天津市滨海新区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题及答案

 滨海新区2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟.

答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.

祝各位考生考试顺利！

第I卷 选择题 （60分）

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.

一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）直线的倾斜角为（    ）

（A） （B） （C） （D）

（2）经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（    ）

（A） （B） （C）  （D）

（3）抛物线的焦点坐标为（    ）

（A） （B） （C） （D）

（4）等差数列的前项和为，已知，，则的值是（    ）

（A）         （B） （C） （D）

（5）已知等比数列中，，，则（    ）

（A） （B）   （C）     （D）

（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（    ）

（A）15天 （B）16天   （C）17天     （D）18天

（7）圆与圆的位置关系是（    ）

（A）相交 （B）相离 （C）内切 （D）内含

（8）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则的值为（    ）

（A）          （B）             （C）             （D）

（9）已知等差数列的前项和为，公差取得最大值时的值为（    ）

（A）          （B）             （C）           （D）

（10）如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（    ）

（A） 

（B）

（C） 

（D）

（11）已知，直线，为直线上的动点，过点作的切线，切点为，当四边形的面积取最小值时，直线的方程为（    ）

（A）  （B）  （C）  （D）

（12）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：

①当轴时， 

②离心率

③                    

④点的横坐标为定值

上述结论正确的是（    ）

（A）①②          （B）②③          （C） ①③④      （D）②③④

第II卷 （90分）

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共12小题，共90分.

二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

（13）已知直线与平面平行，直线的一个方向向量为，向量与平面垂直，则       .

（14）若直线与圆相切，则       .

（15）已知数列满足，，则       .

（16）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为________.

（17）在棱长为的正方体中，求点到直线的距离为________.

（18）已知抛物线的焦点为，并且经过点，经过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则=       ，线段的长为       .

（19）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前项积，则当       时，有最大值为        .

（20）已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为       .

三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（21）（本小题满分12分）

已知圆的圆心在轴上，且经过点，．

（Ⅰ）求圆的标准方程；

（Ⅱ）过点斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．

（22）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面的夹角的大小；

（III）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

（23）（本小题满分13分）

已知等差数列的前项和为，且.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)若，令，求数列的前项和.

（24）（本小题满分13分）

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；

（III）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.

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高二数学答题纸

第II卷 非选择题  （共90分）

13.                              ；      14.                              ；

15.                              ；      16.                              ；

17.                              ；      18.           ,                  ；

19.           ,                  ；      20.                              .

三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

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高二年级数学参考答案及评分标准

一.     选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二.     填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分）

三.     解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设的中点为，则，

由圆的性质得，所以，得，………………2分

所以线段的垂直平分线方程是，………………3分

设圆的标准方程为，其中，半径为（），

由圆的性质，圆心在直线上，化简得，………………5分

所以圆心，，所以圆的标准方程为……6分

（Ⅱ）则直线的方程为………………………8分

圆心到直线的距离为………………10分

所以，………………12分

（22）（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则………………1分

设平面的法向量为，则……3分

令，则，

，

故平面．………………4分

(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

所以平面的法向量………………6分

………………7分

平面与平面的夹角大小为．………………8分

（III）解：假设线段上存在一点,设，，则，

,设平面的法向量为

由得到……………9分

与平面所成角为

与所成角为，，解得，……11分

故在线段上存在一点，使得与平面所成角为，

点的坐标为.．...............12分

（23）（本小题满分13分）

解: (Ⅰ)设等差数列的公差为，则由可得

……………………2分

解得因此……………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)及 ，知………………………5分        

数列的前项和为，

..7分 

则令

…………8分  

………………9分

两式相减得

………………10分

所以……………………12分

综合知……………………13分

（24）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为椭圆C：的离心率左顶点为，

所以，又，所以，可得，

所以椭圆C的标准方程为；………………3分

(Ⅱ)直线的方程为，

由消元整理可得：，

所以，，

当 时，，

所以，………………5分

因为点P为AD的中点，所以P点坐标为，………………6分

则，

直线的方程为，令，得点坐标为,

假设存在定点使得，

则，即恒成立，

所以，

所以，即，

所以定点的坐标为.………………8分

（III）因为，所以的方程可设为，

和联立可得点的横坐标为，………………9分

由可得：

，………………11分

当且仅当，

即时取等号，………………12分

所以当时，的最小值为.………………13分