2021年初中数学二轮复习 作图问题 练习

作图问题

类型1　尺规作图

1．在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：

已知：直线l和l外一点P.

求作：直线l的垂线，使它经过点P.

作法：如图：(1)在直线l上任取两点A、B；

(2)分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；

(3)作直线PQ.

参考以上材料作图的方法，解决以下问题：

(1)以上材料作图的依据是：______________________________________________

(2)已知：直线l和l外一点P.

求作：⊙P，使它与直线l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)

解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

(2)如图⊙P即为所求．

2．如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．

(1)利用尺规作图，确定当PA＋PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)．

(2)求PA＋PB的最小值．

解：(1)如图1所示，点P即为所求；

(2)由(1)可知，PA＋PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，∵A′点为点A关直线MN的对称点，∠AMN＝30°，∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，又∵B为的中点，∴＝，∴∠BON＝∠AOB＝∠AON＝30°，∴∠A′OB＝60°＋30°＝90°，又∵MN＝4，∴OA′＝OB＝MN＝×4＝2.∴在Rt△A′OB中，A′B＝2，∴PA＋PB的最小值为2.

3．如图，已知△ABC，∠B＝40°.

(1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F(保留痕迹，不必写作法)；

(2)连接EF，DF，求∠EFD的度数．

解：(1)如图1，⊙O即为所求．

(2)如图2，连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∵∠B＝40°，∴∠DOE＝140°，∴∠EFD＝70°.

4．小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图1，已知∠AOB＝30°与线段a，你能作出边长为a的等边三角形△COD吗？小明的做法是：如图2，以O为圆心，线段a为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，在弧MN上任取一点P，以点M为圆心，MP为半径画弧，交弧CD于点C，同理以点N为圆心，NP为半径画弧，交弧CD于点D，连结CD，即△COD就是所求的等边三角形．

(1)请写出小明这种做法的理由；

(2)在此基础上请你作如下操作和探究(如图3)：连结MN，MN是否平行于CD？为什么？

(3)点P在什么位置时，MN∥CD？请用小明的作图方法在图1中作出图形(不写作法，保留作图痕迹)．

解：(1)如图2，连结OP，由题意可得＝，∴∠COM＝∠POM，＝，∴∠PON＝∠DON，∴∠POM＋∠PON＝∠COM＋∠DON＝30°，∴∠COD＝2∠MON＝60°，∴△OCD是等边三角形；(2)不一定，只有当∠COM＝15°，CD∥MN，理由：∵∠COM＝15°，∠MON＝30°，∴∠CON＝45°，∵∠C＝60°，∴∠OEC＝75°，∵ON＝OM，∴∠ONM＝∠OMN＝75°，∴∠OEC＝∠ONM，∴CD∥MN；(3)当P是的中点时，MN∥CD；如图3所示．

类型2　网格作图和其他

5．如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( B )

A．2＜r＜  B.＜r＜3

C.＜r＜5  D．5＜r＜

解：给各点标上字母，如图所示．AB＝＝2，AC＝AD＝＝，AE＝＝3，AF＝＝，AG＝AM＝AN＝＝5，∴＜r＜3时，除点A外恰好有3个在圆内．

6．我们约定，若一个三角形(记为△A1)是由另一个三角形(记为△A)通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A1，又由△A1复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B.以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形(指与△A全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠．

(1)图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为__1∶2__．在图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形)，则△C中含有__121__个小三角形；

(2)若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是__正三角形或正六边形__；

(3)请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．

解析：(1)△A－△A1是经过旋转所得，△A1－△A2是经过旋转所得，△A2－△A3是经过平移所得．由于△B是由4个△A组成，因此S△B＝4S△A，因此相似比为2∶1.当△C的一条边上有11个小三角形时，那么它们的相似比为11∶1，面积比121∶1，即△C中有121个这样的小三角形；故答案为：1∶2，121.(2)正三角形或正六边形．　(3)如图．

7．阅读理解：

如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合)，分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．

解决问题：

(1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；

拓展探究：

(3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

解：(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A＝55°，∴∠ADE＋∠DEA＝125°，∵∠DEC＝55°，∴∠BEC＋∠DEA＝125°，∴∠ADE＝∠BEC.∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC.∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

(2)如图如下：

(3)∵点E是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，∴∠BCE＝∠BCD＝30°，∴BE＝CE＝AB.在Rt△BCE中，tan∠BCE＝＝tan30°，∴＝，∴＝.