中考数学专题复习 专题30 尺规作图问题

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中考数学总复习六大策略
1、学会运用函数与方程思想。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。

专题30 尺规作图问题

1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2.尺规作图的五种基本情况
(1)作一条线段等于已知线段；
(2)作一个角等于已知角；
(3)作已知线段的垂直平分线；
(4)作已知角的角平分线；
(5)过一点作已知直线的垂线。
3.对尺规作图题解法
写出已知，求作，作法(不要求写出证明过程)并能给出合情推理。
4.中考要求
(1)能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.
(2)能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.
(3)能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.
(4)了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明).

【例题1】(2020•台州)如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是(　　)

A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD
【答案】D
【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
【解析】由作图知AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB＝CD
【对点练习】(2019•丽水模拟题)如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是(　　)


A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
【答案】B
【解析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形。
∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形。
【例题2】(2020•辽阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为　 　．

【答案】5．
【分析】设BE＝AE＝x，在Rt△BEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解析】由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴AE＝EB，
设AE＝EB＝x，
∵EC＝3，AC＝2BC，
∴BC=12(x+3)，
在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，
∴x2＝32+[12(x+3)]2，
解得，x＝5或﹣3(舍弃)，
∴BE＝5
【对点练习】(2019武汉)如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为　 　．

【答案】3
【解析】结合作图的过程知：BP平分∠ABD，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴点P到BD的距离等于AP的长，为3。
【例题3】(2020•武威)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．
(2)连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．

【答案】见解析。
【分析】(1)根据尺规作基本图形的方法：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．
(2)连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
【解析】(1)如图，①BE即为所求；

②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．
(2)∵BD＝BA，BE平分∠ABD，
∴点E是AD的中点，
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴线段EF和AC的数量关系为：EF=12AC，
位置关系为：EF∥AC．
【对点练习】( 2019•广东模拟题)如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明)．

【答案】见解析。
【解析】(1)根据角平分线基本作图的作法作图即可；

(2)根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论．
DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．

一、选择题
1．(2020•河北)如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是(　　)

A．a，b均无限制 B．a＞0，b＞12DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b＜12DE的长
【答案】B
【分析】根据角平分线的画法判断即可．
【解析】以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于12DE，否则没有交点.
2．(2020•襄阳)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是(　　)

A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
【答案】D
【分析】证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC即可．
【解析】由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB(AAS)，
∴DB＝DE，AB＝AE，
∵∠AEB+∠B＝180°
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝∠BAC，
故A，B，C正确.
3．(2020•贵阳)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为(　　)

A．无法确定 B．12 C．1 D．2
【答案】C
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
【解析】如图，过点G作GH⊥AB于H．

由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1
4.(2019•河北模拟题)如图，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是(　　)

　A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确
D选项中作的是AB的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC
5.(2019•湖南益阳)已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．

6.(2019•湖南长沙)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是(　　)

A．20° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．
在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。
7.(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是(　　)

A．(SAS) B． (SSS) C． (ASA) D． (AAS)
【答案】B
【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
二、填空题
8．(2020•苏州)如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝　　．

【答案】2425．
【分析】如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．首先证明四边形AOBD是菱形，解直角三角形求出DH即可解决问题．
【解析】如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．

由作图可知，∠AOD＝∠DOE，OA＝OB，
∵AD∥EO，
∴∠ADO＝∠DOE，
∴∠AOD＝∠ADO，
∴AO＝AD，
∴AD＝OB，AD∥OB，
∴四边形AOBD是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴四边形AOBD是菱形，
∴OB＝BD＝OA＝10，BD∥OA，
∴∠MON＝∠DBE，∠BOD＝∠BDO，
∵DE⊥OD，
∴∠BOD+∠DEO＝90°，∠ODB+∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE＝10，
∴OE＝2OB＝20，
∴OD=OE2−DE2=202−122=16，
∵DH⊥OE，
∴DH=OD⋅DEEO=16×1220=485，
∴sin∠MON＝sin∠DBH=DHDB=48510=2425．
9．(2019济南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝　 　．

【答案】．
【解析】由作法得BD平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BD＝2CD，
∴AD＝2CD，
∴
＝1/2
10. ( 2019甘肃省兰州市) 如图， 矩形ABCD， ∠BAC＝600. 以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB.AC于点M、N两点，再分别以点M、N 为圆心，以大于MN的长为半径作弧交于点P ，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于___________.

