重庆市九龙坡区2021-2022学年七年级上学期期末数学试卷(word版 含答案)
展开1.(4分)下面四个数中,负数是( )
A.1B.﹣3.14C.0D.+8
2.(4分)下列数字0.3⋅,﹣113,1.2,π,0,3.14,−111113中,有理数有( )个.
A.6B.5C.3D.7
3.(4分)下列运算正确的是( )
A.3a2﹣2a2=a2B.3a2﹣2a2=1C.3a2﹣a2=3D.3a2﹣a2=2
4.(4分)当分针指向12,时针这时恰好与分针成30°的角,此时是( )
A.9点钟B.9点钟
C.11点钟或1点钟D.2点钟或10点钟
5.(4分)如果多项式﹣2a+3b=5,则多项式6b﹣4a+2=( )
A.7B.﹣8C.12D.﹣12
6.(4分)计算:(﹣1)2022+(﹣1)2021的结果是( )
A.﹣2B.2C.0D.﹣1
7.(4分)下列是正方体展开图的是( )
A.B.
C.D.
8.(4分)已知关于x的方程3﹣(m+2)x|m|﹣1=0是一元一次方程,则m的值为( )
A.2B.﹣2
C.2或﹣2D.以上结果均不正确
9.(4分)根据如图所示的计算程序,若输出的值为﹣1,则输入的值x为( )
A.﹣3或2B.﹣3或﹣2C.2或﹣2D.﹣3或2或﹣2
10.(4分)《孙子算经》中有一道题,原文是:今有三人共车,二车空:二人共车,九人步,问人与车各几何?译文为:今有若干人乘车,每3人共乘一车,最终剩余2辆车;若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘,问共有多少人?设共有x人,则( )
A.x+23=x2−9B.x3+2=x−92C.x3−2=x+92D.x−23=x2+9
11.(4分)如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处分别标上数字0,1,2,3,先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合,再让圆沿着数轴向右滚动,那么数轴上的数2021将与圆周上的哪个数字重合( )
A.0B.1C.2D.3
12.(4分)如图,点G是AB的中点,点M是AC的中点,点N是BC的中点,则下列式子不成立的是( )
A.MN=GBB.CN=12(AG−GC)
C.GN=12(BG+GC)D.MN=12(AC+GC)
二、填空题:本大题6个小题,每题4分,共24分。把答案填写在答题卡相应的位置上。
13.(4分)中共中央、国务院印发的《成渝地区双城经济圈建设规划纲要》10月20日发布,规划纲要提出,成渝地区双城经济圈规划范围总面积为185000平方公里.数据185000用科学记数法表示为 .
14.(4分)单项式−2a2b5的系数是 .
15.(4分)150°角的补角为 度.
16.(4分)若nxmy3与﹣4x2yn是同类项,则m﹣n= .
17.(4分)如图,点O在直线AE上,OC平分∠AOE,∠DOB是直角,若∠1=25°,那么∠AOB的度数是 °.
18.(4分)一只猴子摘了一堆桃子,第一天它吃了这堆桃子的17,第二天它吃了余下桃子的16,第三天它吃了余下桃子的15,第四天它吃了余下桃子的14,第五天它吃了余下桃子的13,第六天它吃了余下桃子的12,这时还剩7只桃子,那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是 .
三、解答题:本大题7个小题,每题10分,共70分,解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19.(10分)计算:
(1)312+(−114)+(−312)+114+2;
(2)(﹣2)3+(﹣3)×[(﹣4)2×2÷12−14].
20.(10分)解方程:
(1)4x﹣3=2(x﹣1);
(2)x−x−22=1+2x−13.
21.(10分)先化简,再求值:2(a2b﹣3ab)﹣3(ab+2ba2﹣1),其中|a+2|+|b−13|=0.
