天津市滨海新区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份天津市滨海新区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（含答案），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。


本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟.
答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上. 答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利！
第I卷 选择题 （60分）
一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.
（1）i是虚数单位，则=
（A） （B） （C） （D）
（2）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为
（A） （B） （C） （D）
（3）经过同一条直线上的3个点的平面
（A）有且仅有1个 （B）有无数个 （C）不存在 （D）有且仅有3个
（4）若一组数据为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的75%分位数为
（A）7.5 （B）8 （C） 8.5 （D）9
（5）已知为空间两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中不正确的是 EMBED Equatin.3
（A）若， ，则 （B）若，，则
（C）若，，则 （D）若，，则
（6）已知为单位向量，，当向量，的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为
（A） （B） （C） （D）
（7）i是虚数单位.若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（8）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是
（A） （B） （C） （D）
（9）甲乙两位射击运动员在一次射击中各射靶6次，每次命中的环数如下表：
则下列说法正确的是
（A）乙比甲射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定
（B）乙比甲射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定
（C）甲比乙射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定
（D）甲比乙射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定
（10）空气质量AQI指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图所示的是某市4月1日~20日空气质量AQI指数变化的折线图，则下列说法中错误的是
（A）这20天中空气质量最好的是4月17日
（B）这20天空气质量AQI指数的极差是240
（C）总体来说，该市4月份上旬的空气质量比中旬的空气质量好
（D）从这20天的空气质量AQI指数数据中随机抽出一天的数据，空气质量为“优良”的概率是0.5
（11）已知平面向量满足与的夹角为，记，则的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
（12）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点.将ADE沿直线DE翻折成A1DE（A1平面BCDE）.若M在线段A1C上（点M与A1，C不重合），则在ADE翻折过程中，给出下列判断：
①当M为线段A1C中点时，|BM|为定值；
②存在某个位置，使DEA1C；
③当四棱锥A1—BCDE体积最大时，点A1到平面BCDE的距离为；
④当二面角A1—DE—B的大小为时，异面直线A1D与BE所成角的余弦值为.
其中判断正确的个数为
（第12题）
（第10题）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第 = 2 \* ROMAN II卷 （90分）
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共12小题，共90分.
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
（13）i是虚数单位.若复数，则 .
（14）已知向量，且，则的值为 .
（15）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为 .
（16）对于事件A与事件B，已知P(A)=0.6，P(B)=0.2，如果，则P(AB)= .
（17）某市供电部门为了解节能减排以来本市居民的用电量情况，通过抽样，获得了1000户居民月平均用电量（单位：度），将数据按照[50，100），[100，150），…，[300，350]分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图．则频率分布直方图中的值为 ；根据频率分布直方图近似估计抽取的这1000户居民月用电量的中位数为 .（精确到0.1）
（第17题）
（第15题）
（18）甲、乙两名同学参加某项测试，已知甲达标的概率为，乙达标的概率为，两人能否达标互不影响.（ = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i）两人都达标的概率为 ；（ = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii）至少有一人达标的概率为 .
（19）立方、堑堵、阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，在《九章算术·商功》中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫“堑堵”，如图1.再把一块“堑堵”沿斜线分成两块，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为“阳马”，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图2.
（第19题-图2）
（第19题-图1）
现有一四面体，已知，根据上述史料中“鳖臑”的由来，可得这个四面体的体积为 ；该四面体的外接球的表面积为 .
（20）已知四边形，，，，且，
（ = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i） ；（ = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii）若，动点在线段上，则的最大值为 .
三、 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（21）（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为.已知
（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值.
(22)（本小题满分12分）
垃圾分类，人人有责.2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放.已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15.现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动.
（Ⅰ）应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的4名同学分别用表示,现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言.
（ = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i）写出这个试验的样本空间；
（ = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii）设事件M=“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件M发生的概率.
（23）（本小题满分13分）
如图，在三棱柱中，平面,,是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
（24）（本小题满分13分）
在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且∥.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若求的取值范围;
（Ⅲ）若的内切圆的周长为，当的值最小时，求的面积.
滨海新区2020-2021学年度第二学期期末质量检测
高一年级数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
（13）5 （14）-6 （15） （16） （17）0.0044；183.3
（18）； （19）, （20），
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在中，根据余弦定理得，， ……4分
∵，∴.……………6分
（Ⅱ）在 中，根据正弦定理，……………8分
得……………12分
(22)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设抽取高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为,由样本按比例分配，得，可以解得，因此应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人，1人，1人……………4分
（Ⅱ）（ = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i）从这4名同学中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言的样本空间为： ，
共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的. …………8分
（ = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是A，B，来自高二年级的是C，来自高三年级的是D.
因为，
，……………10分
所以.……………12分
（23）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）如图，连交于O，连OD， ……………1分
∴O是的中点， 又是的中点，
∴ OD是△的中位线，
∴ …………………2分
∵ 平面, OD平面
∴ 平面 …………………4分
（Ⅱ）∵ ,是的中点， ∴，…………………5分
∵三棱柱中，平面， ∴平面
∵AD平面，∴，…………………6分
又、BC是平面内的两条相交直线
∴平面 …………………8分
∵ AD平面
∴ 平面平面 ………………9分

（Ⅲ）过C作CE于E，连AE，
∵平面
由（Ⅱ）知，平面平面 ，平面平面
∴CE⊥平面，…………………………10分
∴ AE是AC在平面内的射影,
∴ ∠CAE是AC与平面所成的角 ………………………11分
∴在直角△中，，∴
∴
∴ 在直角△CAE中，sin∠CAE=
直线与平面所成角的正弦值为 …………………13分

（24）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∥，，
，即…………………2分
，…………………3分
（Ⅱ）为钝角，从而…………………4分
由正弦定理，得，
…………………6分
，
…………………8分
（Ⅲ）由余弦定理得：
由题意可知：的内切圆周长，
所以内切圆半径…………………9分
如图，设圆为三角形的内切圆圆心，，为切点，
可知≌，又，可得：
，，
由切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线长相等，……………10分
，
化简得（当且仅当时取等号）
即
，或
又，，即，
当且仅当时，的值最小为24，…………………12分
此时三角形的面积：…………………13分
甲
8
4
9
5
7
9
乙
8
7
7
8
7
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
B
B
C
A
D
A
B
C
C
B