还剩18页未读，
继续阅读
2021-2022学年河南省信阳市商城县八年级（上）期末数学试卷 解析版
展开
这是一份2021-2022学年河南省信阳市商城县八年级（上）期末数学试卷 解析版，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省信阳市商城县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a5•a3＝a15 B．（a2）3＝a8
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．3a3b2÷a2b2＝3a
3．（3分）以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、3cm、5cm B．2cm、3cm、4cm
C．3cm、5cm、9cm D．8cm、4cm、4cm
4．（3分）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000 021用科学记数法表示为（ ）
A．21×10﹣4 B．2.1×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．2.1×10﹣4
5．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．（3分）若把分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的3倍 D．扩大到原来的9倍
7．（3分）如图，∠B＝∠E，∠1＝∠2，若根据“ASA“判定△ABC≌△DEF，那么要补充的条件是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．BF＝CF D．BF＝CE
8．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝x（x+2）+3
B．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2
C．3x2﹣12y2＝3（x+2y）（x﹣2y）
D．2（x+y）＝2x+2y
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠EPF＝90°，P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），现给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形PEAF＝S△ABC；④EF＝AP，其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若a﹣b＝3，ab＝2，则a2b﹣ab2＝ ．
12．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
13．（3分）若实数a，b满足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE的垂直平分线AB分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若BE＝6cm，则AC等于 cm．
15．（3分）如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，OA＝12cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间是 ．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）（）﹣1﹣（π﹣2020）0+（﹣1）2021；
（2）（m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）．
17．（8分）先化简，再从﹣2，﹣1，0，1，2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
18．（9分）在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，线段CD和CE分别为△ABC的角平分线和高线，求∠ADC和∠DCE的度数．
19．（9分）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，5），B（1，﹣2），C（4，0）．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并求出A'点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上画出点P，使PA+PC的值最小，保留作图痕迹．
20．（9分）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝ ，S2＝ （直接用含a，b的代数式表示）
（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
21．（9分）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
22．（10分）如图，以△ABC的两边AB，AC为边向外作等边△ABD和△ACE，DC，BE相交于点O．
（1）求证：DC＝BE；
（2）求∠BOC的度数；
（3）∠BAC的度数发生变化时，∠BOC的度数是否变化？若不变化，请求出∠BOC的度数；若发生变化，请说明理由．
23．（11分）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．
2021-2022学年河南省信阳市商城县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：A．
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a5•a3＝a15 B．（a2）3＝a8
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．3a3b2÷a2b2＝3a
【分析】根据整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．
【解答】解：A．a5•a3＝a8，故A不符合题意；
B．（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C．（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故C不符合题意；
D.3a3b2÷a2b2＝3a，故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、3cm、5cm B．2cm、3cm、4cm
C．3cm、5cm、9cm D．8cm、4cm、4cm
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
【解答】解：A、2+3＝5，故不能组成三角形，不符合题意；
B、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；
C、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意；
D、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000 021用科学记数法表示为（ ）
A．21×10﹣4 B．2.1×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．2.1×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000021＝2.1×10﹣5；
故选：C．
5．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°，
故选：A．
6．（3分）若把分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的3倍 D．扩大到原来的9倍
【分析】由题意可知x、y都扩大到原来的3倍分别为3x，3y，然后再进行计算即可判断．
【解答】解：由题意得：
x、y都扩大到原来的3倍后分别为：3x，3y，
∴＝，
∴分式的值不变，
故选：A．
7．（3分）如图，∠B＝∠E，∠1＝∠2，若根据“ASA“判定△ABC≌△DEF，那么要补充的条件是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．BF＝CF D．BF＝CE
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠B＝∠E，∠1＝∠2，AC＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．∠B＝∠E，∠1＝∠2，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∠B＝∠E，∠1＝∠2，BF＝CF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），故本选项符合题意；
故选：D．
8．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝x（x+2）+3
B．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2
