专题强化练1 等差数列的综合运用-2022版数学选择性必修第二册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

专题强化练1　等差数列的综合运用

一、选择题

1.(2021山西大学附中高二上模块诊断,)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,若am+1+am+am-1=15,且Sm=27,则m的值是              (　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

2.(2021江苏连云港高二上期末,)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得的面包个数成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最大的一份为              (　　)

A. B. C. D.

3.(2021河南新乡高二上期中,)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17<0,S18>0,则当Sn取得最小值时,n的值为              (　　)

A.8 B.9 C.16 D.17

4.(多选)(2021山东莱州一中高二上月考,)数列{an}满足an+1=,a1=1,则下列说法正确的是              (　　)

A.数列是等差数列

B.数列{an}有最小项

C.数列{an}的通项公式为an=2n-1

D.数列{an}为递减数列

5.(多选)(2020山东潍坊高二上期末,)设数列{an}是等差数列,公差为d,Sn是其前n项和,a1>0且S6=S9,则(　　)

A.d>0 

B.a8=0

C.S7和S8均为Sn的最大值 

D.S5>S6

6.(2020上海七宝中学高一下期中,)有一个三人报数游戏:首先A报数字1,然后B报两个数字2、3,接下来C报三个数字4、5、6,然后轮到A报四个数字7、8、9、10,依次循环,直到报出数字10 000,则A报出的第2 020个数字为              (　　)

A.5 979 B.5 980

C.5 981 D.以上都不对

二、填空题

7.(2021陕西西安一中高二上期中,)在等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则该数列的前13项和S13等于　　　　. 

8.(2020辽宁沈阳高三上教学质量检测,)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=10,S4=72.数列{bn}中,b1=2,bnbn+1=-2,则a1b2 000=　　　　. 

9.(2020河南濮阳高二上期末,)若数列{an}满足a1=0,a2=1,a3=3,且{an+1-an}为等差数列,则an=　　　　. 

10.(2021福建泉州高二上质量监测,)设正项数列{an}的前n项和Sn=an(an+3),则an=　　　　;若对任意的n∈N+,不等式2Sn+48≥(-1)nkan恒成立,则k的取值范围是　　　　. 

三、解答题

11.(2021广东广州高二上期末,)从①a4+a5=-4,②a2+a6=-6,③S7=14这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的k存在,求出k的值;若k不存在,说明理由.

问题:已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7=3,　　　　,是否存在k,使得Sk-1>Sk且Sk<Sk+1? 

12.(2020山东高考第一次模拟,)已知Sn为数列{an}的前n项和,an>0,+2an=4Sn+3,且anbn=1.求:

(1)数列{bn}的通项公式;

(2)满足b1b2+b2b3+…+bnbn+1<的n的最大值.

答案全解全析

专题强化练1　等差数列的综合运用

一、选择题

1.C　∵{an}是等差数列,∴am+1+am+am-1=3am=15,∴am=5,∴Sm===27,解得m=9.故选C.

2.A　设5人分到的面包个数从小到大构成数列{an},其公差为d,依题意可得即解得则a5=a1+4d=.故选A.

3.B　由S17<0,S18>0可得

所以a9<0,a10>0,设等差数列{an}的公差为d,则d=a10-a9>0,所以{an}为递增数列,所以当n≤9时,an<0;当n≥10时,an>0,所以当Sn取得最小值时,n=9.故选B.

4.AD　因为an+1=,a1=1,所以==2+,即-=2,所以是以1为首项,2为公差的等差数列,故A正确;

所以=1+2(n-1)=2n-1,则an=,故C错误;

所以数列{an}为递减数列,故D正确;

所以数列{an}有最大项,无最小项,故B错误.故选AD.

5.BC　由S6=S9,得S9-S6=0,即a7+a8+a9=0,又a7+a9=2a8,∴3a8=0,∴a8=0,∴B正确;

由a8=a1+7d=0,得d=-,又a1>0,∴d<0,∴数列{an}是递减数列,

∴∴S7和S8均为Sn的最大值,∴A错误,C正确;

∵S6-S5=a6>0,∴S6>S5,∴D错误.

故选BC.

6.答案　B

信息提取　①A第n(n∈N+)次报数的个数为3n-2;②B每次比A多报1个数,C每次比B多报1个数;③求A报出的第2 020个数字.

数学建模　以三人报数游戏为背景,建立等差数列模型,应用等差数列模型解决求值问题.首先分析出A第n次报数的个数,然后求出3人总共报的次数,最后利用等差数列前n项和公式求出结果.

