沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试练习
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这是一份沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试练习,共34页。试卷主要包含了如图,一个宽为2厘米的刻度尺,下列叙述正确的有个.等内容,欢迎下载使用。
沪科版九年级数学下册第24章圆综合训练
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,为的直径,为外一点,过作的切线,切点为,连接交于,,点在右侧的半圆周上运动(不与,重合),则的大小是( )
A.19° B.38° C.52° D.76°
2、已知⊙O的直径为10cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
3、如图,是的直径,、是上的两点,若,则( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
4、如图,AB是的直径,弦CD交AB于点P,,,,则CD的长为( )
A. B. C. D.8
5、如图,一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位:厘米).放在圆形玻璃杯的杯口上,刻度尺的一边与杯口外沿相切,另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8,那么玻璃杯的杯口外沿半径为( )
A.5厘米 B.4厘米 C.厘米 D.厘米
6、下列叙述正确的有( )个.
(1)随着的增大而增大;
(2)如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍,那么这个三角形两个锐角的度数分别是和;
(3)斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心,长为直径的圆;
(4)三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等;
(5)以为三边长度的三角形,不是直角三角形.
A.0 B.1 C.2 D.3
7、已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为3cm,则其侧面积为( )cm.
A.3π B.6π C.12π D.18π
8、下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
9、如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠ADC=130°,则∠AOC的度数为( )
A.25° B.80° C.130° D.100°
10、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A,B,在小路l上有一座亭子P. A,P分别位于B的西北方向和东北方向,如图所示.该村启动“建设幸福新农村”项目,计划挖一个圆形人工湖,综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素,需将碑刻A,B原址保留在湖岸(近似看成圆周)上,且人工湖的面积尽可能小.人工湖建成后,亭子P到湖岸的最短距离是( )
A.20 m B.20m
C.(20 - 20)m D.(40 - 20)m
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,把分成相等的六段弧,依次连接各分点得到正六边形ABCDEF,如果的周长为,那么该正六边形的边长是______.
2、 “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一,即:求作一个正方形,使其面积等于给定圆的面积.这个问题困扰了人类上千年,直到19世纪,该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的.如果借用一个圆形纸片,我们就可以化圆为方,方法如下:
已知:⊙O(纸片),其半径为.
求作:一个正方形,使其面积等于⊙O的面积.
作法:①如图1,取⊙O的直径,作射线,过点作的垂线;
②如图2,以点为圆心,为半径画弧交直线于点;
③将纸片⊙O沿着直线向右无滑动地滚动半周,使点,分别落在对应的,处;
④取的中点,以点为圆心,为半径画半圆,交射线于点;
⑤以为边作正方形.
正方形即为所求.
根据上述作图步骤,完成下列填空:
(1)由①可知,直线为⊙O的切线,其依据是________________________________.
(2)由②③可知,,,则_____________,____________(用含的代数式表示).
(3)连接,在Rt中,根据,可计算得_________(用含的代数式表示).由此可得.
3、如图,在⊙O中,弦AB⊥OC于E点,C在圆上,AB=8,CE=2,则⊙O的半径AO=___________.
4、已知如图,AB=8,AC=4,∠BAC=60°,BC所在圆的圆心是点O,∠BOC=60°,分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F,则PE+EF+FP的最小值为____________.
5、在△ABC中,AB = AC,以AB为直径的圆O交BC边于点D.要使得圆O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上(不与端点重合),需满足的条件可以是 _________ .(写出所有正确答案的序号)①∠BAC > 60°;②45° < ∠ABC < 60°;③BD > AB;④AB < DE < AB.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图,AB为⊙O的切线,B为切点,过点B作BC⊥OA,垂足为点E,交⊙O于点C,连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D,连接AC.
(1)求证:AC为⊙O的切线;
(2)若⊙O半径为2,OD=4.求线段AD的长.
2、如图,在直角坐标系中,将△ABC绕点A顺时针旋转90°.
(1)画出旋转后的△AB1C1,并写出B1、C1的坐标;
(2)求线段AB在旋转过程中扫过的面积.