C．3x2﹣12y2＝3（x+2y）（x﹣2y）
D．2（x+y）＝2x+2y
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】作DH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到AD平分∠BAC，则根据角平分线的性质DH＝DC＝1，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，
由作法得AD平分∠BAC，
∴DH＝DC＝1，
∴△ABD的面积＝×1×4＝2．
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠EPF＝90°，P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），现给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形PEAF＝S△ABC；④EF＝AP，其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠B＝∠C＝∠BAP＝∠CAP＝45°，AP＝PC＝PB，∠APC＝∠EPF＝90°，求出∠APE＝∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE＝CF，EP＝PF，推出SAPE＝S△CPF，求出S四边形AEPF＝S△APC＝S△ABC，求出BE+CF＝AE+AF＞EF，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点，
∴∠B＝∠C＝∠BAP＝∠CAP＝45°，AP＝PC＝PB，∠APC＝∠EPF＝90°，
∴∠EPF﹣∠APF＝∠APC﹣∠APF，
∴∠APE＝∠CPF，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE＝CF，EP＝PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴①正确；②正确；
∵△APE≌△CPF，
∴SAPE＝S△CPF，
∴S四边形AEPF＝S△AEP+S△APF＝S△CPF+S△APF＝S△APC＝S△ABC，
∴③正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP＝BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，
故④错误；
即正确的有①②③，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若a﹣b＝3，ab＝2，则a2b﹣ab2＝ 6 ．
【分析】直接将原式提取公因式分解因式，进而代入求出即可．
【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝2，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×3＝6．
故答案为：6．
12．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
13．（3分）若实数a，b满足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是 15 ．
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b，再分情况讨论求解即可．
【解答】解：根据题意得，a﹣3＝0，b﹣6＝0，
解得a＝3，b＝6．
①若a＝3是腰长，则底边为6，三角形的三边分别为3、3、6，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
②若a＝6是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为6、6、3，
能组成三角形，
周长＝6+6+3＝15．
故答案为：15．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE的垂直平分线AB分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若BE＝6cm，则AC等于 3 cm．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出BE＝AE＝6cm，求出∠EAB＝∠B＝15°，求出∠EAC，根据含30°角的直角三角形性质求出即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝×6＝3cm．
故答案为：3．
15．（3分）如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，OA＝12cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间是 4s或12s ．
【分析】根据△OPQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上．
【解答】解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图1所示：
∵PO＝AO﹣AP＝12﹣2t，OQ＝1t
∴当PO＝QO时，
12﹣2t＝t
解得t＝4；
当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图2所示：
∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣12，OQ＝t；
∴当PO＝QO时，2t﹣12＝t；
解得t＝12；
故答案为：4s或12s．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）（）﹣1﹣（π﹣2020）0+（﹣1）2021；
（2）（m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）．
【分析】（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂和乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）根据完全平方公式、平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）（）﹣1﹣（π﹣2020）0+（﹣1）2021
＝3﹣1+（﹣1）
＝1．
（2）（m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）
＝m2﹣2mn+n2﹣（m2﹣4n2）
＝m2﹣2mn+n2﹣m2+4n2
＝﹣2mn+5n2．
17．（8分）先化简，再从﹣2，﹣1，0，1，2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】先根据分式的加法运算进行化简，然后根据分式有意义的条件求出x的值，最后代入化简后的式子即可求出答案．
【解答】原式＝÷+
＝•+
＝+
＝
由分式有意义的条件可知：x≠﹣1，1，2，
∴x＝0或﹣2，
当x＝0时，
原式＝＝﹣1．
18．（9分）在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，线段CD和CE分别为△ABC的角平分线和高线，求∠ADC和∠DCE的度数．
【分析】根据题干中给出的条件可以求得∠B和∠ACB的大小，根据线段CD和CE分别为△ABC的角平分线和高线，即可求得∠ADC、∠DCE的大小．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣36°）＝72°，
∵线段CD为△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝36°，
在△ACD中，∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∵线段CE为△ABC的高线，
∴∠BEC＝90°，
在△BEC中，∠ECB＝180°﹣∠B﹣∠BEC＝180°﹣72°﹣90°＝18°，
所以∠DCE＝∠DCB﹣∠BCE＝36°﹣18°＝18°．
∴∠ADC＝108°，∠DCE＝18°．
19．（9分）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，5），B（1，﹣2），C（4，0）．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并求出A'点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上画出点P，使PA+PC的值最小，保留作图痕迹．
【分析】（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并求出A'点的坐标即可；
（2）根据网格即可求△ABC的面积；
（3）连接A′C即可在y轴上画出点P，使PA+PC的值最小．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
A′（﹣1.5）
（2）S△ABC＝×7×3＝10.5；
（3）如图，点P为所作．
