专题9：等差、等比数列及数列求和【原卷及解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

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1.【2020复旦大学6】_________．
【2021年清华】有限项等差数列公差为4，第二项起各项的和加首项的平方小于，则该数列最多可有________项．
3．若数列满足，求．
二、知识要点拓展
等差数列：
1.通项公式：；
2.前项和公式：.
等比数列：
1.通项公式：；
2.前项和公式：或 .
数列的通项公式与前项的和的关系：(为数列的前项的和为).
常见数列的前项和公式：

一．等差数列的主要判定方法：
①（为常数）；
②（）；
③（为常数）；
④（为常数）。
二．等差数列的主要性质：
①或（是公差）；
②若，且，则。注意，反之不一定成立；
③数列（是常数）是公差为的等差数列；
④下标成等差数列，且公差为的项组成的数列仍然为等差数列，且公差为。
三．等比数列的判定方法：
①（是不为0的常数）；
②（均为不为0的常数）；
③（且均不为0）。
四．等比数列的性质：
①（为公比）；
②若，则（）；
③每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列。
五．数列求和方法：
1.直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：
（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）
2.公式法：（见常见数列的前项和公式）
3.错位相减法：比如
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：
① ；
②
③
④
分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和；
6.合并求和法：如求的和；
7.倒序相加法：如等差数列的前项和公司的推导，有时关于组合数的求和问题，也常用到该方法；
8.其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等。
►备注：在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn．
六．第二数学归纳法：
①先证时命题成立；假设时命题成立，再证明时命题也成立（有时称之为跨度为2的数学归纳法）。
②当时，命题成立；假设对一切小于的正整数命题成立，能够推出（证明）时命题也成立。
以上两种都是第二数学归纳法。
七．主要方法：
1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；
3．转化思想的运用；
三、典例精讲
例1．（清华）已知，其前项和为，求。
例2．（复旦）设有4个数的数列为，前3个数构成一个等比数列，其和为，后3个数构成一个等差数列，其和为9，且公差非零。对于任意固定的，若满足条件的数列的个数大于1，则应满足（ ）
（B） （C） （D）其他条件
例3．（复旦）已知数列满足：，且是公比为2的等比数列，则（ ）。
（B） （C） （D）
例4．（上海交大）已知等差数列的首项为，公差为；等比数列的首项为，公比为，，其中均为正整数，且。
求的值；
若对于、，存在关系式，求；
对于满足（2）中关系式的，求。
例5．在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列
成等比数列，求数列的通项．
例6．（北京卷) 下表给出一个“等差数阵”：
其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数．
（I）写出的值；
（II）写出的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置．
（III）证明：正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积．
例7．(全国卷) 已知数列的前项和满足：，.
(1)写出求数列的前3项；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：对任意的整数，有.
例8．设为等差数列，为等比数列，且，试求的首项与公差．
例9．（复旦）设数列满足，其前项乘积，其中是大于1的常数（）。
求证：是等比数列；
求中所有不同两项的乘积之和。
例10．（复旦）设为一个正整数，记，则是的一个多项式。下面结论正确的是（ ）
的最高项系数为1 （B）的常数项系数为-3
（C）是的1个4此多项式 （D）的4此项系数为
四、真题训练
1.（复旦）等差数列中，且，是前项之和，则下列（ ）是正确的。
均小于0，而均大于0
均小于0，而均大于0
均小于0，而均大于0
均小于0，而均大于0
2.（武大）已知是等差数列的前项和，若，则首项（ ）
（A）2008 （B）-2008 （C）2006 （D）-2006
3.（上海交大）等差数列中，，则前项和取最大值时，的值为 。
4.（上海交大）数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和
。
5.（武大）如果数列是首项为1，公差为1的等差数列，那么数列的通项公式 。
6.（“北约”）是等差数列，表示的前项和，求的最小值。
7.（复旦)定义在上的函数，
求；
是否存在常数，，有？
（武大）数列的前项和为，。求数列的通项。
9.（复旦）对于任意的，均为非负实数，且，试用数学归纳法证明：成立。
10.（上海交大），为等比数列，求的最大值。

五、重点总结
1.掌握常见的几种数学归纳法，能运用数学归纳法解题
2.掌握极限的基本判断法则及常见的几种极限
3.掌握常见的求和方法
六、强化训练
A组
1. (复旦)______________
2. (复旦)________________
3. (复旦)设，则（ ）
A.2 B. C. D.64
4. (复旦)设是的展开式中项的系数，则极限（ ）
A.15 B.6 C.17 D.8
5. (模拟题)试证明
6. (2006交大)已知，则数列的前100项和为___________
7. (复旦)已知数列的前项和为，
，求
8. (交大)_____________
9. (交大)_____________
10. (交大)A,B两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次任由A掷；若A掷不到一点，下次换B掷。对B同样适用该规则。如此依次投掷，记第n次由A掷的概率为
(1)求和的关系
(2)求
B组
1．(复旦)设，其中为整数，求
2. (复旦)____________
3. (模拟题)在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列。记，。求：
(1)求数列和的通项公式
(2)比较和的大小，并证明你的结论
4. (中科大)数列满足
(1)求和的关系
(2)若，证明
(3)若，证明
4
7
（ ）
（ ）
（ ）
…
……
7
12
（ ）
（ ）
（ ）
…
……
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
…
……
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
…
……
……
……
……
……
……
…
……
……
…
……
……
……
……
……
……
…
……
……