高中数学湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.5 函数模型及其应用当堂检测题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.5 函数模型及其应用当堂检测题，共10页。

题组一 一次函数、二次函数及反比例函数模型
1.(2020陕西渭南高一上期中)网上购鞋常常看到下面这样一张表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.
从上述表格可以推算出,“30号”的鞋对应的脚的长度为( )
A.150 mmB.200 mmC.180 mmD.210 mm
2.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为( )
A.P=96VB.P=-96VC.P=69V D.P=96V
3.(多选)某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,单册价格每提高0.2元,发行量就减少5 000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万元,则每册杂志的定价可以为( )
A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元
4.国庆期间,高邮市清水潭旅游景点的团队收费方案如下:不超过40人时,人均收费100元;超过40人且不超过m(40(1)求y关于x的函数表达式;
(2)景点工作人员发现:当接待某团队人数超过一定数量时,会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少的现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,求m的取值范围.
题组二 幂函数模型
5.(2020山东临沂期中)我国工农业总产值从1998年到2018年的20年间翻了两番,设1998年总产值为1,平均每年的增长率为x,则有( )
A.(1+x)19=4B.(1+x)20=3
C.(1+x)20=2D.(1+x)20=4
6.(2020湖南常德一中高一上月考)某水厂的蓄水池中有400吨水,每天零点开始由池中放水向居民供水,同时以每小时60吨的速度向池中注水,当池中有水400吨后将维持400吨水量不变,若t小时内向居民供水总量为1006t吨(0≤t≤24),则t为何值时蓄水池中的存水量最少?
题组三 指数型函数模型和对数型函数模型
7.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律,常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中,人体内药物含量x(单位:mg)与给药时间t(单位:h)近似满足函数关系式x=k0k(1-e-kt),其中k0,k分别为给药速率和药物消除速率(单位:mg/h).经测试发现,当t=23时,x=k02k,则该药物的消除速率k的值约为(ln 2≈0.69)( )
A.3100B.310C.103D.1003
8.(2021江苏连云港高一期末)某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0·ekt(其中e是自然对数的底数,k为常数,P0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,则k= ;要能够按规定排放废气,还需要过滤n小时,则正整数n的最小值为 .(参考数据:lg52≈0.43)
9.(2021浙江杭州二中高一期中)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,其注意力指数p与听课时间t(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分;当t∈(14,40]时,曲线是函数y=lga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于或等于80时,听课效果最佳.
(1)试求p=f(t)的函数关系式;
(2)一道数学难题,讲解需要22分钟,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完?请说明理由.
题组四 函数模型的拟合
10.茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感的茶水所需时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y(℃)随时间x(min)变化规律的是( )
A.y=mx2+n(m>0)
B.y=mx+n(m>0)
C.y=max+n(m>0,a>0,且a≠1)
D.y=mlgax+n(m>0,a>0,且a≠1)
11.某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+kx(k为正常数).该商品的日销售量Q(x)(个)与时间x(天)的部分数据如下表所示:
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
(1)求k的值;
(2)给出以下四种函数模型:
①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·lgbx.
请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;
(3)求该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)(元)的最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.B 设脚的长度为y mm,对应的鞋号为x号,由题中表格可得,y=5x+50.当x=30时,y=5×30+50=200.故选B.
2.D 因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数,所以可设P=kV(k≠0),由题图可知,点A(1.5,64)在函数图象上,所以64=k1.5,解得k=96,故P=96V.故选D.
3.BC 设每册杂志定价为x(x>2)元,则发行量为10-x-20.2×0.5万册,所以销售收入为10-x-20.2×0.5x万元.令10-x-20.2×0.5x≥22.4,化简得x2-6x+8.96≤0,解得2.8≤x≤3.2.故选BC.
4.解析 (1)当0当40当x>m时,y=(140-m)x.
∴y=100x,0m.
(2)当0y随x的增大而增大;
当400,
此时对于y=(140-m)x,y随x的增大而增大;
当40∴当40当x>70时,y随x的增大而减小.
∵x≤m,
∴40综上所述,当405.D
6.解析 设t小时后,蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t-1006t(0≤t≤24).
设u=t,则u∈[0,26],y=60u2-1006u+400=60u-5662+150,
∴当u=566,即t=256时,蓄水池中的存水量最少.
7.A 将t=23,x=k02k代入x=k0k(1-e-kt),
得k02k=k0k(1-e-23k),化简得12=e-23k,
即ln12=-23k,解得k=ln223≈0.6923=3100.故选A.
8.答案 -ln54;11
解析 由题意得(1-80%)P0=P0·e4k,
即0.2=e4k,所以k=14ln 0.2=-ln54.
设经过m小时后能够按规定排放废气,
则P0·e-ln54m≤0.25%P0,即-ln54m≤ln 0.25%,所以m·ln 5≥8ln 20,解得m≥8ln20ln5=8lg520=8(2lg52+1)≈14.88.
所以正整数n的最小值为15-4=11.
9.解析 (1)当t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),
将点(14,81)代入得c=-14,
∴当t∈(0,14]时,p=f(t)=-14(t-12)2+82;
当t∈(14,40]时,将点(14,81)代入y=lga(t-5)+83(a>0且a≠1),得a=13.
∴当t∈(14,40]时,p=f(t)=lg13(t-5)+83.
综上,p=f(t)=-14(t-12)2+82,t∈(0,14],lg13(t-5)+83,t∈(14,40].
(2)当t∈(0,14]时,令-14(t-12)2+82≥80,得12-22≤t≤14;
当t∈(14,40]时,令lg13(t-5)+83≥80,
得14综上,当t∈[12-22,32]时,学生听课效果最佳.
∵32-(12-22)=20+22>22,
∴老师能够经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.
10.C 选项A中函数的图象是以y轴为对称轴,开口向上的抛物线,与散点图不符;选项B中函数的图象是直线,与散点图不符;选项D中,当x>0时,函数图象无限接近y轴,与散点图不符.故选C.
11.解析 (1)由题意得P(10)·Q(10)=1+k10×110=121,解得k=1.
(2)由题表中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减,并不单调,而①,③,④中的函数均为单调函数,故只能选②,即Q(x)=a|x-25|+b.
由题表可得Q(10)=110,Q(20)=120,即15a+b=110,5a+b=120,解得a=-1,b=125,
故Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N+).
(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|=100+x,1≤x<25,x∈N+,150-x,25≤x≤30,x∈N+,
∴f(x)=P(x)·Q(x)
=x+100x+101,1≤x<25,x∈N+,150x-x+149,25≤x≤30,x∈N+.
当1≤x<25时,y=x+100x在区间[1,10)上单调递减,在区间[10,25)上单调递增,
∴当x=10 时, f(x)取得最小值,且f(x)min=121;
当25≤x≤30时,y=150x-x是单调递减的,∴当x=30时,f(x)取得最小值,且f(x)min=124.
综上所述,当x=10时,f(x)取得最小值,且f(x)min=121.
故该商品的日销售收入f(x)的最小值为121.
中国鞋码实际标准(mm)
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
中国鞋码习惯称呼(号)
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
x/天
10
20
25
30
Q(x)/个
110
120
125
120