20．（9分）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝ a2﹣b2 ，S2＝ （a+b）（a﹣b） （直接用含a，b的代数式表示）
（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
【分析】（1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积即可；
（2）由（1）题结果可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）将原式变形为（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，再运用（2）题结论进行计算即可．
【解答】解：（1）由图1可表示阴影部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可表示阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）利用（2）题结论可得，
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝
（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝216﹣1+1
＝216．
21．（9分）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，根据“用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，根据“增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元”列出不等式．
【解答】解：（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，
根据题意，得：＝．
解方程，得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的根，且符合题意．
所以x﹣1.5＝2.5．
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得：2.5×2m+4m≤3800．
解不等式，得：m≤422．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为422．
答：增加购买A型口罩的数量最多是422个．
22．（10分）如图，以△ABC的两边AB，AC为边向外作等边△ABD和△ACE，DC，BE相交于点O．
（1）求证：DC＝BE；
（2）求∠BOC的度数；
（3）∠BAC的度数发生变化时，∠BOC的度数是否变化？若不变化，请求出∠BOC的度数；若发生变化，请说明理由．
【分析】（1）易证∠DAB＝∠EAC＝60°，AD＝AB，AE＝AC，即可求得∠DAC＝∠BAE，即可证明△DAC≌△BAE；
（2）根据（1）中结论可得∠ADC＝∠ABE，即可求得∠ODB+∠OBD＝∠ADB+∠ABD，根据三角形外角性质即可解题；
（3）由（2）可得∠ODB+∠OBD＝∠ADB+∠ABD，因此可以判定∠BOC和∠BAC大小无关．
【解答】解：（1）∵△ADB和△AEC都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，AD＝AB，AE＝AC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，AC＝AE，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
∴DC＝BE；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠ODB+∠OBD＝∠ADB﹣∠ADC+∠ABD+∠ABE＝∠ADB+∠ABD＝120°，
∴∠BOC＝∠ODB+∠OBD＝120°；
（3）不变化，为120°，
理由：∵由（2）可得∠BOC＝∠ODB+∠OBD＝120°；
∴∠BOC和∠BAC大小无关．
23．（11分）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论；
（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，就有△DEF为等边三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
2021-2022学年河南省信阳市商城县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a5•a3＝a15 B．（a2）3＝a8
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．3a3b2÷a2b2＝3a
3．（3分）以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、3cm、5cm B．2cm、3cm、4cm
C．3cm、5cm、9cm D．8cm、4cm、4cm
4．（3分）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000 021用科学记数法表示为（ ）
A．21×10﹣4 B．2.1×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．2.1×10﹣4
5．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．（3分）若把分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的3倍 D．扩大到原来的9倍
7．（3分）如图，∠B＝∠E，∠1＝∠2，若根据“ASA“判定△ABC≌△DEF，那么要补充的条件是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．BF＝CF D．BF＝CE
8．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝x（x+2）+3
B．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2
C．3x2﹣12y2＝3（x+2y）（x﹣2y）
D．2（x+y）＝2x+2y
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠EPF＝90°，P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），现给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形PEAF＝S△ABC；④EF＝AP，其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若a﹣b＝3，ab＝2，则a2b﹣ab2＝ ．
12．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
13．（3分）若实数a，b满足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE的垂直平分线AB分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若BE＝6cm，则AC等于 cm．
15．（3分）如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，OA＝12cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间是 ．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）（）﹣1﹣（π﹣2020）0+（﹣1）2021；
（2）（m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）．
17．（8分）先化简，再从﹣2，﹣1，0，1，2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
18．（9分）在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，线段CD和CE分别为△ABC的角平分线和高线，求∠ADC和∠DCE的度数．
19．（9分）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，5），B（1，﹣2），C（4，0）．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并求出A'点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上画出点P，使PA+PC的值最小，保留作图痕迹．
20．（9分）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝ ，S2＝ （直接用含a，b的代数式表示）
（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
21．（9分）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
22．（10分）如图，以△ABC的两边AB，AC为边向外作等边△ABD和△ACE，DC，BE相交于点O．
（1）求证：DC＝BE；