3、如图,在等边中,D为BC边上一点,连接AD,将沿AD翻折得到,连接BE并延长交AD的延长线于点F,连接CF.
(1)若,求的度数;
(2)若,求的大小;
(3)猜想CF,BF,AF之间的数量关系,并证明.
4、已知:如图,正方形的边长为1,在射线AB上取一点E,联结DE,将ADE绕点D针旋转90°,E点落在点F处,联结EF,与对角线BD所在的直线交于点M,与射线DC交于点N.求证:
(1)当时,求的值;
(2)当点E在线段AB上,如果,,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)联结AM,直线AM与直线BC交于点G,当时,求AE的值.
5、问题:如图,是的直径,点在内,请仅用无刻度的直尺,作出中边上的高.
小芸解决这个问题时,结合圆以及三角形高线的相关知识,设计了如下作图过程.
作法:如图,
①延长交于点,延长交于点;
②分别连接,并延长相交于点;
③连接并延长交于点.
所以线段即为中边上的高.
(1)根据小芸的作法,补全图形;
(2)完成下面的证明.
证明:∵是的直径,点,在上,
∴________°.(______)(填推理的依据)
∴,.
∴,________是的两条高线.
∵,所在直线交于点,
∴直线也是的高所在直线.
∴是中边上的高.
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
连接 由为的直径,求解 结合为的切线,求解 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解:连接 为的直径,
为的切线,
故选B
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理,直径所对的圆周角是直角,圆周角定理,切线的性质定理,熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.
2、B
【分析】
圆的半径为 圆心O到直线l的距离为 当时,直线与圆相切,当时,直线与圆相离,当时,直线与圆相交,根据原理直接作答即可.
【详解】
解: ⊙O的直径为10cm,圆心O到直线l的距离为5cm,
⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离,
直线l与⊙O的位置关系为相切,
故选B
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系的判定,掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.
3、C
【分析】
根据圆周角定理得到∠BDC的度数,再根据直径所对圆周角是直角,即可得到结论.
【详解】
解:∵∠BOC=130°,
∴∠BDC=∠BOC=65°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADC=90°-65°=25°,
故选:C.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
4、A
【分析】
过点作于点,连接,根据已知条件即可求得,根据含30度角的直角三角形的性质即可求得,根据勾股定理即可求得,根据垂径定理即可求得的长.
【详解】
解:如图,过点作于点,连接,
AB是的直径,,,
,
在中,
故选A
【点睛】
本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,垂径定理,掌握以上定理是解题的关键.
5、D
【分析】
根据题意先求出弦AC的长,再过点O作OB⊥AC于点B,由垂径定理可得出AB的长,设杯口的半径为r,则OB=r-2,OA=r,在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可.
【详解】
解:∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8,
∴AC=8-2=6厘米,
过点O作OB⊥AC于点B,
则AB=AC=×6=3厘米,
设杯口的半径为r,则OB=r-2,OA=r,
在Rt△AOB中,
OA2=OB2+AB2,即r2=(r-2)2+32,
解得r=厘米.
故选:D.
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
6、D
【分析】
根据反比例函数的性质,得当或者时,随着的增大而增大;根据直径所对圆周角为直角的性质,得斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心,长为直径的圆;根据垂直平分线的性质,得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等;根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算,可判断直角三角形,即可完成求解.
【详解】
当或者时,随着的增大而增大,故(1)不正确;
如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍,那么这个三角形两个锐角的度数分别是和;,故(2)正确;
∵圆的直径所对的圆周角为直角
∴斜边为的直角三角形顶点A的轨迹是以中点为圆心,长为直径的圆,故(3)正确;
三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等,故(4)正确;
∵
∴
∴以为三边长度的三角形,是直角三角形,故(5)错误;
故选:D.
【点睛】
本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识;解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质,从而完成求解.
7、B
【分析】
利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算.
【详解】
解:它的侧面展开图的面积=×2×2×3=6(cm2).
故选:B.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
8、C
【详解】
解:选项A是轴对称图形,不是中心对称图形,故A不符合题意;
选项B不是轴对称图形,是中心对称图形,故B不符合题意;
选项C既是轴对称图形,也是中心对称图形,故C符合题意;
选项D是轴对称图形,不是中心对称图形,故D不符合题意;
故选C
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的识别,中心对称图形的识别,掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键,轴对称图形:把一个图形沿某条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合;中心对称图形:把一个图形绕某点旋转后能与自身重合.