22.(10分)小刘在某学校附近开了一家麻辣烫店,为了吸引顾客,于是想到了发送宣传单:刘氏麻辣烫店开业大酬宾,第一周每碗4.5元,第二周每碗5元,第三周每碗5.5元,从第四周,开始每碗6元.月末结算时,每天以50碗为标准,多卖的记为正,少卖的记为负,则这四周的销售情况如表(表中数据为该周每天的平均销售情况):
(1)根据表,请求出:刘氏麻辣烫店开业大酬宾后第二周的销售额是多少?
(2)每碗麻辣烫的成本为2元碗,为了拓展学生消费群体,第四周后,小刘又决定实行两种优惠方案:
方案一:凡来店中吃麻辣烫者,每碗附赠一瓶1元的矿泉水;
方案二:凡一次性购买3碗以上的,可免费送货上门,但每次需给送货员支付人工费2元.若有人一次性购买4碗,小刘更希望以哪种方案卖出?
23.(10分)观察下列两个等式:2−13=2×13+1,5−23=5×23+1,给出定义如下:我们称使等式a﹣b=ab+1成立的一对有理数“a,b”为“共生有理数对”,记为(a,b),如:数对(2,13),(5,23)都是“共生有理数对”.
(1)通过计算判断数对(1,2)是不是“共生有理数对”;
(2)若(a,3)是“共生有理数对”,求a的值;
(3)若(m,n)是“共生有理数对”,则(﹣n,﹣m) “共生有理数对”(填“是”或“不是”);
(4)如果(m,n)是“共生有理数对”(其中n≠1),直接用含n的式子表示m.
24.(10分)已知∠AOB,过顶点O作射线OP,若∠BOP=12∠AOP,则称射线OP为∠AOB的“好线”,因此∠AOB的“好线”有两条,如图1,射线OP1,OP2都是∠AOB的“好线”.
(1)已知射线OP是∠AOB的“好线”,且∠BOP=30°,求∠AOB的度数.
(2)如图2,O是直线MN上的一点,OB,OA分别是∠MOP和∠PON的平分线,已知∠MOB=30°,请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”.
(3)如图3,已知∠MON=120°,∠NOB=40°.射线OP和OA分别从OM和OB同时出发,绕点O按顺时针方向旋转,OP的速度为每秒12°,OA的速度为每秒4°,当射线OP旋转到ON上时,两条射线同时停止.在旋转过程中,射线OP能否成为∠AOB的“好线”.若不能,请说明理由;若能,请求出符合条件的所有的旋转时间.
25.(10分)三峡广场的甲、乙两家商店分别以相同的单价购进一批同种商品.经预测,甲店如果在进价的基础上提高60%的售价卖出,平均每天将卖出25件,30天能获利润22500元.为尽快回收资金,甲店决定将每件商品降价t%卖出,结果平均每天比降价前多卖出50件,这样30天仍获利润22500元.
(1)求该商品的购进单价和甲店的预定售价;
(2)求t值;
(3)如果乙店也以甲店的预定售价卖出,平均每天将卖出20件,若每件降价5元销售,平均每天卖出去的件数将增加2件.最后乙店决定降价m元进行销售,试用含m的代数式表示乙店一个月(30天)所获得的利润;并判断当m=20时,甲、乙哪家商店一个月所获得的利润更多.
四、解答题:本大题1个小题,共8分。解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤,请将解答过程书写在答题卡中相应的位置上。
26.(8分)如图,点A、O、C、B为数轴上的点,O为原点,A表示的数是﹣8,C表示的数是2,B表示的数是6.我们将数轴在点O和点C处各弯折一次,弯折后CB与AO处于水平位置,线段OC处产生了一个坡度,我们称这样的数轴为“折坡数轴”,其中O为“折坡数轴”原点,在“折坡数轴”上,每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数.记AB为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离:即AB=AO+OC+CB,其中AO、OC、CB代表线段的长度.
