原方程的解，

∴原方程的解是.

17．（1）；验证：（略）

（2）

【解析】试题分析：此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：的解为据规律解题即可．

试题解析：

猜想：的解为

验证：当x=c时，=右边，所以x1=c是原方程的解.

同理可得也是原方程的解.

所以的根为

点睛：此类题目的做法是：根据题目已知的信息总结出规律，再根据定理、定义等验证总结出来的规律是否正确.对于和规律相似但是有差别的待求式，可以给它添项或减项，把它化成与已知相同的形式，再用规律解答.

[来源:zzst^ep%.~com@&]

[来源~:中国&*教@育出版网#]