沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试当堂达标检测题

这是一份沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试当堂达标检测题，共33页。
沪科版九年级数学下册第24章圆专题测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（ ）

A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2、如图，边长为5的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（ ）

A． B．1 C．2 D．
3、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ）

A．70° B．50° C．20° D．40°
4、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD^AB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．
6、的边经过圆心，与圆相切于点，若，则的大小等于（ ）

A． B． C． D．
7、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
8、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（ ）

A．20 m B．20m
C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m
9、如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（ ）

A．30° B．40° C．45° D．60°
10、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在Rt△ABC，∠B=90°，AB=BC=1，将△ABC绕着点C逆时针旋转60°，得到△MNC，那么BM=______________．

2、如图，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一点，CD＝5，则AD的长为______．

3、到点的距离等于8厘米的点的轨迹是__．
4、如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是______．

5、点（2，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．
已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．

（1）求弦AC的长．
（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．
（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．
2、综合与实践
“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．

使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．
独立思考：（1）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．
已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点，________，切半圆于．求证：________________．
探究解决：（2）请完成证明过程．
应用实践：（3）若半圆的直径为，，求的长度．
3、如图1，在⊙O中，AC＝BD，且AC⊥BD，垂足为点E．

（1）求∠ABD的度数；
（2）图2，连接OA，当OA＝2，∠OAB＝15°，求BE的长度；
（3）在（2）的条件下，求的长．
4、如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，点、在上，过点作的延长线于点，已知平分．

（1）求证：是切线；
（2）若，，求的半径和的长．
5、如图，在中，，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，与AC的另一个交点为E．

（1）求证：BO平分；
（2）若，，求BO的长．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系
【详解】
解：连接,

，点O为AB中点．

CO为⊙C的半径，
是的切线，
⊙C 与AB的位置关系是相切
故选B
【点睛】
本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．
2、A
【分析】
取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【详解】
解：如图，取BC的中点G，连接MG，

∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×5=2.5，
∴MG=CG=，
∴HN=，
故选A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
3、D
【分析】
首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．
【详解】
解：连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
4、C
【分析】
利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故A错误．
B、不是中心对称图形，故B错误．
C、是中心对称图形，故C正确．
D、不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．
5、B
【分析】
连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．
【详解】
解：连接OC，如图

∵AB 为⊙O 的直径，CD^AB，垂足为点 E，CD=8，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．
6、A
【分析】
连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】
解：连接，

，
，
与圆相切于点，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7、A
【分析】
根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．
【详解】
证明：∵绕点C逆时针旋转得到，
∴，，
∴∠ADC=∠DAC，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∴∠DAC=50°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°
故选A．
【点睛】
本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．
8、D
【分析】
根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．
【详解】
∵人工湖面积尽量小，

∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，
过点B作BC ⊥，垂足为C，
∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，
∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，
∴OC=CB=CP=20，
∴OP=40，OB==，
∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20（m），
故选D．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．
9、B
【分析】
由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．
10、C
【分析】
根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．
【详解】
解：∵∠BOC=130°，
∴∠BDC=∠BOC=65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°-65°=25°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
二、填空题
1、
【分析】
设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，先证明△EMC≌△FMA得ME=MF，从而可得∠CBD=45°，∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°，再在Rt△BCD、Rt△CDM中，分别求出BD和DM，即可得到答案．
【详解】
解：设BN与AC交于D，过M作MF⊥BA于F，过M作ME⊥BC于E，连接AM，如图：

∵△ABC绕着点C逆时针旋转60°，
∴∠ACM=60°，CA=CM，
∴△ACM是等边三角形，
∴CM=AM①，∠ACM=∠MAC=60°，
∵∠B=90°，AB=BC=1，
∴∠BCA=∠CAB=45°，AC==CM，
∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=105°，∠BAM=∠CAB+∠MAC=105°，
∴∠ECM=∠MAF=75°②，
∵MF⊥BA，ME⊥BC，
∴∠E=∠F=90°③，
由①②③得△EMC≌△FMA，
∴ME=MF，
而MF⊥BA，ME⊥BC，
∴BM平分∠EBF，
∴∠CBD=45°，
∴∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°，
Rt△BCD中，BD=BC=，
Rt△CDM中，DM=CM =，
∴BM=BD+DM=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质、等边三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠CDB=90°．
2、3
【分析】
过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，根据圆周角定理可得∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，再由等腰三角形的性质可知BE=CE=6，根据相似三角形的判定证明△ABE∽△CDF，由相似三角形的性质和勾股定理分别求得AE、DF、CF， AF即可求解．
【详解】
解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，
∵＝， AB＝10，
∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，
∵AE⊥BC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴，
∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE∽△CDF，
∴，
∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，
∴，
解得：DF=3，CF=4，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，
则，
∴AD=DF+AF=3＋2，
故答案为：3＋2．