(1)若点T为“折坡数轴”上一点,且TA+TB=16,请求出点T所表示的数;
(2)定义“折坡数轴”上,上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半,下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍.动点P从点A处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点O,再上坡移动,当移到点C时,立即掉头返回(掉头时间不计),在点P出发的同时,动点Q从点B处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C,再下坡到点O,然后再沿OA方向移动,当点P重新回到点A时所有运动结束,设点P运动时间为t秒,在移动过程中:
①点P在第 秒时回到点A;
②当t= 时,PQ=2PO.(请直接写出t的值)
参考答案
一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的代号填涂在答题卡上。
1.(4分)下面四个数中,负数是( )
A.1B.﹣3.14C.0D.+8
【分析】根据小于0的数是负数即可求解.
【解答】解:A.1是正数,故本选项不合题意;
B.﹣3.14是负数,故本选项符合题意;
C.0既不是正数,也不是负数,故本选项不合题意;
D.+8是正数,故本选项不合题意.
故选:B.
2.(4分)下列数字0.3⋅,﹣113,1.2,π,0,3.14,−111113中,有理数有( )个.
A.6B.5C.3D.7
【分析】根据有理数的定义即可得出结论.
【解答】解:在0.3⋅,﹣113,1.2,π,0,3.14,−111113中,有理数有0.3⋅,﹣113,1.2,0,3.14,−111113,共6个.
故选:A.
3.(4分)下列运算正确的是( )
A.3a2﹣2a2=a2B.3a2﹣2a2=1C.3a2﹣a2=3D.3a2﹣a2=2
【分析】合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.
【解答】解:A.3a2﹣2a2=a2,故本选项符合题意;
B.3a2﹣2a2=a2,故本选项不符合题意;
C.3a2﹣a2=2a2,故本选项不符合题意;
D.3a2﹣a2=2a2,故本选项不符合题意;
故选:A.
4.(4分)当分针指向12,时针这时恰好与分针成30°的角,此时是( )
A.9点钟B.9点钟
C.11点钟或1点钟D.2点钟或10点钟
【分析】根据时钟上一大格为30°判断即可.
【解答】解:当分针指向12,时针这时恰好与分针成30°的角,此时是11点钟或1点钟,
故选:C.
5.(4分)如果多项式﹣2a+3b=5,则多项式6b﹣4a+2=( )
A.7B.﹣8C.12D.﹣12
【分析】观察题中的两个代数式﹣2a+3b和6b﹣4a+2,可以发现,6b﹣4a+2=2(﹣2a+3b)+2,代入即可求解.
【解答】解:∵﹣2a+3b=5,
∴6b﹣4a+2=2(﹣2a+3b)+2=2×5+2=12.
故选:C.
6.(4分)计算:(﹣1)2022+(﹣1)2021的结果是( )
A.﹣2B.2C.0D.﹣1
【分析】先算乘方,然后算加法即可.
【解答】解:(﹣1)2022+(﹣1)2021
=1+(﹣1)
=0,
故选:C.
7.(4分)下列是正方体展开图的是( )
A.B.
C.D.
【分析】根据正方体的表面展开图分析可得答案.
【解答】解:A.会有两个面重合,故不符合题意;
B.根据正方体的展开图可得能折成正方体,故符合题意;
C.会有两个面重合,故不符合题意;
D.无法折成正方体,故不符合题意.
故选:B.
8.(4分)已知关于x的方程3﹣(m+2)x|m|﹣1=0是一元一次方程,则m的值为( )
A.2B.﹣2
C.2或﹣2D.以上结果均不正确
【分析】根据一元一次方程的定义解答即可.
【解答】解:∵关于x的方程3﹣(m+2)x|m|﹣1=0是一元一次方程,
∴m+2≠0|m|−1=1,
解得:m=2.
故选:A.
9.(4分)根据如图所示的计算程序,若输出的值为﹣1,则输入的值x为( )
A.﹣3或2B.﹣3或﹣2C.2或﹣2D.﹣3或2或﹣2
【分析】分x>0和x<0两种情况讨论,即可得出答案.