9、D
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数,根据圆周角定理计算即可.
【详解】
解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠B+∠ADC=180°,
∵∠ADC=130°,
∴∠B=50°,
由圆周角定理得,∠AOC=2∠B=100°,
故选:D.
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
10、D
【分析】
根据人工湖面积尽量小,故圆以AB为直径构造,设圆心为O,当O,P共线时,距离最短,计算即可.
【详解】
∵人工湖面积尽量小,
∴圆以AB为直径构造,设圆心为O,
过点B作BC ⊥,垂足为C,
∵A,P分别位于B的西北方向和东北方向,
∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°,
∴OC=CB=CP=20,
∴OP=40,OB==,
∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20(m),
故选D.
【点睛】
本题考查了圆的基本性质,方位角的意义,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键.
二、填空题
1、6
【分析】
如图,连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形,再求出圆的半径即可.
【详解】
解:如图,连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.
∵正六边形ABCDEF,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°,
∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形,
∵的周长为,
∴的半径为,
正六边形的边长是6;
【点睛】
本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识,明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键.
2、(1)经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;(2),;(3)
【分析】
(1)根据切线的定义判断即可.
(2)由=AC+,计算即可;根据计算即可.
(3)根据勾股定理,得即为正方形的面积,比较与圆的面积的大小关机即可.
【详解】
解:(1)∵⊙O的直径,作射线,过点作的垂线,
∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
故答案为:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
(2)根据题意,得AC=r,==πr,
∴=AC+=r+πr,
∴=;
∵,
∴MA=-r=,
故答案为:,;
(3)如图,连接ME,
根据勾股定理,得
=
=;
故答案为:.
【点睛】
本题考查了圆的切线的定义,勾股定理,圆的周长,正方形的面积和性质,熟练掌握圆的切线的定义,勾股定理,正方形的性质是解题的关键.
3、5
【分析】
设⊙O的半径为r,则OA=r,OD=r-2,先由垂径定理得到AD=BD=AB=4,再由勾股定理得到42+(r-2)2=r2,然后解方程即可.
【详解】
解:设⊙O的半径为r,则OC=OA=r,OE=OC-CE=r-2,
∵OC⊥AB,AB=8,
∴AE=BE=AB=4,
在Rt△OAE中,由勾股定理得:42+(r-2)2=r2,
解得:r=5,
即⊙O的半径长为5,
故答案为:5.
【点睛】
本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.
4、12
【分析】
如图,连接BC,AO,作点P关于AB的对称点M,作点P关于AC的对称点N,连接MN交AB于E,交AC于F,此时△PEF的周长=PE+PF+EF=EM+EF+FM=MN,想办法求出MN的最小值即可解决问题.
【详解】
解:如图,连接BC,AO,作点P关于AB的对称点M,作点P关于AC的对称点N,连接MN交AB于E,交AC于F,此时△PEF的周长=PE+PF+EF=EM+EF+FM=MN,
∴当MN的值最小时,△PEF的值最小,
∵AP=AM=AN,∠BAM=∠BAP,∠CAP=∠CAN,∠BAC=60°,
∴∠MAN=120°,
∴MN=AM=PA,
∴当PA的值最小时,MN的值最小,
取AB的中点J,连接CJ.
∵AB=8,AC=4,
∴AJ=JB=AC=4,
∵∠JAC=60°,
∴△JAC是等边三角形,
∴JC=JA=JB,
∴∠ACB=90°,
∴BC=,
∵∠BOC=60°,OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=OC=BC=4,∠BCO=60°,
∴∠ACH=30°,
∵AH⊥OH,
AH=AC=2,CH=AH=2,
∴OH=6,
∴OA==4,
∵当点P在直线OA上时,PA的值最小,最小值为-,
∴MN的最小值为•(-)=-12.
故答案:-12.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,垂径定理,轴对称-最短问题等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题,属于中考填空题中的压轴题.