【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
3、以点为圆心，8厘米长为半径的圆
【分析】
由题意直接根据圆的定义进行分析即可解答．
【详解】
到点的距离等于8厘米的点的轨迹是：以点为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以点为圆心，8厘米长为半径的圆．
【点睛】
本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键，注意掌握圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合．
4、2
【分析】
连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】
解：连接OC，

∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠COH=2∠A=60°，
∵弦CD⊥AB于H，
∴∠OHC=90°，
∴∠OCH=30°，
∵OH=1，
∴OC=2OH=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了垂径定理和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
5、 (-2，3)
【分析】
根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解．
【详解】
点(2，-3)关于原点的对称点的坐标是(-2，3)．
故答案为: （-2，3）．
【点睛】
本题主要考查点关于原点对称，解决本题的关键是要熟练掌握关于原点对称点的坐标的关系．
三、解答题
1、
（1）8
（2）
（3）或．
【分析】
（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝CH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．
（1）
如图2，过点O作OH⊥AC于点H，

由垂径定理得：AH＝CH＝AC，
在Rt△OAH中，，
∴设OH＝3x，AH＝4x，
∵OH2+AH2＝OA2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），
∴OH＝3，AH＝4，
∴AC＝2AH＝8；
（2）
如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，

∵∠DEO＝∠AEC，
∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；

，
∴∠ACD≠∠DOE
∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，
∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，
∴OD∥AC，
∴，
∵OD＝OA＝5，AC＝8，
∴，
∴，
∵∠AGE＝∠AHO＝90°，
∴GE∥OH，

∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在Rt△CEG中，；
（3）
当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，

由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8，
∵OE＝1，
∴AE＝4，ME＝6，
∵EG∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴AG＝，EG＝，
∴GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝2；
当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G，

同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝，
综上所述：AD的长是或
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键．
2、（1），，将三等分；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据题意即可得；
（2）先证明与全等，然后根据全等的性质可得，再由圆的切线的性质可得，可得三个角相等，即可证明结论；
（3）连，延长与相交于点，由（2）结论可得，再由切线的性质，，然后利用勾股定理及线段间的数量关系可得，最后利用相似三角形的判定和性质求解即可得．
【详解】
解：（1），，将三等分，
故答案为：；，将三等分，
（2）证明：在与中，
，
，
．
，
是的切线．
、都是的切线，
，
，
，将三等分．
（3）如图，连，延长与相交于点，

由（2），知．
是的切线，
，
，．
∵半径，
∴由勾股定理得，在中，
，，
．
∵，
，
，
，即，
．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质，勾股定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．
3、（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）如图，过作 垂足分别为 连接证明 四边形为正方形，可得 证明 可得答案；
（2）先求解 再结合（1）的结论可得答案；
（3）如图，连接 先求解 再证明 再求解 可得 再利用弧长公式计算即可.
【详解】
解：（1）如图，过作 垂足分别为 连接





四边形为矩形，
由勾股定理可得： 而

四边形为正方形，

而

（2）如图，过作 垂足分别为

由（1）得：四边形为正方形，

OA＝2，∠OAB＝15°，



（3）如图，连接










【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弧长的计算，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键.
4、
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
（1）
证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
（2）
解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD=6，
∴DF=FC=3．
在Rt△OFD中，OF=AE=4，
∴，
在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，
∴，
∴AD的长是．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
5、（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）连接OD，由与AB相切得，由HL定理证明由全等三角形的性质得，即可得证；
（2）设的半径为，则，在中，得出关系式求出，可得出的长，在中，由正切值求出，在中，由勾股定理求出即可．
【详解】
（1）

如图，连接OD，
∵与AB相切，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）设的半径为，则，
在中，，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，即，
在中，．
【点睛】
本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．