【答案】3．
【解析】 由题可知AP是∠BAC的角平分线
∵∠BAC＝600
∴∠BAE＝∠EAC＝300
∴AE＝2 BE＝2.
∴AB＝
∴∠AEB＝600
又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA
∴∠EAC＝∠ECA＝300
∴AE＝EC＝2
∴BC＝3
∴S矩形ABCD＝3．
三、解答题(一)
11．(2020•陕西)如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．(保留作图痕迹．不写作法)

【答案】见解析。
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．
【解析】如图，点P即为所求．

12．(2020•长沙)人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
(2)分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
(3)画射线OC，射线OC即为所求(如图)．
请你根据提供的材料完成下面问题．
(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是　　．(填序号)
①SSS②SAS③AAS④ASA
(2)请你证明OC为∠AOB的平分线．

【答案】见解析。
【分析】(1)直接利用角平分线的作法得出基本依据；
(2)直接利用全等三角形的判定与与性质得出答案．
【解析】(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS．
故答案为：①
(2)由基本作图方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，
则在△OMC和△ONC中，
OM=ONOC=OCMC=NC，
∴△OMC≌△ONC(SSS)，
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC为∠AOB的平分线．

13．(2020•福建)如图，C为线段AB外一点．
(1)求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．

【答案】见解析。
【分析】(1)利用尺规作图作CD∥AB，且CD＝2AB，即可作出四边形ABCD；
(2)在(1)的四边形ABCD中，根据相似三角形的判定与性质即可证明M，P，N三点在同一条直线上．
【解析】(1)如图，四边形ABCD即为所求；

(2)如图，

∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，
∴△ABP∽△CDP，
∴ABCD=APPC，
∵AB，CD的中点分别为M，N，
∴AB＝2AM，CD＝2CN，
∴AMCN=APPC，
连接MP，NP，
∵∠BAP＝∠DCP，
∴△APM∽△CPN，
∴∠APM＝∠CPN，
∵点P在AC上，
∴∠APM+∠CPM＝180°，
∴∠CPN+∠CPM＝180°，
∴M，P，N三点在同一条直线上．
14．(2020•北京)已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝　 　．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC=12∠BAC(　 　)(填推理的依据)．
∴∠ABP=12∠BAC．

【答案】见解析。
【分析】(1)根据作法即可补全图形；
(2)根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．
【解析】(1)如图，即为补全的图形；

(2)证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠BPC．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC=12∠BAC(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，
∴∠ABP=12∠BAC．
故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
15．(2020•达州)如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．
(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)，补全图形；
(2)判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．

【答案】见解析。
【分析】(1)根据要求，利用尺规作出图形即可．
(2)证明直线AE是⊙O的切线即可解决问题．
【解析】(1)如图，⊙O，射线BM，直线DE即为所求．

(2)直线DE与⊙O相切，交点只有一个．
理由：∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴AE⊥OD，
∴直线AE是⊙O的切线，
∴⊙O与直线AE只有一个交点．
16．(2019•六盘水模拟题)如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆(任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹)

【答案】见解析。
【解析】分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可。
如图所示：

17.(2020大连模拟)请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
(2)如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．

【答案】见解析。
【解析】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线．
(1)连接AC，AC所在直线即为对称轴m．
如图①，直线m即为所求
(2)(2)延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n．
如图②，直线n即为所求

18.(2019•四川省达州市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．
(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
(2)在(1)作出的图形中，求DE的长．

【答案】见解析。
【解析】(1)利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E。
如图，DE为所作；

(2)利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE为等腰直角三角形，∴DE＝CE，
∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
19.(2019•广东)如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
(1)请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于E；(不要
求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若=2，求的值．

【答案】见解析。
【解析】(1)如图所示，∠ADE为所求.

(2)∵∠ADE=∠B
∴DE∥BC
∴=
∵=2 ∴=2
20.(2019•广西贵港)尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)：
如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．

【答案】见解析。
【解析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
先作一个∠D＝∠A，然后在∠D的两边分别截取ED＝BA，DF＝AC，连接EF即可得到△DEF。如图，

△DEF即为所求．
21.(2019山东枣庄)如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下，连接BF，求∠DBF的度数．

【答案】见解析。
【解析】(1)分别以A.B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。
如图所示，直线EF即为所求；

(2)根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可。
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
22.(2019•湖北孝感)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
(1)线段CD与CE的大小关系是　 　；
(2)过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
【答案】见解析。
【解析】(1)由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案；
CD＝CE，
由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，

∴∠1＝∠2＝∠3，
∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，
∴∠CEB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
故答案为：CD＝CE；
(2)证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝＝13，知sin∠DAF＝＝，即＝，解之求得x＝，结合BC＝BF＝5可得答案．

∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，
∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，
在△BCD和△BFD中，
∵，
∴△BCD≌△BFD(AAS)，
∴CD＝DF，
设CD＝DF＝x，
在Rt△ACB中，AB＝＝13，
∴sin∠DAF＝＝，即＝，
解得x＝，
∵BC＝BF＝5，
∴tan∠DBF＝＝×＝．
23.(2019平谷二模)下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l和l外一点P．
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2，

