专题提升（10）　以等腰三角形和直角三角形为背景的计算与证明学案

这是一份专题提升（10）　以等腰三角形和直角三角形为背景的计算与证明学案，共8页。
专题提升(十)　以等腰三角形和直角三角形为背景的计算与证明类型之一　以等腰三角形为背景的计算与证明(人教版八上P82习题第7题)如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.求∠DBC的度数．  【思想方法】　等腰三角形的性质常与线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角的度数，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中边的计算问题．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.(1)求证：△ABD是等腰三角形；(2)若∠A＝36°，求∠BDC的度数；(3)若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．  2．[2018·荆门]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边三角形BDE，连接AD，CD.(1)求证：△ADE≌△CDB；(2)若BC＝，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值．  [2020·原创](1)如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系为________________；(2)如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在边BC上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；(3)如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．  类型之二　以直角三角形为背景的计算与证明(人教版八下P29习题第14题)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．求证：AE2＋AD2＝2AC2.(提示：连接BD)  【思想方法】　“等腰直角三角形的两腰相等，两底角等于45°”的性质在几何计算与证明中应用广泛，常常与直角三角形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质综合运用，解答时证明三角形全等是关键．1．[2019·毕节]三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是________．2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件________________，使△AEH≌△CEB.3．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一直线上，连接BD.(1)求证：△BAD≌△CAE；(2)试猜想BD与CE之间的位置关系，并证明．  4．[2019·烟台改编]如图，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D在同一直线上，连接AD，BD.(1)请探究AD与BD之间的位置关系；(2)若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求线段AD的长．  5．[2019·绍兴]如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.(1)在旋转过程中：①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点在同一直角三角形的顶点时，求AM的长；(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．①　　②  如图，已知∠ABC＝90°，点A，B，D在同一条直线上，AD＝BC.(1)如图①，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；(2)如图②，点B，C，E在同一条直线上，且CE＝BD，直线AE，CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．①　②  参考答案【教材母题】　30°【中考变形】1．(1)略　(2)72°　(3)322．(1)略　(2)BH＋EH的最小值为3【中考预测】(1)BC＝EC＋DC(2)BD2＋CD2＝2AD2，证明略(3)6【教材母题】　略【中考变形】1．15－5　2.AE＝CE(答案不唯一)3．(1)略　(2)BD⊥CE，证明略4．(1)AD⊥BD　(2)45．(1)①AM＝20　②10　(2)BD2＝30【中考预测】(1)△CDF是等腰直角三角形．证明略．(2)∠APD＝45°，是一个固定的值．