（2）求∠BOC的度数；
（3）∠BAC的度数发生变化时，∠BOC的度数是否变化？若不变化，请求出∠BOC的度数；若发生变化，请说明理由．
23．（11分）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．
2021-2022学年河南省信阳市商城县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：A．
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a5•a3＝a15 B．（a2）3＝a8
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．3a3b2÷a2b2＝3a
【分析】根据整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．
【解答】解：A．a5•a3＝a8，故A不符合题意；
B．（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C．（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故C不符合题意；
D.3a3b2÷a2b2＝3a，故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、3cm、5cm B．2cm、3cm、4cm
C．3cm、5cm、9cm D．8cm、4cm、4cm
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
【解答】解：A、2+3＝5，故不能组成三角形，不符合题意；
B、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；
C、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意；
D、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000 021用科学记数法表示为（ ）
A．21×10﹣4 B．2.1×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．2.1×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000021＝2.1×10﹣5；
故选：C．
5．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°，
故选：A．
6．（3分）若把分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的3倍 D．扩大到原来的9倍
【分析】由题意可知x、y都扩大到原来的3倍分别为3x，3y，然后再进行计算即可判断．
【解答】解：由题意得：
x、y都扩大到原来的3倍后分别为：3x，3y，
∴＝，
∴分式的值不变，
故选：A．
7．（3分）如图，∠B＝∠E，∠1＝∠2，若根据“ASA“判定△ABC≌△DEF，那么要补充的条件是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．BF＝CF D．BF＝CE
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠B＝∠E，∠1＝∠2，AC＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．∠B＝∠E，∠1＝∠2，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∠B＝∠E，∠1＝∠2，BF＝CF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），故本选项符合题意；
故选：D．
8．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝x（x+2）+3
B．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2
C．3x2﹣12y2＝3（x+2y）（x﹣2y）
D．2（x+y）＝2x+2y
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】作DH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到AD平分∠BAC，则根据角平分线的性质DH＝DC＝1，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，
由作法得AD平分∠BAC，
∴DH＝DC＝1，
∴△ABD的面积＝×1×4＝2．
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠EPF＝90°，P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），现给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形PEAF＝S△ABC；④EF＝AP，其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠B＝∠C＝∠BAP＝∠CAP＝45°，AP＝PC＝PB，∠APC＝∠EPF＝90°，求出∠APE＝∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE＝CF，EP＝PF，推出SAPE＝S△CPF，求出S四边形AEPF＝S△APC＝S△ABC，求出BE+CF＝AE+AF＞EF，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点，
∴∠B＝∠C＝∠BAP＝∠CAP＝45°，AP＝PC＝PB，∠APC＝∠EPF＝90°，
∴∠EPF﹣∠APF＝∠APC﹣∠APF，
∴∠APE＝∠CPF，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE＝CF，EP＝PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴①正确；②正确；
∵△APE≌△CPF，
∴SAPE＝S△CPF，
∴S四边形AEPF＝S△AEP+S△APF＝S△CPF+S△APF＝S△APC＝S△ABC，
∴③正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP＝BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，
故④错误；
即正确的有①②③，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若a﹣b＝3，ab＝2，则a2b﹣ab2＝ 6 ．
【分析】直接将原式提取公因式分解因式，进而代入求出即可．
【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝2，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×3＝6．
故答案为：6．
12．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
13．（3分）若实数a，b满足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是 15 ．
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b，再分情况讨论求解即可．
【解答】解：根据题意得，a﹣3＝0，b﹣6＝0，
解得a＝3，b＝6．
①若a＝3是腰长，则底边为6，三角形的三边分别为3、3、6，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
②若a＝6是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为6、6、3，
能组成三角形，
周长＝6+6+3＝15．
故答案为：15．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE的垂直平分线AB分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若BE＝6cm，则AC等于 3 cm．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出BE＝AE＝6cm，求出∠EAB＝∠B＝15°，求出∠EAC，根据含30°角的直角三角形性质求出即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝×6＝3cm．
故答案为：3．
15．（3分）如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，OA＝12cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时，移动的时间是 4s或12s ．
【分析】根据△OPQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上．
【解答】解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图1所示：
