2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第3讲　高效演练 分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第3讲　高效演练 分层突破学案，共6页。
1．已知圆C的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝4 B．(x－2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16
解析：选C.根据圆C的半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
2．(2020·河北九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2－y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则eq \f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq \f(14,3)(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故选C.
3．方程|x|－1＝eq \r(1－（y－1）2)所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D.由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（|x|－1）2＋（y－1）2＝1，,|x|－1≥0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－1）2＋（y－1）2＝1，,x≥1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋1）2＋（y－1）2＝1，,x≤－1.))
故原方程表示两个半圆．
4．(2020·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( )
A．1＋eq \r(2) B．2
C．1＋eq \f(\r(2),2) D．2＋2eq \r(2)
解析：选A.将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq \f(|1－1－2|,\r(2))＝eq \r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝eq \r(2)＋1，选A.
5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A.设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－2＋y0,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．
解析：已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．
答案：(－2，－4) 5
7．过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为 ．
解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为圆心在直线y＝0上，所以b＝0，所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1－a）2＋16＝r2，,（3－a）2＋4＝r2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,r2＝20.))所以所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.
答案：(x＋1)2＋y2＝20
8．若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆C的方程是 ．
解析：设C(a，b)，因为已知圆的圆心为A(－1，0)，由点A，C关于x＋y－1＝0对称得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a＋1)×（－1）＝－1，,\f(a－1,2)＋\f(b,2)－1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))又因为圆的半径是1，
所以圆C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，
即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.
答案：x2＋y2－2x－4y＋4＝0
9．求适合下列条件的圆的方程．
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．
解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－4a，,（3－a）2＋（－2－b）2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))
解得a＝1，b＝－4，r＝2eq \r(2).
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
所以半径r＝eq \r(（1－3）2＋（－4＋2）2)＝2eq \r(2)，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋144＋D＋12E＋F＝0，,49＋100＋7D＋10E＋F＝0，,81＋4－9D＋2E＋F＝0.))
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10).
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，
则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4eq \r(10)，所以|PA|＝2eq \r(10)，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2.))
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
[综合题组练]
1．(应用型)已知平面区域eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,y≥0，,x＋2y－4≤0))恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为 ．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
因为△OPQ为直角三角形，
所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝eq \f(|PQ|,2)＝eq \r(5)，
因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
2．已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是 ．
解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝eq \r(5)的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．
连接A′C交圆C于Q，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq \r(5).
答案：2eq \r(5)
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
4．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|＝2，设P(a，2a)，则eq \r(a2＋（2a－4）2)＝2，
解得a＝2或a＝eq \f(6,5)，
所以点P的坐标为(2，4)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(12,5))).
(2)证明：设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，
整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，
即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－4y＝0，,x＋2y－8＝0))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)，))
所以该圆必经过定点(0，4)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5))).