高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册4 数列在日常经济生活中的应用课后复习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册4 数列在日常经济生活中的应用课后复习题，共5页。试卷主要包含了现存入银行8万元,年利率为2等内容，欢迎下载使用。

题组一 等差数列模型
1.按活期存入银行10 000元,年利率是0.72%,那么按照单利,第5年年末的本利和是( )

A.10 360元B.10 280元
C.10 430元D.10 260元
2.某人在一年12个月中,每月10日向银行存入1 000元,假设银行的月利率为5‰(按单利计算),则到第二年的1月10日,此项存款一年的利息和是(深度解析)
A.5×(1+2+3+…+12)元
B.5×(1+2+3+…+11)元
C.1 000×[1+5‰+(5‰)2+…+(5‰)11]元
D.1 000×[1+5‰+(5‰)2+…+(5‰)12]元
3.某城市2011年有200万人口,该年医疗费用投入10亿元,此后10年该城市每年新增10万人口,医疗费用投入每年新增m亿元,已知2021年该城市医疗费用人均投入1 000元,则m的值为( )
A.2B.4
C.6D.8
题组二 等比数列模型
4.某工厂去年产值为a,计划今后5年内每年比上年产值增加10%,这5年的最后一年该厂的总产值是( )
D.(1+1.15)a
5.现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用一年期自动转存业务,则第十年年末的本利和为(深度解析)
A.8×1.0258万元B.8×1.0259万元
C.8×1.02510万元 D.8×1.02511万元
6.(2020湖北孝感重点高中高一下联考)为全力抗战疫情,响应政府“停课不停学”的号召,市教育局发布了《孝感市关于疫情防控期间组织学生开展在线教学的实施方案》,根据要求,全市中小学按照教学计划,开展在线课程教学和答疑.某高一学生家长于3月份在某购物平台采用分期付款的方式购买了一台价值m元的平板电脑给其进行网上学习.该分期付款期限为12个月,从下个月(即4月)开始偿还,分12次等额还清.若购物平台按月利息为p的复利计息(复利:将一月后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该家长每个月偿还的金额是( 易错 )
A.m12元B.mp(1+p)12(1+p)12-1元
C.m(1+p)1212元D.mp(1+p)13(1+p)13-1元
7.(2021陕西咸阳高二上期末)某病毒研究所为了更好地研究新冠病毒,计划改建五个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费用和设备费用.设备费用(单位:万元)从第一到第五实验室依次构成等比数列,已知第一实验室的设备费用(单位:万元)为3,第三实验室的设备费用(单位:万元)为12,则该研究所改建这五个实验室投入的设备费用(单位:万元)为 .
8.某商店采用分期付款的方式促销一款单价为6 000元的电脑.商店规定,购买时先支付货款的13,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息.
(1)已知欠款的月利率为0.5%,到第一个月月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元?
(2)假设货主每个月还商店a元,写出在第i(i=1,2,…,36)个月月末还款后,货主对商店欠款钱数的表达式.
题组三 数列与其他知识的综合应用
9.(2020河南八市重点高中联盟高二上联考)2019年9月1日,小刘从各个渠道融资30万元,在某大学投资了一个咖啡店,2020年1月1日正式开业,已知开业第一年的运营成本为6万元,由于工人工资不断增加及设备维修等,因此以后每年运营成本增加2万元,若每年的销售金额为30万元,用数列{an}表示前n年的纯收入(单位:万元).(注:纯收入=前n年的总收入-前n年的总支出-投资金额)
(1)试求年平均利润最大时的年份(年份取正整数)并求出最大年平均利润;
(2)当前n年的收入达到最大值时,小刘计划用前n年总收入的13对咖啡店重新装修,请问:小刘最早从哪一年对咖啡店重新装修(年份取整数)?并求小刘计划装修的费用.
10.(2021豫南九校高二上联考)某公司年初投资300万元购置口罩生产设备,立即投入生产,预计第一年该生产设备的使用费用为36万元,以后每年增加6万元,该生产设备每年可给公司带来121万元的收入.假设第n(n∈N+)年该生产设备产生的利润(利润=该年该生产设备给公司带来的收入-该年的使用费用)为an万元.
(1)写出an的表达式;
(2)在该生产设备运行若干整年后,该公司需要升级产品生产线,决定处置该生产设备,现有以下两种处置方案:
方案一,当总利润(总利润=各年的收入之和-各年的使用费用-购置口罩生产设备的成本)最大时,以7万元变卖该生产设备;
方案二,当年平均总利润最大时,以72万元变卖该生产设备.
请你为该公司选择一个合理的处置方案,并说明理由.
答案全解全析
§4 数列在日常经济生活中的应用
基础过关练
1.A 第5年年末的本利和是10 000+10 000×0.72%×5=10 000+360=10 360(元).故选A.
2.A 此项存款每月的利息(单位:元)构成以5为首项,5为公差的等差数列,则12个月的存款利息和为5×(1+2+3+…+12)元,故选A.