5、②④
【分析】
将所给四个条件逐一判断即可得出结论.
【详解】
解:在中,
①当∠BAC > 60°时,若时,点E与点A重合,不符合题意,故①不满足;
②当∠ABC时,点E与点A重合,不符合题意,当∠ABC时,点E与点O不关于AD对称,当时,点E关于直线AD的对称点在线段OA上,
所以,当45° < ∠ABC < 60°时,点E关于直线AD的对称点在线段OA上,故②满足条件;
③当时,点E关于直线AD的对称点在线段OA上,故③不满足条件;
④当AB < DE < AB时,点E关于直线AD的对称点在线段OA上,故④满足条件;
所以,要使得与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上(不与端点重合),需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或AB < DE < AB
故答案为②④
【点睛】
本题考查了圆周角定理,正确判断出每种情况是解答本题的关键.
三、解答题
1、(1)见解析;(2)4
【分析】
(1)连接OB,证明△AOB≌△AOC(SSS),可得∠ACO=∠ABO=90°,即可证明AC为⊙O的切线;
(2)在Rt△BOD中,勾股定理求得BD,根据sinD==,代入数值即可求得答案
【详解】
解:(1)连接OB,
∵AB是⊙O的切线,
∴OB⊥AB,
即∠ABO=90°,
∵BC是弦,OA⊥BC,
∴CE=BE,
∴AC=AB,
在△AOB和△AOC中,
,
∴△AOB≌△AOC(SSS),
∴∠ACO=∠ABO=90°,
即AC⊥OC,
∴AC是⊙O的切线;
(2)在Rt△BOD中,由勾股定理得,
BD==2,
∵sinD==,⊙O半径为2,OD=4.
∴=,
解得AC=2,
∴AD=BD+AB=4.
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定,正弦的定义,三角形全等的性质与判定,勾股定理,掌握切线的性质与判定是解题的关键.
2、(1)作图见解析,、;(2)
【分析】
(1)将绕点A顺时针旋转90°得,根据点A、B、C坐标,即可确定出点、的坐标;
(2)根据勾股定理求出AB的长,由扇形面积公式即可得出答案.
【详解】
(1)将绕点A顺时针旋转90°得如图所示:
∴、;
(2)由图可知:,
∴线段AB在旋转过程中扫过的面积为.
【点睛】
本题考查作旋转图形以及扇形的面积公式,掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键.
3、(1)20°;(2);(3)AF= CF+BF,理由见解析
【分析】
(1)由△ABC是等边三角形,得到AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,,∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
(2)同(1)求解即可;
(3)如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC,然后证明∠AFE=∠AFC=60°,得到∠BFC=120°,即可证明F、C、G三点共线,得到△AFG是等边三角形,则AF=GF=CF+CG=CF+BF.
【详解】
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,
∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,
∴,
∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
由折叠的性质可知,,AC=AE,
∴ ,AB=AE,
∴,
∴;
(3)AF= CF+BF,理由如下:
如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,
∴AF=AG,∠FAG=60°,∠ACG=∠ABF,BF=CG
在△AEF和△ACF中,
,
∴△AEF≌△ACF(SAS),
∴∠AFE=∠AFC,
∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°,∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°,
∴∠BFD=∠ACD=60°,
∴∠AFE=∠AFC=60°,
∴∠BFC=120°,
∴∠BAC+∠BFC=180°,
∴∠ABF+∠ACF=180°,
∴∠ACG+∠ACF=180°,
∴F、C、G三点共线,
∴△AFG是等边三角形,
∴AF=GF=CF+CG=CF+BF.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定,旋转的性质,折叠的性质,全等三角形的性质与判定,三角形内角和定理,熟知相关知识是解题的关键.
4、
(1);
(2),0≤x≤1;
(3)AE的值为或.
