寒假作业7 选择性必修第一册 基础巩固卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考）

这是一份寒假作业7 选择性必修第一册 基础巩固卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．圆的圆心与半径分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（ ）
A．α⊥βB．α∥β
C．α与β相交但不垂直D．以上都不对
3．如图所示，在平行六面体中，，，则（ ）
A．2B．C．D．1
4．椭圆 的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
7．长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．椭圆的两顶点为，，左焦点为，在中，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（多选）已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（ ）
A．60°B．30°C．150°D．120°
10．关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．实轴长为8B．焦距为C．顶点坐标为D．离心率为
11．在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．
12．平行于直线，且与圆相切的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．已知空间向量，则___________.
14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，⊥x轴，则的面积为_________．
15．圆关于直线对称的圆方程是______．
16．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则___________.
四、解答题
17．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
18．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
19．已知直线l：．
（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（2）若直线l与圆相切，求a的值．
20．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱上靠近的三等分点，底面，且.
（1）在侧棱上是否存在点，使得点四点共面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
21．已知直线：.
（1）若直线与直线的夹角为，求实数k的值；
（2）若圆与直线交于A､B两点，且（其中O为坐标原点），求实数m的值.
22．已知椭圆：过点，长轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程.
参考答案
1．C
【分析】
根据圆的一般方程求得圆心和半径.
【详解】
圆心为，即，
半径为.
故选：C
2．B
【分析】
由法向量的坐标可判断法向量的关系，进而确定平面α和平面β的位置关系.
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
故选：B.
3．A
【分析】
选择基底，利用基底表示出向量，结合向量运算求解模长.
【详解】
由题意，，两边平方可得
；
所以.
故选：A.
4．C
【分析】
根据方程判断焦点位置，求出可得.
【详解】
由椭圆方程可得焦点在轴上，且，
所以焦点坐标为.
故选：C.
5．D
【分析】
求出、，利用双曲线的渐近线方程可得结果.
【详解】
在双曲线中，，，
因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
6．C
【分析】
利用圆心距与半径的关系确定正确选项.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距为，，
所以两圆相交.
故选：C
7．A
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果.
【详解】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，，，
所以，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
8．B
【分析】
根据可知，转化成关于，，的关系式，再根据，和的关系进而求得和的关系，即可求得椭圆的离心率．
【详解】
据题意，，，，
，即，即.
又，，同除得，即（舍）或.
故选：B.
9．AD
【分析】
由题意知，直线l的斜率等于，设出直线的倾斜角，由倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围可求直线的倾斜角.
【详解】
直线l的斜率的绝对值等于，
线l的斜率等于，设直线的倾斜角为，则，
则或，
60°或120°.
故选：AD.
10．AD
【分析】
利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．
【详解】
解：由双曲线的方程，可知：，，解得，，
．
实轴长，焦距为，因此正确，错误；
顶点坐标为，离心率，因此错误，正确．
故选：．
11．AB
【分析】
按照空间向量的加法法则和减法法则去逐个判断即可
【详解】
如图正方体中：
选项A: ，正确；
选项B：，正确；
选项C：，错误；
选项D：，错误.
故选：AB
12．AC
【分析】
由圆的方程可得圆心和半径，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果.
【详解】
由圆的方程可知其圆心为，半径，
由题意可设所求直线方程为：，
则圆心到直线距离，解得：，
所求切线方程为：或.
故选：AC.
13．
【分析】
由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算．
【详解】
因为，所以.
故答案为：．
14．##
【分析】
⊥x轴可得P点横坐标，再根据点P在椭圆上，求出P的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】
由题意不妨设﹣，0)，，0)，
∵P⊥x轴，∴P(，±)，
∵△P的面积＝|P|||＝2＝，
故答案为：．
15．
【分析】
求出圆的圆心关于直线对称的坐标，即可得出结论．
【详解】
解：设圆的圆心关于直线对称的坐标为，
则，
，，
圆的圆心关于直线对称的坐标为，
从而所求圆的方程为．
故答案为：．
16．
【分析】
由得出，再由向量知识得出.
【详解】
∵，∴，∴，解得，∴．
故答案为：．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；
（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：
，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，
【详解】
（1）由抛物线经过点可得：，
又，可得，
解得，；
（2）由（1）知，则，
设，，
根据点M为线段的中点，可得：
，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为.
18．（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；
（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.
【详解】
据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
19．（1）1；（2）4或．
【分析】
（1）分别令，，得到截距，解方程即可;
（2）根据圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.
【详解】
（1）易知直线l的截距不能为0，
令，，令，；
则
故a的值为1
（2）圆心到直线l的距离
或
故a的值为4或.
20．
（1）取靠近的三等分点，证明见解析
（2）
【分析】
（1）取靠近的三等分点，连接，可证得即可得出结果.
（2）法1：过作的垂线，垂足为，连接，求证得是二面角的平面角，计算即可求得结果;
法2：以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量，利用数量积公式计算即可得出结果.
（1）
取靠近的三等分点，连接.
因为，所以.
又，所以，所以共面.
（2）
法1：
过作的垂线，垂足为，连接，
因为平面平面，所以.
因为平面，
所以平面.
因为平面，
所以，结合，
得是二面角的平面角.
在Rt中，是靠近的三等分点，，
故，
，
故二面角的余弦值为.
法2：
以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，
因为，四边形为正方形，
所以，
从而.
设平面的一个法向量为，则
即取，则.
平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，
则，
故二面角的余弦值为.
21．
（1）或3
（2）3
【分析】
（1）先求直线的方向向量，再运用夹角公式计算即可.
（2）联立直线与圆的方程，再根据向量的数量积运算即可.
（1）
∵两直线的方程分别为与，
∴设分别为两直线的方向向量.
由题意得
整理得
（2）
∵方程为圆C的方程
∴
解得：
把直线即代入圆C的方程并整理得：，
依题意：
解得：
设
则
由可得：
解得：
经检验：满足题意.
∴.
22．
（1）
（2）
【分析】
（1）椭圆基本量计算.
（2）点差法求斜率即可.
（1）
因为椭圆的长轴长为，所以，得，
又椭圆过点，
所以，得.
所以椭圆的标准方程为:.
（2）
直线的斜率不存在时，过点，直线的方程为：
此时线段中点为，不合题意.
所以直线的斜率必存在，设其为，，，
因为为的中点，则，所以，
将、坐标代入椭圆的标准方程为得，，
两式相减得：，整理得：，
所以，，
所以.
所以直线的方程为，即.
因为点在椭圆内部，所以直线必与椭圆相交于两点，此直线即为所求