方法技巧
本题中的模型为零存整取模型,在零存整取模型中每期的本利和组成等差数列,即等差数列模型,因此求到期的本利和是一个求等差数列前n项和的问题.
3.A 从2011年起该城市的人口(单位:万)依次组成一个首项为200,公差为10的等差数列,到2021年,该城市的人口为200+(11-1)×10=300(万),故2021年的医疗费用投入为300×104×1 000=3×109(元),即30亿元,由于从2011年到2021年医疗费用投入钱数(单位:亿)组成一个首项为10,公差为m的等差数列,因此10+(11-1)×m=30,解得m=2,故选A.
4.B 去年产值是a,第一年要比去年产值增加10%,那么第一年产值为a+10%a,即(1+0.1)a,第二年又比第一年增加10%,所以第二年产值为(1+0.1)(1+0.1)a,依此类推,第五年产值为(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)a=1.15a.故选B.
5.C 由题意得,每年年末的本利和依次构成以1+2.50%=1.025为公比,8×1.025为首项的等比数列,所以第十年年末的本利和为8×1.025×1.02510-1=8×1.02510万元.故选C.
方法技巧
本题中的模型为定期自动转存模型,它在计算利息时以复利计算,是等比数列模型.
6.答案 B
信息提取 ①分期付款,分12次等额还清;②按月利息为p的复利计息;③求该家长每个月偿还的金额.
数学建模 以社会热点问题——停课不停学为背景,建立等比数列模型,将分期付款问题抽象成等比数列问题.设每个月偿还的金额都是x元,则m(1+p)12=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)12-1,解方程即得所求.
解析 设每个月偿还的金额都是x元,则根据题意有m(1+p)12=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)12-1,∴m(1+p)12=x·1-(1+p)121-(1+p),∴x=mp(1+p)12(1+p)12-1.
易错警示
分期付款问题中,若每次还款金额相同,且利息按复利计算,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和S=P(1+r)n元.
7.答案 93
解析 设第n(1≤n≤5,n∈N+)个实验室的设备费用(单位:万元)为an,公比为q,则q>0,由题意可得a1=3,a3=12,即a1=3,a1q2=12,解得a1=3,q=2或a1=3,q=-2(舍去),
所以改建这五个实验室投入的设备费用(单位:万元)为a1(1-q5)1-q=3×(1-25)1-2=93.
8.解析 (1)购买电脑时,货主欠商店23的货款,即6 000×23=4 000(元),
因为月利率为0.5%,所以到第一个月月底的欠款钱数为4 000×(1+0.5%)=4 020.
(2)设第i(i=1,2,…,36)个月月末还款后的欠款钱数为yi,
则y1=4 000×(1+0.5%)-a,
y2=(1+0.5%)y1-a=4 000×(1+0.5%)2-(1+0.5%)a-a,
y3=(1+0.5%)y2-a=4 000×(1+0.5%)3-(1+0.5%)2a-(1+0.5%)a-a,
……
yi=(1+0.5%)yi-1-a=4 000×(1+0.5%)i-(1+0.5%)i-1a-(1+0.5%)i-2a-…-a(i=1,2,…,36),
由等比数列的求和公式,得yi=4 000×(1+0.5%)i-a×(1+0.5%)i-10.5%(i=1,2,…,36).
9.解析 (1)由条件可知,每年的运营成本(单元:万元)构成首项为6,公差为2的等差数列,∴an=30n-6n+n(n-1)2×2-30=-n2+25n-30,
∴年平均利润(单位:万元)为ann=25-n+30n,
易知n+30n≥230,当且仅当n=30n,即n=30时取等号,
但n∈N+,所以n=5或n=6时,n+30n=11,此时ann取得最大值14.
∴到2024年或2025年,年平均利润最大,最大年平均利润为14万元.
(2)由(1)可得an=-n2+25n-30=-n-2522+5054(n∈N+),
当n=12或n=13时,an取得最大值126.∵126×13=42,
∴小刘最早从2032年对咖啡店重新装修,计划装修费用为42万元.
10.解析 (1)由题意可知第n(n∈N+)年的使用费用为[36+(n-1)×6]万元,
∴an=121-[36+(n-1)×6]=-6n+91,n∈N+.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=n(-6×1+91+91-6n)2=-3n2+88n.
若选择方案一,则总收入最大,即Sn最大,Sn=-3n2+88n=-3n-4432+4423,
∵14<443<15,S14=644,S15=645,
∴当n=15,即第15年时总利润最大,最大总利润为645-300+7=352(万元).
若选择方案二,则令bn=Sn-300n=-3n-300n+88=-3n+300n+88,
∴3n+300n≥2×900=60,当且仅当3n=300n,即n=10时取等号,
∴第10年时年平均总利润最大,此时总利润为S10-300+72=352(万元).
综上所述,两种方案的总利润一样,但是方案二只用了10年的时间,因此选择方案二.