甘肃省会宁县第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

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命题人： 审题人： （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一．选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 由①是一次函数；②的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是（ ）
A. ③②①B. ③①②C. ①②③D. ①③②
4. （ ）
A. B. C. D.
5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）.
A．假设三内角都不大于60度； B．假设三内角至多有两个大于60度；
C．假设三内角至多有一个大于60度； D．假设三内角都大于60度.
6. 将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A. 16种B. 12种C. 9种D. 6种
7. 设曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8. 用数学归纳法证明:当时,等式左边应在的基础上加上（ ）
A. B. C. D.
9. 如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是( )
A. 在区间（-2,1）上是增函数 B. 在区间（1,3）上是减函数
C. 在区间（4,5）上是增函数 D. 当时，取极大值
10. 已知，为的导函数，则的图象是（ ）
A. B. C D.
11. 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有（ ）
A. 20种B. 24种C. 32种D. 48种
12．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 曲线和直线围成的图形面积是______.
14. 已知边长分别为a，b，c的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，则三角形OAB，OBC，OAC的面积分别为，由得，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为，，，，则内切球的半径______．
15.已知复数，则值是______________．
16. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 已知a，b，c是不全相等的实数，求证：.
18．已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
19．已知复数（是虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求的值和；
（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围.
20．2020年初，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家人与省专家组一起赶赴武汉参加救助工作，该医院现有名护理专家，，，名外科专家，，，，，名心理治疗专家，.
（1）求人中有1位外科专家，1位心理治疗师的选法有多少种?
（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的选法有多少种?
21.已知函数（）．
（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数在处取得极值，，恒成立，求实数的最大值．
22. 已知函数 .
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：；
（3）判断曲线是否位于轴下方，并说明理由.
会宁一中2020-2021学年高二第二学期数学期中试卷参考答案
一．选择题
填空题
13. 14.
15. 0 16.
三、解答题
17. ，，，
即，当且仅当等号成立，
a，b，c是不全相等的实数，
.
18. （1），
令，得，所以的减区间为.
（2）由（1），令，得或知：，为增函数，
，为减函数，，为增函数.
，，，.
所以在区间上的最大值为，最小值为.
19.（1）由题复数（是虚数单位），
化简
若是纯虚数，则 ，解得 此时 所以.
（2）由（1）可知，所以
又因为复数在复平面上对应的点位于第二象限
所以 ，即
20,（1）设选出的人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗师为事件，
则满足事件的情况共有种；
（2）设选出的人参加救助工作中至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选为事件，
则满足事件的情况为： ①当选择时，
当有位外科专家时，共有种情况；
当有位外科专家时，共有种情况；
当有位外科专家时，共有种情况；
②当不选择时，
当有位外科专家时，共有种情况；
当有位外科专家时，共有种情况；
当有位外科专家时，共有种情况；
综上：满足事件的情况共有种情况；
21.（1）的定义域为（0，），
.
当时，在（0，）上恒成立，函数在（0，）上单调递减.
∴（0，）上没有极值点.
当时，由，得；
由，得，
∴在（0，）上递减，在（，）上递增，即在处有极小值.
综上，当时，在（0，）上没有极值点；
当时，在（0，）上有一个极值点.
（2）∵函数在处取得极值，
∴，则，从而.
因此，
令，则， 令，得，
则在（0，）上递减，在（，）上递增，
∴，即. 故实数的最大值是.
22.函数的定义域为， .
（1），又，
曲线在处的切线方程为
，
即.
（2）“要证明”等价于“”
设函数.
令，解得.
因此，函数的最小值为.故. 即.
（3）曲线位于轴下方. 理由如下：
由（2）可知，所以.
设，则. 令得；令得.
所以在上为增函数，上为减函数.
所以当时，恒成立,当且仅当时，.
又因为， 所以恒成立.
故曲线位于轴下方.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
A
C
B
D
D
B
D
C
C
A C D