∵PO＝AO﹣AP＝12﹣2t，OQ＝1t
∴当PO＝QO时，
12﹣2t＝t
解得t＝4；
当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图2所示：
∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣12，OQ＝t；
∴当PO＝QO时，2t﹣12＝t；
解得t＝12；
故答案为：4s或12s．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）（）﹣1﹣（π﹣2020）0+（﹣1）2021；
（2）（m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）．
【分析】（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂和乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）根据完全平方公式、平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）（）﹣1﹣（π﹣2020）0+（﹣1）2021
＝3﹣1+（﹣1）
＝1．
（2）（m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）
＝m2﹣2mn+n2﹣（m2﹣4n2）
＝m2﹣2mn+n2﹣m2+4n2
＝﹣2mn+5n2．
17．（8分）先化简，再从﹣2，﹣1，0，1，2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】先根据分式的加法运算进行化简，然后根据分式有意义的条件求出x的值，最后代入化简后的式子即可求出答案．
【解答】原式＝÷+
＝•+
＝+
＝
由分式有意义的条件可知：x≠﹣1，1，2，
∴x＝0或﹣2，
当x＝0时，
原式＝＝﹣1．
18．（9分）在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，线段CD和CE分别为△ABC的角平分线和高线，求∠ADC和∠DCE的度数．
【分析】根据题干中给出的条件可以求得∠B和∠ACB的大小，根据线段CD和CE分别为△ABC的角平分线和高线，即可求得∠ADC、∠DCE的大小．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣36°）＝72°，
∵线段CD为△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝36°，
在△ACD中，∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∵线段CE为△ABC的高线，
∴∠BEC＝90°，
在△BEC中，∠ECB＝180°﹣∠B﹣∠BEC＝180°﹣72°﹣90°＝18°，
所以∠DCE＝∠DCB﹣∠BCE＝36°﹣18°＝18°．
∴∠ADC＝108°，∠DCE＝18°．
19．（9分）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，5），B（1，﹣2），C（4，0）．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并求出A'点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上画出点P，使PA+PC的值最小，保留作图痕迹．
【分析】（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并求出A'点的坐标即可；
（2）根据网格即可求△ABC的面积；
（3）连接A′C即可在y轴上画出点P，使PA+PC的值最小．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
A′（﹣1.5）
（2）S△ABC＝×7×3＝10.5；
（3）如图，点P为所作．
20．（9分）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝ a2﹣b2 ，S2＝ （a+b）（a﹣b） （直接用含a，b的代数式表示）
（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
【分析】（1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积即可；
（2）由（1）题结果可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）将原式变形为（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，再运用（2）题结论进行计算即可．
【解答】解：（1）由图1可表示阴影部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可表示阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）利用（2）题结论可得，
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝
（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）+1
＝216﹣1+1
＝216．
21．（9分）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，根据“用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，根据“增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元”列出不等式．
【解答】解：（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，
根据题意，得：＝．
解方程，得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的根，且符合题意．
所以x﹣1.5＝2.5．
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得：2.5×2m+4m≤3800．
解不等式，得：m≤422．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为422．
答：增加购买A型口罩的数量最多是422个．
22．（10分）如图，以△ABC的两边AB，AC为边向外作等边△ABD和△ACE，DC，BE相交于点O．
（1）求证：DC＝BE；
（2）求∠BOC的度数；
（3）∠BAC的度数发生变化时，∠BOC的度数是否变化？若不变化，请求出∠BOC的度数；若发生变化，请说明理由．
【分析】（1）易证∠DAB＝∠EAC＝60°，AD＝AB，AE＝AC，即可求得∠DAC＝∠BAE，即可证明△DAC≌△BAE；
（2）根据（1）中结论可得∠ADC＝∠ABE，即可求得∠ODB+∠OBD＝∠ADB+∠ABD，根据三角形外角性质即可解题；
（3）由（2）可得∠ODB+∠OBD＝∠ADB+∠ABD，因此可以判定∠BOC和∠BAC大小无关．
【解答】解：（1）∵△ADB和△AEC都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，AD＝AB，AE＝AC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，AC＝AE，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
∴DC＝BE；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠ODB+∠OBD＝∠ADB﹣∠ADC+∠ABD+∠ABE＝∠ADB+∠ABD＝120°，
∴∠BOC＝∠ODB+∠OBD＝120°；
（3）不变化，为120°，
理由：∵由（2）可得∠BOC＝∠ODB+∠OBD＝120°；
∴∠BOC和∠BAC大小无关．
23．（11分）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论；
（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，就有△DEF为等边三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
相关试卷
河南省信阳市商城县2022-2023学年七年级上学期期末模拟测试数学试卷(含解析)： 这是一份河南省信阳市商城县2022-2023学年七年级上学期期末模拟测试数学试卷(含解析)，共13页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳市商城县八年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年河南省信阳市商城县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳市商城县八年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年河南省信阳市商城县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