【分析】
(1)过点E作EH⊥BD与H,根据正方形的边长为1,,求出EB=1-,根据正方形性质可求∠ABD=45°,根据EH⊥BD,得出∠BEH=180°-∠EBH-∠EHB=180°-45°-90°=45°,求出EH=BH=BEsin45=,以及 DH=DB-BH=,利用三角函数定义求解即可;
(2)解:根据AE=x,求出BE=1-x,根据旋转将△ADE绕点D针旋转90°,得到△DCF,CF=AE=x,根据勾股定理ED=FD=,EF=,可证△DEF为等腰直角三角形,先证△BEM∽△FDM,得出,再证△EMD∽△BMF,得出,两式相乘得出,整理即可;
(3)当点G在BC上,,先证△BGM∽△DAM,得出,由(2)知△BEM∽△FDM,得出,得出,结合,消去y, 当点G在CB延长线上,,过M作ML⊥BC,交直线BC于L,证明△BGM∽△DAM,得出,根据∠LBM=∠CBD=45°,ML⊥BC,证出△MLB为等腰直角三角形,再证△MLB∽△DCB,,CD=1,ML=,ML∥BE,结合△LMF∽△BEF,得出即解方程即可.
(1)
解:过点E作EH⊥BD与H,
∵正方形的边长为1,,
∴EB=1-,
∵BD为正方形对角线,
∴BD平分∠ABC,
∴∠ABD=45°,
∵EH⊥BD,
∴∠BEH=180°-∠EBH-∠EHB=180°-45°-90°=45°,
∴EH=BH,
∴EH=BH=BEsin45=,AB=BDcos45°,
∴,
∴DH=DB-BH=,
;
(2)
解:如上图,∵AE=x,
∴BE=1-x,
∵将△ADE绕点D针旋转90°,得到△DCF,
∴CF=AE=x,ED=FD=,
∴BF=BC+CF=1+x,
在Rt△EBF中EF=,
∵∠EDF=90°,ED=FD,
∴△DEF为等腰直角三角形,
∴∠DFE=∠DEF=45°,
∴∠EBM=∠MFD=45°,
∵∠EMB=∠DMF,
∴△BEM∽△FDM,
∴,即,
∵∠DEM=∠FBM=45°,∠EMD=∠BMF,
∴△EMD∽△BMF,
∴,即,
∴,
∴,
∴即,
∴,0≤x≤1;
(3)
解:当点G在BC上,,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD∥BG,
∴∠DAM=∠BGM,∠ADM=∠GBM,
∴△BGM∽△DAM,
∴,
∵由(2)知△BEM∽△FDM,
∴,
∵DB=,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴即,
解,舍去;
当点G在CB延长线上,,过M作ML⊥BC,交直线BC于L,
∵GB∥AD,
∴∴∠DAM=∠BGM,∠ADM=∠GBM,
∴△BGM∽△DAM,
∴,
∴,
∴,
∵∠LBM=∠CBD=45°,ML⊥BC,
∴△MLB为等腰直角三角形,
∵ML∥CD,
∴∠LMB=∠CDB,∠L=∠DCB,
∴△MLB∽△DCB,
∴,CD=1,
∴ML=
∵ML∥BE,
∴∠L=∠FBE,∠LMF=∠BEF,
∴△LMF∽△BEF,
∴,
∵BE=AE-AB=x-1,LF=LB+BC+CF=,BF=BC+CF=1+x,
∴,
整理得:,
解得,舍去,
∴AE的值为或.
【点睛】
本题考查正方形性质,图形旋转先证,等腰直角三角形判定与性质,锐角三角函数定义,三角形相似判定与性质,勾股定理,解一元二次方程,函数关系式,本题难度大,利用辅助线狗仔三角形相似是解题关键.
5、(1)见详解;(2)90,直径所对的圆周角是直角,BD.
【分析】
(1)根据作图步骤作出图形即可;
(2)根据题意填空,即可求解.
【详解】
解:(1)如图,CH为△ABC中AB边上的高;
(2)证明:∵是的直径,点,在上,
∴___90_°.(__直径所对的圆周角是直角_)(填推理的依据)
∴,.
∴,_BD__是的两条高线.
∵,所在直线交于点,
∴直线也是的高所在直线.
∴是中边上的高.
故答案为:90,直径所对的圆周角是直角,BD.
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推理,三角形的三条高线相交于一点等知识,熟知两个定理,并根据题意灵活应用是解题关键.
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