【解答】解:当x>0时,x﹣3=﹣1,
∴x=2,
当x<0时,x+2=﹣1,
∴x=﹣3,
∴x=2或﹣3,
故选:A.
10.(4分)《孙子算经》中有一道题,原文是:今有三人共车,二车空:二人共车,九人步,问人与车各几何?译文为:今有若干人乘车,每3人共乘一车,最终剩余2辆车;若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘,问共有多少人?设共有x人,则( )
A.x+23=x2−9B.x3+2=x−92C.x3−2=x+92D.x−23=x2+9
【分析】根据车的辆数不变,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
【解答】解:依题意,得:x3+2=x−92.
故选:B.
11.(4分)如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处分别标上数字0,1,2,3,先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合,再让圆沿着数轴向右滚动,那么数轴上的数2021将与圆周上的哪个数字重合( )
A.0B.1C.2D.3
【分析】分别找出圆周上数字0,1,2,3与数轴上的数重合的数字规律即可解答.
【解答】解:先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合,再让圆沿着数轴向右滚动,
则圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2,2,6...﹣2+4n,
圆周上数字1所对应的点与数轴上的数﹣1,3,7...﹣1+4n,
圆周上数字2所对应的点与数轴上的数0,4,,
圆周上数字3所对应的点与数轴上的数1,5,+4n,
∵2021=1+4×505,
∴数轴上的数2021与圆周上数字3重合,
故选:D.
12.(4分)如图,点G是AB的中点,点M是AC的中点,点N是BC的中点,则下列式子不成立的是( )
A.MN=GBB.CN=12(AG−GC)
C.GN=12(BG+GC)D.MN=12(AC+GC)
【分析】由中点的定义综合讨论,一一验证得出结论.
【解答】解:A、∵点G是AB的中点,点M是AC的中点,点N是BC的中点,
∴GB=12AB,MC=12AC,NC=12BC,
∴MN=MC+NC=12AC+12BC=12AB,
∴MN=GB,故A选项不符合题意;
B、∵点G是AB的中点,
∴AG=BG,
∴AG﹣GC=BG﹣GC=BC,
∵NC=12BC,
∴NC=12(AG﹣GC),故B选项不符合题意;
C、∵BG+GC=BN+NC+CG+GC=2CN+2CG=2GN,
∴GN=12(BG+GC),故C选项不符合题意;
D、∵MN=12AB,AB=AC+CB,
∴MN=12(AC+CB),
∵题中没有信息说明GC=BC,
∴MN=12(AC+GC)不一定成立,故D选项符合题意.
故选:D.
二、填空题:本大题6个小题,每题4分,共24分。把答案填写在答题卡相应的位置上。
13.(4分)中共中央、国务院印发的《成渝地区双城经济圈建设规划纲要》10月20日发布,规划纲要提出,成渝地区双城经济圈规划范围总面积为185000平方公里.数据185000用科学记数法表示为 1.85×105 .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.
【解答】解:185000=1.85×105.
故答案为:1.85×105.
14.(4分)单项式−2a2b5的系数是 −25 .
【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数求解.
【解答】解:单项式−2a2b5的系数是:−25.
故答案为:−25.
15.(4分)150°角的补角为 30 度.
【分析】根据如果两个角的和等于180°,那么这两个角叫互为补角计算即可.
【解答】解:∵180°﹣150°=30°,
∴150°角的补角为30°.
故答案为:30.
16.(4分)若nxmy3与﹣4x2yn是同类项,则m﹣n= ﹣1 .
【分析】根据同类项的定义(所含字母相同,相同字母的指数相同)求出m,n的值,再代入代数式计算即可.
【解答】解:因为nxmy3与﹣4x2yn是同类项,
所以m=2,n=3,
所以m﹣n=2﹣3=﹣1.
故答案为:﹣1.
17.(4分)如图,点O在直线AE上,OC平分∠AOE,∠DOB是直角,若∠1=25°,那么∠AOB的度数是 25 °.