(1)在直线l上任取一点A；
(2)连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B(点A，B不重合)；
(3)连接BP，作∠APB的角平分线，交AB于点H；
(4)作直线PH，交直线l于点H．
所以直线PH就是所求作的垂线．
根据小元设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明.
证明：∵PH平分∠APB，
∴∠APH= ．
∵PA= ，
∴PH⊥直线l于H．( )(填推理的依据)
【答案】见解析。
【解析】(1)如图所示。

(2)证明：∵PH平分∠APB，
∴∠APH=∠BPH．
∵PA=PB，
∴PH⊥直线l于H．( 等腰三角形三线合一 )
24.(2019•甘肃庆阳)已知：在△ABC中，AB＝AC．
(1)求作：△ABC的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝　 　．

【答案】见解析。
【解析】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．如图⊙O即为所求．

(2)在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
设线段BC的垂直平分线交BC于点E．
由题意OE＝4，BE＝EC＝3，
在Rt△OBE中，OB＝＝5，
∴S圆O＝π•52＝25π．
25.(2019•广东广州)如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
(1)尺规作图：作弦CD，使CD＝BC(点D不与B重合)，连接AD；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，求四边形ABCD的周长．

【答案】见解析。
【解析】(1)以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．
如图，线段CD即为所求．

(2)连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．
连接BD，OC交于点E，设OE＝x．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∵BC＝CD，
∴＝，
∴OC⊥BD于E．
∴BE＝DE，
∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，
∴62﹣(5﹣x)2＝52﹣x2，
解得x＝，
∵BE＝DE，BO＝OA，
∴AD＝2OE＝，
∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．
四、解答题(二)
26.已知线段a、b，画一条线段，使其等于．

【解析】所要画的线段等于，实质上就是．

画法：
(1)画线段．
(2)在AB的延长线上截取．线段AC就是所画的线段．
【点拨】尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．
27.如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2a－b．

【解析】如图，

（1） 作射线AM；
(2)在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；
(3)在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段．
28.求作一个角等于已知角∠MON(如图1)．

图(1) 图(2)
【解析】(1)作射线；
（2） 在图(1)上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；
(3)以为圆心，OA的长为半径作弧，交于点C；
(4)以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；(5)过点D作射线．
则∠就是所要求作的角．
29.如下图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a．

【解析】先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B=∠C=∠α，底边BC=a，故可以先作∠B=∠α，或先作底边BC=a．
作法 如下图

（1） ∠MBN=∠α；
（2） 在射线BM上截取BC=a；
(3)以C为顶点作∠PCB=∠α，射线CP交BN于点A．△ABC就是所要求作的等腰三角形．
【点拨】画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．
30.如图(1)，已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB(写出作法，画出图形)


图(1) 图(2)
【解析】根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．
作法：如图(2)．
(1)过点C作直线EF，交AB于点F；
(2)以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；
(3)以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；
(4)以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；
(5)过点D作直线CD，CD就是所求的直线．
【点拨】作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．
31.正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案(保留作图痕迹，不写作法)．

(2003年，桂林)
【解析】这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．
作法：如下图，

找三等分点的依据是平行线等分线段定理．
32.已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC．



图(1) 图(2)
【解析】如图(2)
(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；
(2)分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于C点；
(3)作射线OC，则OC为∠AOB的平分线．
33.如图(1)所示，已知线段a、b、h(h＜b)．
求作△ABC，使BC=a，AB=b， BC边上的高AD=h．

图(1)

图(2)
【解析】如图(2)．
(1)作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DM⊥PQ；
(2)在DM上截取线段DA=h；
(3)以A为圆心，以b为半径画弧交射线DP于B；
(4)以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BP和射线BQ于和；
(5)连结、，则△(或△)都是所求作的三角形．
34.如图，已知线段a，b，求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)．

【解析】本题解答的关键在于作出∠ACB=90°，然后确定A、B两点的位置，作出△ABC．
作法：如下图

(1)作直线MN：
(2)在MN上任取一点C，过点C作CE⊥MN；
(3)在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；
(4)连结AB，△ABC就是所求作的直角三角形．
【点拨】利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．
35.如图，已知钝角△ABC，∠B是钝角．

求作：(1)BC边上的高；(2)BC边上的中线(写出作法，画出图形)．
【解析】(1)作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂线；(2)作BC边上的中线，要先确定出BC边的中点，即作出BC边的垂直平分线．
作法：如下图

(1)①在直线CB外取一点P，使A、P在直线CB的两旁；
②以点A为圆心，AP为半径画弧，交直线CB于G、H两点；
③分别以G、H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧交于E点；
④作射线AE，交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的△ABC中BC边上的高．
(2)①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点；
②作直线MN，交BC于点F；
③连结AF，则线段AF就是所要求作的△ABC中边BC上的中线．
【点拨】在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．