沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试测试题

这是一份沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试测试题，共33页。
沪科版九年级数学下册第24章圆章节训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（ ）

A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°
3、如图，是的直径，弦，垂足为，若，则（ ）

A．5 B．8 C．9 D．10
4、如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）

A． B． C． D．
5、如图，CD是的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．
（2）作直线GH交AB于点E．
（3）在直线GH上截取．
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）

A． B． C． D．
6、如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（ ）

A． B． C． D．
7、如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（ ）

A．30° B．40° C．45° D．60°
8、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9、如图，在Rt中，．以点为圆心，长为半径的圆交于点，则的长是（ ）

A．1 B． C． D．2
10、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ）

A．70° B．50° C．20° D．40°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是______步．

2、一个直角三角形的斜边长cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm，直角三角形的面积是________．
3、如图，在矩形中，，，F为中点，P是线段上一点，设，连结并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段，连结、，则在点P从点B向点C的运动过程中，有下面四个结论：①当时，；②点E到边的距离为m；③直线一定经过点；④的最小值为．其中结论正确的是______．（填序号即可）

4、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．
5、圆锥的母线长为，底面圆半径为r，则全面积为______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．

2、在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”
已知点O（0，0），Q（1，0）
（1）在P1（0，-1），P2（，），P3（-1，1）中是线段OQ的“潜力点”是_____________；
（2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；
（3）直线y＝2x＋b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ 的“潜力点”时，直接写出b的取值范围

3、如图，已知等边内接于⊙O，D为的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AB的长为6，求CE的长．

4、如图 1，O为直线 DE上一点，过点 O在直线 DE上方作射线 OC，∠EOC=130°．将直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条边 OA在射线 OD上，另一边 OB在直线 DE上方，将直角三角板绕点 O 按每秒 5°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t 秒．

（1）如图2，当t=4 时，∠AOC= ，∠BOE= ，∠BOE﹣∠AOC= ；
（2）当三角板旋转至边 AB与射线 OE相交时（如图 3），试猜想∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由；
（3）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线 OA、OC、OD 中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出 t 的取值，若不存在，请说明理由．
5、如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC^OA于点C，过点B作O的切线交CE的延长线于点D ．

（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求AC长．

-参考答案-
一、单选题
1、A
【详解】
解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，此项符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，此项不符题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．
2、B
【分析】
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．
3、C
【分析】
连接，根据垂径定理可得，设的半径为，则,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得
【详解】
解：如图，连接，

∵是的直径，弦，
∴
设的半径为，则
在中，，
即
解得
即

故选C
【点睛】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4、D
【分析】
根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．
【详解】
解：设AB与CD交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，

∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴∠OCE=30°，
∴，
∴，
又∵，即
∴，
在△OCE和△BDE中，
，
∴△OCE≌△BDE（AAS），
∴
∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．
5、C
【分析】
连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．
【详解】
解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，
∴，故A正确；
∵CD是的高，
∴，故B正确；
∵，，
∴，故C错误；
∵，
∴∠AFE=45°，
同理可得∠BFE=45°，
∴∠AFB＝90°，
，故D正确；
故选：C．

【点睛】
本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．
6、C
【分析】
如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．
【详解】
解：如图，过点C作 CT⊥AB 于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，

由题意可得AB垂直平分线段OK，
∴AO=AK，OH=HK=3，
∵OA=OK，
∴OA=OK=AK，
∴∠OAK=∠AOK=60°，
∴AH=OA×sin60°=6×=3，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AB=2AH=6，
∵OC+OH⩾CT，
∴CT⩽6+3=9，
∴CT的最大值为9，
∴△ABC的面积的最大值为=27，
故选：C.
【点睛】
本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型．
7、B
【分析】
由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．
8、A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
9、B
【分析】
利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．
【详解】
解： 在Rt中，，
∴BC=3，，
连接CD，过点C作CE⊥AB于E，
∵，
∴，
解得，
∵CB=CD，CE⊥AB，
∴，
∴，
故选：B．

【点睛】
此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．
10、D
【分析】
首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．
【详解】
解：连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
二、填空题
1、6
【分析】
依题意，直角三角形性质，结合题意能够容纳的最大为内切圆，结合内切圆半径，利用等积法求解即可；
【详解】
设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：；
依据直角三角形的性质：可得斜边长为：
依据直角三角形面积公式：，即为；
内切圆半径面积公式：，即为；
所以，可得：，所以直径为：；
故填：6；
【点睛】
本题主要考查直角三角形及其内切圆的性质，重点在理解题意和利用内切圆半径求解面积；
2、 4
【分析】
设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x）根据勾股定理，解一元二次方程求出，根据这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，可求外接圆的半径为cm，利用三角形面积公式求即可．
【详解】
解：设一直角边长为x，另一直角边长为（6-x），
∵三角形是直角三角形，
∴根据勾股定理，
整理得：，
解得，
这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，
∴外接圆的半径为cm，
三角形面积为．
故答案为；．
【点睛】
本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．
3、②③④
【分析】
①当在点的右边时，得出即可判断；
②证明出即可判断；
③根据为等腰直角三角形，得出都是等腰直角三角形，得到即可判断；
④当时，有最小值，计算即可．
【详解】
解：，
为等腰直角三角形，
，
当在点的左边时，
，
当在点的右边时，
，
故①错误；
过点作，

在和中，
根据旋转的性质得：，
，
，
，
，
故②正确；
由①中得知为等腰直角三角形，
，
也是等腰直角三角形，
过点，
不管P在上怎么运动，
得到都是等腰直角三角形，
，
即直线一定经过点，
故③正确；
是等腰直角三角形，
当时，有最小值，