【分析】由点O在直线AE上,得∠AOE=180°.由OC平分∠AOE,得∠AOC=12∠AOE=90°.由∠DOB是直角,根据同角的余角相等得∠AOB=∠COD,从而解决此题.
【解答】解:∵点O在直线AE上,
∴∠AOE=180°.
∵OC平分∠AOE,
∴∠AOC=12∠AOE=90°.
∴∠AOB+∠BOC=90°.
∵∠DOB是直角,
∴∠DOB=∠BOC+∠COD=90°.
∴∠AOB=∠1=25°.
故答案为:25.
18.(4分)一只猴子摘了一堆桃子,第一天它吃了这堆桃子的17,第二天它吃了余下桃子的16,第三天它吃了余下桃子的15,第四天它吃了余下桃子的14,第五天它吃了余下桃子的13,第六天它吃了余下桃子的12,这时还剩7只桃子,那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是 14只 .
【分析】设这堆桃子共有x只,则前六天每天吃了17x只桃子,还剩下17x只桃子,由还剩7只桃子,可得出17x=7,再将其代入17x+17x中即可求出第一天和第二天猴子所吃桃子的总数.
【解答】解:设这堆桃子共有x只,则第一天吃了17x只桃子,第二天吃了16(x−17x)=17x只桃子,第三天吃了15(x−17x−17x)=17x只桃子,第四天吃了14(x−17x−17x−17x)=17x只桃子,第五天吃了13(1−17x−17x−17x−17x)=17x只桃子,第六天吃了12(x−17x−17x−17x−17x−17x)=17x只桃子,还剩下x−17x−17x−17x−17x−17x−17x=17x只桃子,
依题意得:17x=7,
∴第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是17x+17x=7+7=14.
故答案为:14只.
三、解答题:本大题7个小题,每题10分,共70分,解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19.(10分)计算:
(1)312+(−114)+(−312)+114+2;
(2)(﹣2)3+(﹣3)×[(﹣4)2×2÷12−14].
【分析】(1)根据加法交换律与结合律,将相反数结合在一起,再计算即可;
(2)先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.
【解答】解:(1)312+(−114)+(−312)+114+2
=(312−312)+(﹣114+114)+2
=2;
(2)(﹣2)3+(﹣3)×[(﹣4)2×2÷12−14]
=﹣8+(﹣3)×(16×2×2﹣1)
=﹣8+(﹣3)×(64﹣1)
=﹣8+(﹣3)×63
=﹣8﹣189
=﹣197.
20.(10分)解方程:
(1)4x﹣3=2(x﹣1);
(2)x−x−22=1+2x−13.
【分析】(1)方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可;
(2)方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可.
【解答】解:(1)4x﹣3=2(x﹣1),
去括号,得4x﹣3=2x﹣2,
移项,得4x﹣2x=3﹣1,
合并同类项,得2x=1,
系数化为1,得x=12;
(2)x−x−22=1+2x−13,
去分母,得6x﹣3(x﹣2)=6+2(2x﹣1),
去括号,得6x﹣3x+6=6+4x﹣2,
移项,得6x﹣3x﹣4x=6﹣6﹣2,
合并同类项,得﹣x=﹣2,
系数化为1,得x=2.
21.(10分)先化简,再求值:2(a2b﹣3ab)﹣3(ab+2ba2﹣1),其中|a+2|+|b−13|=0.
【分析】原式去括号,合并同类项进行化简,然后根据绝对值的非负性求得a和b的值,代入求值.
【解答】解:原式=2a2b﹣6ab﹣3ab﹣6ba2+3
=﹣4a2b﹣9ab+3,
∵|a+2|+|b−13|=0,且|a+2|≥0,|b−13|≥0,
∴a+2=0,b−13=0,
解得:a=﹣2,b=13,
∴原式=﹣4×(﹣2)2×13−9×(﹣2)×13+3
=﹣4×4×13+6+3
=−163+6+3
=113.