解析　由题意得A第n(n∈N+)次报数的个数为3n-2,

则A第n次报完数后A总共报数的个数Tn==,

令Tn≥2 020,解得n≥或n≤(舍去),又n∈N+,所以n的最小值为37,则T37==2 035,

当A第37次报数时,3人总共报了36×3+1=109(次),

当第109次报完数时,3人总的报数个数为1+2+3+…+109==5 995,

即A报出的第2 035个数字为5 995,故A报出的第2 020个数字为5 980.故选B.

二、填空题

7.答案　26

解析　由等差数列的性质,可得a1+a4+a7=3a4,a9+a11=2a10,

所以2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=6a4+6a10=12a7=24,解得a7=2,

所以数列{an}的前13项和S13===13a7=26.

8.答案　21

解析　设{an}的公差为d,

∵S4==2(a1+a4)=72,

∴a1+a4=36,

又a1+a3=10,

∴a4-a3=d=26,

又a1+a3=2a1+2d=10,

∴a1=-21.

∵bnbn+1=-2,

∴bn≠0,

∴bn+1=-,

∴bn+2=-=-=bn,

∴{bn}是以2为周期的周期数列,

∴b2 000=b2=-=-1,∴a1b2 000=21.

9.答案　

解析　设等差数列{an+1-an}的公差为d,由题意得a2-a1=1,a3-a2=2,∴公差d=2-1=1,

∴an-an-1=1+(n-2)×1=n-1(n≥2,n∈N+),

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=0+1+2+3+…+(n-1)==(n≥2,n∈N+),经检验,a1=0满足上式,∴an=(n∈N+).

10.答案　3n;-≤k≤9

解析　因为Sn=an(an+3)=+an①,

所以Sn-1=+an-1(n≥2)②,

①-②,得Sn-Sn-1=(-)+(an-an-1)(n≥2),

则(an+an-1)=(-)=(an+an-1)(an-an-1)(n≥2),

因为{an}为正项数列,所以an+an-1>0,则an-an-1=3(n≥2),

由a1=S1=a1(a1+3),解得a1=3(a1=0舍去),因此数列{an}是以3为首项,3为公差的等差数列,因此an=3n,

所以Sn=×3n×(3n+3)=,

因为对任意的n∈N+,不等式2Sn+48≥(-1)nkan恒成立,

所以对任意的n∈N+,不等式3n(n+1)+48≥(-1)nk×3n恒成立,

即对任意的n∈N+,不等式n+1+≥(-1)nk恒成立,

令f(n)=n+1+,则f(n+1)-f(n)=1+-=1-.

易知当n≥4时,f(n+1)-f(n)=1->0,此时f(n+1)>f(n),即f(n)单调递增;

当n≤3时,f(n+1)-f(n)=1-<0,此时f(n+1)<f(n),即f(n)单调递减.

又f(3)=,f(4)=9,f(5)=,

所以f(n)min=f(4)=9,且f(5)<f(3).

故当n为偶数时,n+1+≥k,即k≤f(n),因此只需k≤f(4)=9;

当n为奇数时,n+1+≥-k,即k≥-f(n),因为n为奇数时,f(n)min=f(5)=,因此只需k≥-.

综上,-≤k≤9.

三、解答题

11.解析　若存在k,使得Sk-1>Sk且Sk<Sk+1,则ak<0,ak+1>0.设等差数列{an}的公差为d.

选择条件①:

由得

解得

所以an=-9+2(n-1)=2n-11(n∈N+).令an<0,得n<,所以当k=5时,满足a5<0,a6>0,所以k=5满足题意.

选择条件②:

由得

解得

所以an=-9+2(n-1)=2n-11(n∈N+).

由an<0,得n<.所以当k=5时,满足a5<0,a6>0,所以k=5满足题意.

选择条件③:

由得解得

所以an=1+(n-1)=n+(n∈N+).易知an>0恒成立,所以不存在满足条件的k.

12.解析　(1)∵+2an=4Sn+3①,∴当n=1时,+2a1=4S1+3,又S1=a1,∴-2a1-3=0,解得a1=3或a1=-1.∵an>0,∴a1=3.

当n≥2时,+2an-1=4Sn-1+3②,

①-②整理得an-an-1=2(n≥2,n∈N+),

∴数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,∴an=3+(n-1)×2=2n+1,

∵anbn=1,∴bn=.

(2)设cn=bnbn+1,则cn=

=,

所以b1b2+b2b3+…+bnbn+1

=

=,

令<,解得n<9,n∈N+,所以n的最大值为8.