，
为等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理：
，
，
故④正确；
故答案是：②③④．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．
4、六
【分析】
设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则，由此即可得到答案．
【详解】
解：设这个正多边形的边数为n，
∵正多边形的半径与边长相等，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴，
∴，
∴正多边形的边数是六，
故答案为：六．

【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
5、
【分析】
根据圆锥的展开图为扇形，结合弧长公式、圆周长的求解公式、面积的求解公式，圆锥侧面积的求解公式可得出答案．
【详解】
解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
故可得，这个扇形的半径为，扇形的弧长为，
圆锥的侧面积为；
圆锥的全面积为圆锥的底面积侧面积：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sinD＝＝，代入数值即可求得答案
【详解】
解：（1）连接OB，

∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝2，
∵sinD＝＝，⊙O半径为2，OD＝4．
∴＝，
解得AC＝2，
∴AD＝BD+AB＝4．
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
2、（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）分别计算出OQ、PO和PQ的长度，比较即可得出答案；
（2）先判断点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在线段OQ垂直平分线的左侧，结合PO≤2，点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，可得点P在如图所示的线段AB上（不包含点B），过作轴，过作轴，垂足分别为 再根据图形的性质求解 从而可得答案；
（3）由（2）得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧，再分两种情况讨论：当时，当时，分别画出两种情况下的临界直线 再根据临界直线经过的特殊点求解的值，再确定范围即可.
【详解】
解：（1） O（0，0），Q（1，0），

P1（0，-1），P2（，），P3（-1，1）
不满足OQ＜PO＜PQ且PO≤2，
所以不是线段OQ的“潜力点”，
同理：
所以不满足OQ＜PO＜PQ且PO≤2，
所以不是线段OQ的“潜力点”，
同理：

所以满足：OQ＜PO＜PQ且PO≤2，
所以是线段OQ的“潜力点”，
故答案为：P3
（2）∵点P为线段OQ的“潜力点”，
∴OQ＜PO＜PQ且PO≤2，
∵OQ＜PO，
∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外
∵PO＜PQ，
∴点P在线段OQ垂直平分线的左侧，而的垂直平分线为：
∵PO≤2，
∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内
又∵点P在直线y＝x上，
∴点P在如图所示的线段AB上（不包含点B）
过作轴，过作轴，垂足分别为

由题意可知△BOC和 △AOD是等腰三角形，
∴
∴-≤xp＜-
（3）由（2）得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，
而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧
当时，过时，
即函数解析式为：
此时 则

当与半径为2的圆相切于时，则
由
而


当时，如图，同理可得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，
而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧，

同理：当过 则 直线为
在直线上，
此时
当过时， 则

所以此时：
综上：的范围为：1＜b≤或＜b＜-1
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的知识运用，圆的基本性质，圆的切线的性质，一次函数的综合应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，数形结合是解本题的关键.
3、（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；
（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=BC＝3．
【详解】
解：（1）证明：如图连接OC、OB．
∵是等边三角形
∴
∵
∴
又 ∵
∴
∴
∴
∴与⊙O相切；
（2）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∴
∵D为的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．
4、
（1）30°，70°，40°；
（2）∠AOC－∠BOE=40°，理由见解析；
（3）t 的取值为5或20或62
【分析】
（1）先根据已知求出∠DOC、∠BOC，再求出当t=4时的旋转角的度数，再利用角的和与差求解即可；
（2）设旋转角为x，用x表示∠AOC和∠BOE，即可得出结论；
（3）分①OA为∠DOC的平分线；②OC为∠DOA的平分线；③OD为∠COA的平分线三种情况，利用角平分线定义和旋转性质求出旋转角即可．
（1）
解：∵∠EOC=130°，∠AOB=∠BOE=90°，
∴∠DOC=180°－130°=50°，∠BOC=130°－90°=40°，
当t=4时，旋转角4×5°=20°，
∴∠AOC=∠DOC－∠DOA=50°－20°=30°，∠BOE=90°－20°=70°，
∠BOE－∠AOC=70°－30°=40°，
故答案为：30°，70°，40°；
（2）
解：∠AOC－∠BOE=40°，理由为：
设旋转角为x，当三角板旋转至边 AB与射线 OE相交时，
∠AOC=x－50°，∠BOE=x－90°，
∴∠AOC－∠BOE=（x－50°）－（x－90°）=40°；
（3）
解：存在，
①当OA为∠DOC的平分线时，旋转角5t =∠DOC=25，
∴t=5；
②当OC为∠DOA的平分线时，旋转角5t =2∠DOC=100，
∴t=20；
③当OD为∠COA的平分线时，360－5t=∠DOC=50，
∴t=62，
综上，满足条件的t 的取值为5或20或62．
【点睛】
本题考查角平分线的定义、旋转的性质、角的运算，熟练掌握旋转性质，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
5、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；
（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.
【详解】
（1）如图，

∵DC⊥OA，
∴∠1+∠3=90°，
∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠2+∠5=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
在△DEB中，∠4=∠5，
∴DE=DB.
(2)如图，作DF⊥AB于F，

连接OE，∵DB=DE，
∴EF=BE=3，
在Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，
∴DF=
∴sin∠DEF== ，
∵∠AOE,，
∴∠AOE=∠DEF，
∴在Rt△AOE中，sin∠AOE= ，
∵AE=6，
∴AO=.
【点睛】
本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.