22.(10分)小刘在某学校附近开了一家麻辣烫店,为了吸引顾客,于是想到了发送宣传单:刘氏麻辣烫店开业大酬宾,第一周每碗4.5元,第二周每碗5元,第三周每碗5.5元,从第四周,开始每碗6元.月末结算时,每天以50碗为标准,多卖的记为正,少卖的记为负,则这四周的销售情况如表(表中数据为该周每天的平均销售情况):
(1)根据表,请求出:刘氏麻辣烫店开业大酬宾后第二周的销售额是多少?
(2)每碗麻辣烫的成本为2元碗,为了拓展学生消费群体,第四周后,小刘又决定实行两种优惠方案:
方案一:凡来店中吃麻辣烫者,每碗附赠一瓶1元的矿泉水;
方案二:凡一次性购买3碗以上的,可免费送货上门,但每次需给送货员支付人工费2元.若有人一次性购买4碗,小刘更希望以哪种方案卖出?
【分析】(1)根据销售额=销售量×每碗价格即可得解;
(2)将两个方案的额外成本进行对比,取其中成本较小的方案即可.
【解答】解:(1)26×5=130(元),
所以第二周的销售额是130元;
(2)若有人一次性购买4碗,为3碗以上,
故第一种方案需额外付出4×1=4(元),
第二种方案需额外付出送货人工费2元,
所以小刘更希望以第二种方案卖出.
23.(10分)观察下列两个等式:2−13=2×13+1,5−23=5×23+1,给出定义如下:我们称使等式a﹣b=ab+1成立的一对有理数“a,b”为“共生有理数对”,记为(a,b),如:数对(2,13),(5,23)都是“共生有理数对”.
(1)通过计算判断数对(1,2)是不是“共生有理数对”;
(2)若(a,3)是“共生有理数对”,求a的值;
(3)若(m,n)是“共生有理数对”,则(﹣n,﹣m) 是 “共生有理数对”(填“是”或“不是”);
(4)如果(m,n)是“共生有理数对”(其中n≠1),直接用含n的式子表示m.
【分析】(1)根据共生有理数对的定义判断即可;
(2)根据共生有理数对的定义列方程求解;
(3)根据共生有理数对的定义对(﹣n,﹣m)变形即可判断;
(4)根据共生有理数对的定义得到m,n的方程,变形即可.
【解答】解:(1)∵1﹣2=﹣1,1×2+1=3,
∴1﹣2≠1×2+1,
∴(1,2)不是共生有理数对;
(2)由题意,得a﹣3=3a+1,
解得a=﹣2;
(3)∵(m,n)是共生有理数对,
∴m﹣n=mn+1,
∴﹣n﹣(﹣m)=m﹣n=mn+1,
∴(﹣n,﹣m)是共生有理数对;
故答案为:是.
(4))∵(m,n)是共生有理数对,
∴m﹣n=mn+1,
∴m(1﹣n)=1+n,
∴m=n+11−n.
24.(10分)已知∠AOB,过顶点O作射线OP,若∠BOP=12∠AOP,则称射线OP为∠AOB的“好线”,因此∠AOB的“好线”有两条,如图1,射线OP1,OP2都是∠AOB的“好线”.
(1)已知射线OP是∠AOB的“好线”,且∠BOP=30°,求∠AOB的度数.
(2)如图2,O是直线MN上的一点,OB,OA分别是∠MOP和∠PON的平分线,已知∠MOB=30°,请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”.
(3)如图3,已知∠MON=120°,∠NOB=40°.射线OP和OA分别从OM和OB同时出发,绕点O按顺时针方向旋转,OP的速度为每秒12°,OA的速度为每秒4°,当射线OP旋转到ON上时,两条射线同时停止.在旋转过程中,射线OP能否成为∠AOB的“好线”.若不能,请说明理由;若能,请求出符合条件的所有的旋转时间.
