2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第5讲　第1课时　高效演练 分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第5讲　第1课时　高效演练 分层突破学案，共6页。

1．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋eq \f(y2,m)＝1的焦点坐标为( )
A．(±eq \r(3)，0) B．(0，±eq \r(3))
C．(±eq \r(3)，0)或(±eq \r(5)，0) D．(0，±eq \r(3))或(±eq \r(5)，0)
解析：选B.因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1的焦点坐标为(0，±eq \r(3))，故选B.
2．(2019·高考北京卷)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B.由题意得，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，又a2＝b2＋c2，所以eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,4)，eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，所以4b2＝3a2.故选B.
3．曲线eq \f(x2,169)＋eq \f(y2,144)＝1与曲线eq \f(x2,169－k)＋eq \f(y2,144－k)＝1(k<144)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D.曲线eq \f(x2,169－k)＋eq \f(y2,144－k)＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以两曲线的焦距相等．
4．(2020·郑州模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(2,3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
解析：选D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1，故选D.
5．(2020·昆明市诊断测试)已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则eq \f(|AF1|,|AF2|)＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D．3
解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝eq \f(a,2)，|AF2|＝eq \f(3a,2).所以eq \f(|AF1|,|AF2|)＝eq \f(1,3).故选A.
6．若椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 ．
解析：由题意可得b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，a＝eq \r(2)c，
故椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
7．(2020·贵阳模拟)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 ．
解析：由题意可知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，2b＝4，得b＝2，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2＝4＋c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2\r(3)，))
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
8．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ．
解析：通解：由椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1，得c＝eq \r(a2－b2)＝4，不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意知|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，于是由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝12，所以|MF2|＝12－|MF1|＝4，易知△MF1F2的底边MF2上的高h＝eq \r(|F1F2|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|MF2|))\s\up12(2))＝eq \r(82－22)＝2eq \r(15)，所以eq \f(1,2)|MF2|·h＝eq \f(1,2)|F1F2|·yM，即eq \f(1,2)×4×2eq \r(15)＝eq \f(1,2)×8×yM，解得yM＝eq \r(15)，代入椭圆方程得xM＝－3(舍去)或xM＝3，故点M的坐标为(3，eq \r(15))．
优解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|＝|F1F2|＝8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|＝exM＋6＝eq \f(2,3)xM＋6＝8，解得xM＝3，代入椭圆方程得yM＝eq \r(15)，故点M的坐标为(3，eq \r(15))．
答案：(3，eq \r(15))
9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝10，,c＝3，))因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|yP|×2c＝eq \f(1,2)×4×6＝12.
10．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同的离心率且经过点(2，－eq \r(3))；
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝t1或eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－eq \r(3))，所以t1＝eq \f(22,4)＋eq \f(（－\r(3)）2,3)＝2，或t2＝eq \f(（－\r(3)）2,4)＋eq \f(22,3)＝eq \f(25,12).
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1.
(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝5＋3，,（2c）2＝52－32，))
解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.
故椭圆的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
[综合题组练]
1．(2020·合肥市第二次质量检测)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)
解析：选D.如图，由题意知，P为以F1A为直径的圆上一点，所以F1P⊥AP，结合F2B∥AP知F1P⊥F2B.又|F1B|＝|F2B|，所以△BF1F2为等腰直角三角形，所以|OB|＝|OF2|，即b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝eq \r(2)c，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故选D.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选B.由题意设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝eq \f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cs 2θ＝eq \f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq \f(1,3)，所以eq \f(1,3)＝1－2(eq \f(1,a))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.故选B.
3．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝eq \r(2).
故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
即tx0＋2y0＝0，
解得t＝－eq \f(2y0,x0).又xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(2y0,x0)))eq \s\up12(2)＋(y0－2)2
＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋eq \f(4yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0))＋4＝xeq \\al(2,0)＋eq \f(4－xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(2（4－xeq \\al(2,0)）,xeq \\al(2,0))＋4＝eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(8,xeq \\al(2,0))＋4(0因为eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(8,xeq \\al(2,0))≥4(0当且仅当xeq \\al(2,0)＝4时等号成立，
所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为2eq \r(2).
4．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)c，故C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当
eq \f(1,2)|y|·2c＝16，eq \f(y,x＋c)·eq \f(y,x－c)＝－1，eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq \f(b4,c2)，又由①知y2＝eq \f(162,c2)，故b＝4.
由②③得x2＝eq \f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq \r(2).
当b＝4，a≥4eq \r(2)时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4eq \r(2)，＋∞)．