寒假作业9 第四章数列 基础巩固卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考）

这是一份寒假作业9 第四章数列 基础巩固卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．12B．15C．18D．21
2．已知数列的一个通项公式为，且，则等于（ ）
A．0B．1C．D．3
3．方程的两根的等比中项是（ ）
A．B．和C．和D．
4．若数列满足，，则（ ）
A．2B．C．D．
5．等差数列的前11项和，则（ ）
A．9B．10
C．11D．12
6．在等比数列中，设，数列的前n项和为，存在正整数k，使得k对任意n恒成立，则正整数k的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．1202年，意大利数学家斐波那契（LenardFibnacci，约1170-约1250）出版了他的《算盘全书》（LiberAbaci），在书中他向欧洲人介绍了东方数学，书中有这样一个数列，且，这个数列就是著名的“斐波那契数列”，则此数列的前10项和为（ ）
A．10B．88C．143D．232
8．若数列满足且，则数列的第100项为（ ）
A．2B．3C．D．
二、多选题
9．(多选题)下列说法正确的有（ ）
A．等比数列中的项不能为0
B．等比数列的公比的取值范围是R
C．若一个常数列是等比数列，则公比为1
D．22，42，62，82，…成等比数列
10．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以为（ ）
A．22B．24
C．26D．28
11．等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是（ ）
A．d＞0B．a1＜0
C．Sn＞0时n的最小值为8D．当n＝5时Sn最小
12．1921年伟大的中国共产党成立，经过28年的浴血奋战，于1949年成立了中华人民共和国，从此，中国人民站起来了.到2021年，习总书记在庆祝中国共产党成立100年大会上庄严宣告：我们实现了第一个百年奋斗目标，正向着全面建成社会主义现代化强国的第二个奋斗目标迈进.现有一个等差数列，其公差d与各项均为正整数，，，，下列说法正确的是（ ）
A．d的最小值为4
B．m，n满足关系式
C．的最小值为34
D．满足条件的m，n有且仅有4组
三、填空题
13．已知数列的前项和为，则的通项公式为__________．
14．数列中，若，则_______
15．“凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一，冬至影长一丈三尺五寸，夏至暑长一尺六寸.问次节损益寸数长短各几何？”这是我国最古老的天文学､数学著作《周髀算经》（公元前2世纪）中说明测算二十四节气的方法，大意是：“立一根8尺标杆，在每天正午时刻测量影（暑）长.定义一年中影最长的那天为冬至，影最短的那天为夏至，冬至影长1350分，夏至影长160分，然后在夏至到冬至之间，冬至到次年夏至之间各安排11个节气，每相邻两个节气的影长相差（气损益）分，问各节气影长是多少？”按照以上的解释，计算夏至过后的第6个节气秋分正午影长是___________分.
16．已知数列满足，，则___________.
四、解答题
17．已知等差数列中，，公差d＝2.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18．已知等比数列中，，且是和的等差中项.数列满足，且..
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．已知数列{an}，其前n项和记为Sn，满足，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
20．等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
22．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
参考答案
1．A
【分析】
设等差数列的首项和公差，利用等差数列的前n项和公式得到关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，进而求出.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，
由 ，得，
解得 ，则.
故选：A.
2．B
【分析】
根据可求，把代入可得.
【详解】
因为，，所以，即，
所以.
故选：B.
3．B
【分析】
由根与系数的关系求出两根之积，进而根据等比中项的定义求得答案.
【详解】
由题意，两根之积为9，所以两根的等比中项为.
故选：B.
4．B
【分析】
找到数列的周期，由此求得.
【详解】
因为，，所以，，，，，…由此可知，数列是周期为4的周期数列，所以.
故选：B
5．D
【分析】
由是等差数列可得，解得，从而根据进行求解即可．
【详解】
解：由是等差数列，得，解得，
所以．
故选：．
6．C
【分析】
由已知可得数列为等差数列，求出，然后利用裂项相消法求和即可求解．
【详解】
解： 因为，所以，
即数列为等差数列，
所以，
所以，
所以
，
依题意有，又，
所以正整数k的最小值为3．
故选：C．
7．C
【分析】
根据，且，依次令求出，即可求出此数列的前10项和.
【详解】
解：因为，且，
所以，
，
，
，
，
，
，
，
所以此数列的前10项和为.
故选：C.
8．B
【分析】
直接用累加法求解即可．
【详解】
解：由题意，因为，
所以，

，
，
以上99个式子累加得，
．
故选：B．
9．AC
【分析】
由等比数列的定义逐一判断即可.
【详解】
A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确；由于，故不是等比数列，D错．
故选：AC
10．AD
【分析】
通过计算找到数列的周期，即得解.
【详解】
解：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3．
所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3．
故选：AD
11．ABC
【分析】
根据题意可得，，求出即可判断.
【详解】
设公差为，因为等差数列是递增数列，则，故A正确；
因为，则，即，故B正确；
，
则对称轴为，开口向上，所以当或4时，取得最小值，故D错误；
由，即，即，解得（舍去）或，所以时的最小值为8，故C正确.
故选：ABC.
12．BC
【分析】
通过等差数列第项表达式可求出与的关系式，即可判断选项A、B，由公差d与各项均为正整数令，可求出的最小值，可判断选项C，再依此判断满足条件的值，即可判断选项D.
【详解】
由题意得，所以，时，，同理可求得，，故A错误；
化简可得，故B正确；
由，，所以的最小值为34，C正确;
满足条件的t=1，2，4，因此满足条件的m，n有且仅有3组，D错.
故选：BC.
13．
【分析】
利用求得.
【详解】
当时，，
当时，，
当时上式也符合，所以.
故答案为：
14．2
【分析】
由已知结合等比数列的定义知：是首项为，公比为2的等比数列，应用等比数列的通项公式求即可.
【详解】
由可知：是首项为，公比为2的等比数列，
∴，故.
故答案为：2.
15．755
【分析】
把夏至影子的长160作为首项，各节气那天影子的长构成公差为的等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出指定项．
【详解】
由题意知，把夏至影子的长160作为首项，各节气那天影子的长构成公差为的等差数列，所以，故夏至后的第6个节气秋分那天影子的长度应为数列的第7项，所以.
故答案为：755．
16．
【分析】
利用累加法求解即可
【详解】
因为，
所以，
，
，
……，
，
所以，
因为，所以，
故答案为：
17．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）直接利用等差数列的通项公式求解；
（2）利用等差数列的前项和公式求解.
（1）
解：由题得数列的通项公式为.
所以数列的通项公式为.
（2）
解：由题得数列的前n项和为.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）设等比数列的公比为，由等差中项的性质建立等量关系，求解，从而求出数列的通项公式；（2）由等差中项的性质可知为等差数列，求出通项公式，分组求和即可.
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为
因为，
所以.
因为是和的等差中项，
所以，
即，
解得
所以.
（2）因为，
所以为等差数列.
因为，
所以公差.
故.
所以
19．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据和已知关系式得出该数列是等差数列求出和，便可求出数列的通项公式.
（2）先裂项，然后求和.
（1）
解：由题意得：
是等差数列，且公差
又
，即
（2）
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】
解：（1）设数列的公比为，
则，由
得：，所以.
由，得到
所以数列的通项公式为.
（2）由条件知，
又
将以上两式相减得
所以.
21．证明过程见解析
【分析】
选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】
选①②作条件证明③：
[法一]设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[法二] 设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[法一]设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[法二][最优解]因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【整体点评】
这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】
（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【点睛】
本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由,得到，进而得到是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.