【分析】(1)根据“好线”的定义可得∠AOP的度数,然后分①当OP在∠AOB的外部时,②当OP在∠AOB的内部时两种情况可得答案;
(2)直接根据角平分线的定义可得问题的答案;
(3)设旋转的时间为t秒,根据题意列出方程,求解可得答案.
【解答】解:(1)∵OP是∠AOB的“好线”,且∠BOP=30°,
∴∠AOP=2∠BOP=60°,
①当OP在∠AOB的外部时,∠AOB=∠AOP﹣∠BOP=30°,
②当OP在∠AOB的内部时,∠AOB=∠AOP+∠BOP=90°.
(2)∵OB是∠MOP的平分线,且∠MOB=30°,
∴∠BOP=∠MOB=30°,
∠MOP=2∠MOB=60°,
∴∠PON=120°,
∵OA是∠PON的平分线,
∴∠AOP=12∠PON=60°,
∴∠BOP=12∠AOP,
∴OP是∠AOB的一条“好线”;
(3)设旋转的时间为t秒,
①80﹣12t=4t,
∴t=5,
②3(12t﹣80)=4t,
∴t=152,
综上所述,所有符合条件的旋转时间为5秒或152秒.
25.(10分)三峡广场的甲、乙两家商店分别以相同的单价购进一批同种商品.经预测,甲店如果在进价的基础上提高60%的售价卖出,平均每天将卖出25件,30天能获利润22500元.为尽快回收资金,甲店决定将每件商品降价t%卖出,结果平均每天比降价前多卖出50件,这样30天仍获利润22500元.
(1)求该商品的购进单价和甲店的预定售价;
(2)求t值;
(3)如果乙店也以甲店的预定售价卖出,平均每天将卖出20件,若每件降价5元销售,平均每天卖出去的件数将增加2件.最后乙店决定降价m元进行销售,试用含m的代数式表示乙店一个月(30天)所获得的利润;并判断当m=20时,甲、乙哪家商店一个月所获得的利润更多.
【分析】(1)设商品的购进单价为x元,则预定售价为(1+60%)x元,然后根据单件商品的利润×数量=总利润,列方程求解;
(2)根据单件商品的利润×数量=总利润,列方程求解;
(3)设乙店一个月所获利润为w,根据单件商品的利润×数量=总利润.列出等量关系求解,然后将m=20代入求值,从而作出比较.
【解答】解:设商品的购进单价为x元,则预定售价为(1+60%)x元,
由题意可得:25×30[(1+60%)x﹣x]=22500,
解得:x=50,
(1+60%)x=80(元),
∴该商品的购进单价为50元,甲店的预定售价为80元;
(2)由题意可得:[80×(1﹣t%)﹣50]×(25+50)×30=22500,
解得:t=25,
∴t的值为25;
(3)设乙店一个月所获利润为w,
由题意可得:w=(80﹣m﹣50)×(20+2×m5)×30,
∴w=﹣12m2﹣240m+18000,
∴乙店一个月(30天)所获得的利润为:﹣12m2﹣240m+18000;
当m=20时,w=8400<22500,
∴甲商店一个月所获得的利润更多.
四、解答题:本大题1个小题,共8分。解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤,请将解答过程书写在答题卡中相应的位置上。
26.(8分)如图,点A、O、C、B为数轴上的点,O为原点,A表示的数是﹣8,C表示的数是2,B表示的数是6.我们将数轴在点O和点C处各弯折一次,弯折后CB与AO处于水平位置,线段OC处产生了一个坡度,我们称这样的数轴为“折坡数轴”,其中O为“折坡数轴”原点,在“折坡数轴”上,每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数.记AB为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离:即AB=AO+OC+CB,其中AO、OC、CB代表线段的长度.
