【配套新教材】专题六 数列 第三讲 等比数列（强基讲义）——2022届新高考数学一轮复习

这是一份【配套新教材】专题六 数列 第三讲 等比数列（强基讲义）——2022届新高考数学一轮复习，共4页。试卷主要包含了等比数列的定义，等比中项，通项公式，等比数列的前n项和， 等比数列与指数函数的关系等内容，欢迎下载使用。
（一）核心知识整合
考点1：等比数列的有关概念及运算
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然）.
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，.
3.通项公式
首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.
4.等比数列的前n项和
设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是.
根据等比数列的通项公式，上式可写成.①
用公比q乘①的两边，可得.②
用①减去②，可得，即.
因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式.（1）
因为，所以公式（1）还可以写成.
5. 等比数列与指数函数的关系
由可知，当且时，等比数列的第n项是指数函数当时的函数值，即.
[典型例题]
1.已知等比数列中，，，则( )
A.16B.8C.4D.2
[答案]：C
[解析] 等比数列中，设其公比为，，，解得，故选C.
2.正项等比数列中, ，则的值是( )
A. 4B. 8C. 16D. 64
[答案]：C
[解析] 设正项等比数列的公比为q,∵，
∴，
解得，
则 .
故选：C.
考点2：等比数列的性质
1.等比数列的常用性质
（1）通项公式得推广：
（2）若为等比数列，且，则.
（3）若，（项数相同）是等比数列，则仍是等比数列.
2.等比数列的前n项和的性质
（1）当（或且为奇数）时，是等比数列.
注意：当且k为偶数 时，不是等比数列.
（2）若，则成等比数列.
（3）若数列的项数为2n，与分别为偶数项与奇数项的和，则；
若项数为2n+1，则.
3.等比数列的单调性
等比数列的通项公式为，它的图像是分布在曲线上的一群孤立的点.
当时，等比数列是递增数列；
当时，等比数列是递增数列；
当时，等比数列是递减数列；
当时，等比数列是递减数列；
当时，等比数列是摆动数列；
当时，等比数列是常数列.
[典型例题]
1.设等比数列的前项和为,若,则 ( )
A.2:3 B.3:4 C.1:2 D.1:3
[答案]：B
[解析] 因为是等比数列,
所以成等比数列,得,
∵∴.故选B．
[典型例题]
2. 若等比数列的前项和为，,则( )
A. 3B. 7C. 10D. 15
[答案]：D
[解析] 据，若可得据，故，
若，则，不符合题意，故，
，化简得，可得，解得，
．
故选D．