(1)若点T为“折坡数轴”上一点,且TA+TB=16,请求出点T所表示的数;
(2)定义“折坡数轴”上,上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半,下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍.动点P从点A处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点O,再上坡移动,当移到点C时,立即掉头返回(掉头时间不计),在点P出发的同时,动点Q从点B处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C,再下坡到点O,然后再沿OA方向移动,当点P重新回到点A时所有运动结束,设点P运动时间为t秒,在移动过程中:
①点P在第 212 秒时回到点A;
②当t= 2或225或315或345 时,PQ=2PO.(请直接写出t的值)
【分析】(1)首先判断出点T的位置,设T表示的数为x,根据T的位置分两种情况列出方程求解即可;
(2)①分别根据“时间=路程÷速度”求出点P运动的时间,再求和即可;
②分别求出点Q在运动时间,结合点P,点Q的不同位置,根据PQ=2PO列出方程求解即可.
【解答】解:(1)∵AB=AO+OC+CB=|﹣8|+6=14,
而TA+TB=16,16>AB,
∴T不在AB内,
设T表示的数为x,
当T在点A的左侧时,
TA+TB=TA+TA+AB=(﹣8﹣x)+(﹣8﹣x)+14=16,
解得:x=﹣9;
当T在点B的右侧时,
TA+TB=TB+TB+AB=(﹣8﹣x)+(﹣8﹣x)+14=16,
解得:x=7,
故答案为:﹣9和7;
(2)①∵AO=8,
∴点P从A到O所需时间为:t1=AO2=82=4,
∵OC=2,
∴点P从O到C所需时间为:t2=OC12×2=2,
返回时,
点P从C到O所需时间为:t3=OC2×2=24=12,
点P从O到A所需时间为:t4=t1=4,
∴点P运动的总时间t=t1+t2+t3+t4=212,
故点P在212秒时回到了点A,
故答案为:212;
②(Ⅰ)当点P在AO上,点Q在BC上时,
PQ=PO+OC+CQ=(8﹣2t)+2+(4﹣t)=14﹣3t,
PO=8﹣2t,
∵PQ=2PO,
∴14﹣3t=2(8﹣2t),
解得:t=2;
(Ⅱ)当P在OC上,此时Q在OC上,设点Q在OC上的时间为t′,
a)当OP+QC=OC,即t′+2t′=2,即t′=23时,P、Q相遇,
PQ=OC﹣OP﹣QC=2﹣t′﹣2t′,PO=t′,
由PQ=2PO得:2﹣t′﹣2t′=2t′,
解得:t′=25,
∴t=4+25=225;
b)当Q到达点O时,点P刚到OC的中点,并继续向上走2﹣1=1(秒),
PQ=OP+OQ=t′+(t′﹣1),PO=t′,
由PQ=2PO得:2t′﹣1=2t′,
此时无解;
c)当Q在OA上,P在OC向下移动时,
PQ=OQ+OP=(t′﹣1)+[2﹣2×2(t′﹣2)],PO=2﹣2×2(t′﹣2),
由PQ=2PO得,(t′﹣1)+[2﹣2×2(t′﹣2)]=2[2﹣2×2(t′﹣2)],
解得:t′=115,此时,t=4+t′=315;
(Ⅲ)当点P重新回到OA上,设P回到O点后运动时间为t″,在t″之间,点P、Q已经运动了4+2+12=132(秒),
此时,Q在OA上走了132−4﹣1=32,
即OQ=32×1=32,
1)PQ=OQ﹣OP=(32+t″)﹣2t″,PO=2t″,
由PQ=2PO得:(32+t″)﹣2t″=2t″,
解得,t″=310,此时,t=132+310=345;
2)当P在Q右侧,超过Q后,PQ=OP﹣OQ=2t″﹣(32+t″),PO=2t″,
由PQ=2PO得:2t″﹣(32+t″)=4t″,
解得,t″=−12(舍去),
综上所述,当t=2或225或315或345秒时,PQ=2PO.
故答案为:2或225或315或345.
周次
一
二
三
四
销售量
38
26
10
﹣4
周次
一
二
三
四
销售量
38
26
10
﹣4
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